1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1 уа (84,10) амплитуда волны и(р)= — и(е, р) — постоянный биспинор, зависящий от 4-импульса частицы. Компоненты этого биспинора удовлетворяют системе алгебраических уравнений (у»р„— т) и = — О, (84, и) получающейся при подстановке (84,10) в уравнение Дирака (84,3) (что сводится просто к замене в ием операторов р, величинами р„). Покажем, что требуемая нормировка функции (84,10) будет достигнута, если нормировать амплитуду и(р) условием ии = —.
(84,12) Действительно, умножив уравнение (84,11) слева на и, получим — оР иу»и) р = гп ( ии) = — . Отсюда видно, что иу"и=-р»/е, так что 4-вектор тока (84, 13) При этом плотность частиц р=р»/е»«=1/И, что и соответствует требуемой нормировке. Трехмерная же плотность потока: )=р/«1«=ч/Й, где ч — скорость частиц. Глава Х10 члстицы и лнтичлстицы ф 85. тя'-операторы В гл. Х! было показано, каким образом можно построить квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики.
Получающаяся таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивистское описание частиц в квантовой теории. Электромагнитное поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных состояний имеются состояния с произвольным числом частиц '). Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в релятивистской теории также и системы любых частиц.
Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц ие меняется при их взаимодействии; сохранение же суммы масс в системе частиц означает неизменность также и их числа. В релятивистской же теории сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя как часть также и энергию покоя частиц). Поэтому число частиц уже не должно сохраняться, и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля.
"1 Фактически, разумеется, число фотонов меняется лишь в результате различных процессов взаимодействия. 298 частицы и античастицы [гл. хш Адекватным математическим аппаратом для описания систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования, в котором независимыми перел~еииыми являются числа заполнения различных состояний частицы. В квантовом описании электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования выступает потенциал поля А. Он выражается через волновые функции отдельных фотонов и операторы их рождения и уничтожения.
Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции. Излагаемые в этом параграфе соображения относятся в равной степени к частицам с любым спином. Поэтому мы не будем уточнять математической природы волновых функций. Так, мы будем писать плоские волны в виде и (р) е-пш-ан 1 Р— = подразумевая, что амплитуда волны и(р) (функция 4-импульса) может быть скаляром (для частиц со спнном 0), биспинором (для частиц со спииом Ы) и т.
п. Следуя общим правилам проведения вторичного квантования, мы должны рассмотреть разложение произвольной волновой функции по собственным функциям полного набора возможных состояний свободной частицы — по плоским волнам Ч р ): Чг ~ааЧеа Чгв ~~~Ра Че' Р Р После этого коэффициенты аа, ар надо было бы понимать как операторы ар, ар уничтожения и рождения частиц в соответствующих состояниях. При этом, однако, мы сразу сталкиваемся со следующим новым (по сравнению с нерелятивистской теорией) принципиальным обстоятельством. Для того чтобы плоская волна (85,1) удовлетворяла волновому уравнению, должно быть соблюдено лишь условие ез=рз+гпа для квадрата энергии; само же е вюжет при этом иметь два значения: е = ~3~ рз+гпз.
Но физическим смыслом энергии свободной частицы могут ') Ддя частвц со спи пои суыынровв яке должно производиться также и по подярпзацняы частицы; соответствующий индекс ддя краткости не выпясываеы, й 85] Ч~ оперхтори обладать лишь положительные значения е. Между тем просто опустить отрицательные значения недопустимо: общее решение волнового уравнения образует лишь суперпозиция всех его независимых частных решений. Это обстоятельство указывает на необходимость некоторого изменения истолкования коэффициентов разложения Ч' и Ч'" при вторичном квантова)(ии. Напишем это разложение в виде Чг = ~а а(")и (е р) е-)(»(-рг) + ) . (ю р += э'а( )и( — е, р)е'(" — р"' (85,2) ° Р Р где в первой сумме стоят плоские волны с положительными, а во второй — с отрицательными «частотами»; е везде обозначает положительную величину: е =+ р' р'+а)~.
При вторичном квантовании коэффициенты а(") в первой сумме заменяем обычным образом операторами уничтожения частиц а,. Во второй же сумме прежде всего заменяем обозначение переменной суммирования р на — р; поскольку суммирование производится по всем возможным значениям р, то как область суммирования, так и величина суммы от такой замены, разумеется, не меняются.
