1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 42
Текст из файла (страница 42)
е. угол рассеяния. Мы видим, что амплитуда рассеяния с изменением импульса частицы на Ьй определяется соответствующей компонентой Фурье поля (7(г). Сечение же рассеяния в элемент телесного угла е(О' равно 238 (гл. ~х УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ Эта формула была впервые получена Максом Барном (1926); соответствующее приближение в теории столкновений называют борноеским приближением, Формула (67,8) может быть получена также и друтим способом, прямо из общей формулы теории возмущений (35,6), определяющей вероятность перехода между двумя состояниями непрерывного спектра. В данном случае речь идет о переходе между состояниями свободно движущейся частицы с импульсами р и р', а роль оператора возмущения играет функция (7(г).
В качестве «интервала»состояний Г(УГ берем элемент объема импульсного пространства с(р„'с(рр'с(р,'. Тогда формула (35,6) принимает вид йо= —" ~ (7~ 1»6 ф — ~~ ) Г)р,'Г)р„'Г(р,'. (67,9) При этом волновая. функция конечного состояния должна быть нормирована на 6-функцию в импульсном пространстве (ср. замечание перед (35,1)); 'согласно (12,10) нормированная таким образом плоская волна еГР'НХ ! (67, 10) 12лй) н Функцию же начального состояния пронормируем на единичную плотность потока: »рр= )/ ' е~ре~а (67,11) (ср. (21,6)).
Тогда «вероятность» (67,9) будет иметь размерность площади и будет представлять собой дифференциальное сечение рассеяния. Фигурирующая в (67,9) в виде множителя 6-функция выражает собой сохранение энергии при упругом рассеянии, в силу которого величина импульса не меняется: р'=р. Эту Ь-функцию можно исключить, перейдя к «сферическим координатам» в импульсном пространстве (т. е.
заменив бр,«(р„'Г(р,' на р"Г(р'Г(о'=(р'!2)«((р")Г(о') и проинтегрировав по «1(р')». Интегрирование сводится к замене абсолютного значения р' на р (и умножению всего выражения на 2т), и мы получим Г(о= " ~ ~~фр(7фр «((Г~ Г(о'. (67,12) 239 6 671 ФОРМУЛЛ ВОРНЛ Интегрирование по д и <р может быть произведено, и в результате получаем следующую формулу для амплитуды рассеяния в центрально-'симметричном поле: 7= — — ~ и(г) э)п) '(.. 2т Г (6?,13) й, О Пусть а — радиус действия поля; рассмотрим формулу (67,13) в предельных случаях малых и больших значений произведения йа.
При Аа(<1 (малые скорости) можно положить з)пцгждг, так что амплитуда рассеяния 7= — — „) У (г) «'й. 2т Г (67, 14) Рассеяние в этом случае изотропно по направлениям и не зависит от скорости частиц — в согласии с полученным в 6 65 общим результатом. В обратном предельном случае больших скоростей, когда да~)1, рассеяние резко анизотропно и направлено вперед, в узком конусе с углом раствора М 1%а. Действительно, вне этого конуса величина д велика (д))1/а), множитель гйпдг в области действия поля (г'6а) есть быстро осциллирующая знакопеременная функция и интеграл от его произведения на медленно меняющуюся функцию У близок к нулю.
Подставив сюда функции (67,10) и (67,11), мы снова вернемся к результату (67,8). Этот способ вывода, приводящий сразу к сечению рассеяния, оставляет, однако, неопределенной фазу его амплитуды. В формулах (67,5) и (67,8) рассеивающее поле У(г) не .предполагается центрально-симметричным. Если же У= У (г), это интегрирование может быть продвинуто в общем виде несколько дальше. Для этого воспользуемся сферическими пространственными координатами г, д, с полярной осью в направлении вектора и (полярный угол обозначаем через б в отличие от угла рассеяния 8). Тогда ~,(7 (г)а-'а~ Вl= ~ ~ ~ Ц (г) е цмто'эгзз1пбДдсйрдг, йа о 240 УПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ [гл.