После замены экспоненциальный множитель под знаком суммы принимает вид е((») — р"), совпадающий с видом комплексно сопряженных волновых функций Ч'„с «положительными» частотами. Такие функции должны умножаться, при вторичном квантовании, на операторы рождения частиц. Соответвтвенно этому, заменяем коэффициенты а .р на операторы бр рожде( ) + ния некоторых других частиц — вообще говоря, отличных от тех, к которым относятся операторы ар .
В результате получим Ч'операторы в виде ~ч~~» (а ц (р) е-и«(-р«) ] ()~~и ( р)еГ(«(-рн) Ч(+ '~» (а»цр (р) еп»(-Рг!+ ]) ц«( р)е-((«(-рг)) (обозначено и ( — р)=и ( — е — р)) зоо частицы н антпчастнцы [гл, хп« Таким образом„все операторы а„, Ьа оказываются умноженными на функции с «правильнойэ зависимостью от времени ( е "), а операторы ар', Ьр — на комплексно сопряженные им функции.
Зто и дает возможность истолковать, в соответствии с общими правилами, операторы а,+, Ь,', как операторы уничтожения, а операторы ар', Ьа — как операторы рождения частиц с импульсами р и энергиями е. Мы приходим к представлению о частицах двух родов, выступающих совместно и равноправно. О них говорят как о частицах и англичастииах (смысл такого названия выяснится в следуютцем параграфе). Одним нз них отвечают в аппарате вторичного квантования операторы аа, аа, а другим — ' Ь„Ь„'. Оба вида частиц, операторы которых входят в один и тот же Ч"-оператор, удовлетворяющий одному и тому же волновому уравнению, тем самым имеют одинаковые массы. й 86.
Частицы и античастицы Для дальнейшего выяснения свойств и взаимоотношения частиц и античастиц необходимо составить выражения для операторов полной энергии и полного числа частиц в системе. Ход вывода этих выражений зависит от спина частиц; рассмотрим поле частиц со спином та (или, как говорят, спинорное поле). Все, что достаточно в данном случае знать для вывода искомых выражений, это — что для частиц, описываемых уравнением Дирака, существует гамнльтониан и что роль плотности частиц играет произведение Ч'"Ч'.
Зти обстоятельства позволяют сразу воспользоваться результатами, полученными в Я 47, 48, в рамках нерелятивистской теории (в которой оба указанных свойства имеют место для частиц любого спина) '). Мы видели, что в математическом аппарате вторичного квантования гамильтониан системы частиц тт получается ') Напомним в то же время 8 79), что для релятивистских частиц со спнном О, описываемых скалярным уравнением Клейна.— Фока, нн одно на этих свойств не справедливо! 6 86) частицы и аитичастицы 3О1 из гамильтониаиа одной частицы Н'и как интеграл ') Й=~Чт+Й' Чгсй'. (86,1) В нерелятивистской теории это приводило к тривиальному результату, При подстановке Ч"-операторов Чг=-~.", арЧ'р, Чгт = ~ ар Ч'„, (86,2) р Р вне зависимости от правил коммутации операторов а„а', получалось Й=~ч'.,ерар ар, (86,3) р где е,— собственные значения гамильтониаиа Н">, т.
е.. энергии свободной частицы. Собственные же значения операторных произведений ар а есть числа заполнения состоЯний Ур 1 поэтомУ собственные значениЯ полной энеРгии системы оказывались равными очевидному выражению Е =- ер Лгр . Р налогичным образом получался тривиальный результат и для полного числа частиц в системе, оператор которого дается интегралом У=~Ч Ч й~. (86,4) При подстановке сюда Ч'-операторов (86,2) получалось У=~ ар" а„ так что собственные значения Ф =~чР~Л'р.
В релятивистской же теории существование у гамильтониана частицы Й"> отрицательных собственных значений меняет ситуацию радикальным образом. Вместо (86,3) получается теперь Й=-~~'.,ерар а„— ~е (зрвр. (86,6) р р (86,5) Первая сумма отвечает положительным собственным значениям ер = +)гра+тз; она имеет такой же вид, как и сумма (86,3). Вторая же сумма отвечает отрицательным собственным значениям, равным — е,; отсюда — знак минус з) Индекс (1) у гамильтоииаиа частицы введеи здесь для отличия его от гамильтоиваиа всей системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