гх Выясним теперь условия применимости рассмотренного приближения. Вывод формулы (67,5) был основан на приближенном решении уравнения Шредингера в виде«у=-грггк+гргг', причем предполагается, что «Р"'((фгг~. Достаточно потребовать выполнения этого условия в наиболее «опасной» области вблизи рассеивающего центра (Г=О), а поскольку И~У" 1=1, то надо потребовать ~'"«~1. С другой стороны, при г=О в интеграле (67,4) имеем )Т=Г', так что «Р'"(0) = — — ( (7 (г') е'~к"о'> —,. (67,16) 2лаг,) Оценим этот интеграл в случаях малых и больших значений Йа. При г«а((1 экспоненциальный множитель в подынтегральном выражении можно заменить единицей, и тогда оценка интеграла дает гм (0) 1 и 1 а' лга где ٠— порядок величины поля в пределах радиуса его действия. В результате получим условие ) (7 ) (( —,, йа ~(1.
(67,16) Для оценки же интеграла при йа)1 производим сначала интегрирование по направлениям г' (предполагая поле центральным), Аналогично выводу формулы (67,!3) имеем а л гл «РО'(0)= — — ~ (7(Г')ег~ н«.о+02п.з)пб«(0 Г г(Г = 2.й ~~ оо Ц (Г') (Егм" — 1) «(Г' йгг» о При йа>)1 интеграл от члена с осциллирующим множителем ехр(2(яг') близок к нулю, а интеграл от второго члена -)(7!а. В результате получаем условие )(7((( —,, = —, йа)) 1, (67,17) Йгаа Ь 241 9 67) ФОРМУЛА БОРНА Очевидно, что если поле удовлетворяет условию (67,16), то оно удовлетворяет и более слабому условию (67,17) при ла))1; таким образом, в этом случае борновское приближение применимо как при малых, так и при больших скоростях.
Но при достаточно больших скоростях борновское приближение во всяком случае применимо, в силу (67,17), даже если не выполняется условие (67,16) его применимости при малых скоростях. Задачи 1. Определить в борновском приближении сечение рассеяния сфе. рической потенциальной ямой: (/= — (Гв при г<0, (Г=-О при г>а. Р е ш е н и е. Вычисление интеграла з (67,13) приводит к результату 4 в /т()~а»'»в (зппп Д»=4ав в Ь (ча) Интегрирование по всем углам (которое удобно произвести, переходя к переменной о=2й а!п (6/2) н заменив бо на 2ляв(д/й») дает полное сечение рассеяния 2л ут(у,ав'!» 1 1 Мп 4йа з1пв 2йа1 Ав (, )Р»в / ~ (2йа)» (2йа)в (2Гга)в 1 В предельных случаях эта формула дает 16ла' Гт(7»а»' в 2л Гт()ва»х» о .- —" ~ " ) при йа(<1, а= —,~ ' при да~!.
9 (, 7»в А (, ))л ) Первое из этих выражений соответствует амплитуде (2), найденной в задаче 1 б 65 другим способом. 2. То же в поле (7= (а/г) е — «в. Р е ш е н и е. Вычисление интеграла в (67,13) дает )1» ( йа'+1)в' Полное сечение а = 1бла' ( — а) Условие примениморти этих формул получается нз (67,16 — 17) с а/а в качестве (/: ата/у»в(<1 или а/йо(<1. Рассмотренный потенциал представляет собой »экранированное» кулоиово полее радиусом экранировання а, При а-+во получается чисто кулоново поле, н дифференциальное сечение (1) переходит вформулу Резерфорда ($ 66).
242 (гл. ~х УПРУПГЕ СТОЛКНОВЕНИЯ $68. Формула Резерфорда Применим формулу Бориа к рассеянию в кулоновом поле. Будем, для определенности, говорить о рассеянии частиц с зарядом е на ядрах с зарядом де; тогда (7 — Лег) г Согласно (67,5) задача сводится к вычислению компоненты Фурье функции 1/г. Вместо прямого вычисления зто удобнее сделать, исходя из дифференциального уравнения Ь вЂ” = — 4лб (г), ! г (68, 1) которому 'удовлетворяет функция 1/г (см. 1 (59,10)) '). Но, имея в виду также и некоторые другие применения, рассмотрим сначала даже более общий случай функции гр (г), удовлетворяющий уравнению Л~р = — 4лр (г) (68,2) с заданной правой частью 4лр (г).
Разложим функцию гр(г) в интеграл Фурье: ~р (г) = ) е'ч"~р~ — ~,, г)ад =г)г)„г)г) аг),. (68,3) При этом ) гр (г) е-лчг г))г (68,4) дал ~ 4аегчг~р ч(2и)а' Это значит, что компонента Фурье от выражения Лгу есть (гагр)ч — — — г)*грч. С другой стороны, можно найти (А~у)ч, взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения (68,2): г) Лругой способ вычисления состоит в предварительном введении еэкранировкиь кулоиового полн и последующем устремлении радиуса экранировки к бесконечности (см. задачу 2 $67), Применив к обеим сторонам равенства (68,3) оператор Лапласа и произведя дифференцирование под знаком интеграла, получим 6 681 ФОРМУЛЛ РЕЗЕРФОРДА (61р)а= — 4прч.
Сравнив оба выражения, находим 1р, — — — ', р = —, 1 р(г)е-ы'Н'. (68,5) -Ч -9,' В применении к функции Ч1=1/г имеем р=б(г), а интеграл в правой стороне (68,5) обращается в 1, так что (68,6) Амплитуда же рассеяния в кулоновом поле, согласно (67,5) и (67,7), 1(0) = — — —., = — — 5 —, жхе5 4п 251 ! (68,7) 2пй1 Ч = 2 ., В 51П5— 2 где введена скорость и рассеиваел1ых частиц: ай=та.
Отсюда находим для сечения рассеяния формулу 51П5 —, 2 (68,8) 55 — <ф!. Ь (68,9) Как раз обратное неравенство получается из (63,2) как условие квазиклассичнасти рассеяния в кулоновом поле: ле5/Ь>)1. В этом случае рассеяние заведомо должно описываться формулой Резерфорда. Мы видим, следовательно, что эта формула получается в предельных случаях как больших, так и малых скоростей. Это обстоятельство делает естественным результат, к которому приводит квантовая теория совпадающую с классической формулой Резерфорда. Ввиду медленности убывания кулонового поля в нем нельзя выделить конечной области пространства, в которой (7 было бы значительно больше, чем вне ее. Условие применимости борновскаго приближения к рассеянию в этом ' поле мы получим из (67,17), написав в нем переменное расстояние г вместо параметра а; это приводит к не- равенству 244 (гл.
ех упРуГие столкновении рассеяния, основанная на точном решении уравнения Шредингера в кулоновом поле: точная квантовомеханическая формула для сечения рассеяния совпадает с классической формулой Резерфорда (Н. Моглпт, В. Гордон, 1928) '), 9 69. Столкновения одинаковых частиц Особого рассмотрения требует случай столкновения двух одинаковых частиц. Мы видели 8 46), что тождественность частиц приводит в квантовой механике к появлению своеобразного обменного взаимодействия между ними. Оно сказывается и на рассеянии (Н. Мпппп, 1930).
Будем говорить, для определенности, о столкновении двух одинаковых частиц со спином тэ (два электрона, два нуклона). Орбитальная волновая функция системы из двух таких частиц должна быть симметричной по отношению к перестановке частиц, если полный спин системы 5=0, и антисимметричной, если 5=1 (9 46). Поэтому описывающая рассеяние волновая функция, получающаяся путем решения обычного уравнения Шредингера, должна быть симметризована или антисимметризована по частицам. Перестановка частиц эквивалентна замене направления соединяющего их радиус-вектора на обратное. В системе координат, в которой покоится центр инерции, этоозначает, что Г остается неизменным, а угол 0 заменяется на и — 0 (в связи с чем г=гсоэ0 переходит в — г).
Поэтому вместо асимптотического выра!кения волновой функции (62,3) мы должны написать ф=е'э' ~ и-еа'+ — и'а'[1(0) ~-~(п — 0)1, (69,1) В силу тождественности частиц, нельзя, конечно, указать, которая из них есть рассеиваемая, а которая — рассеивающая. В системе центра инерции мы имеем две одинаковые распространяющиеся навстречу друг другу падающие плоские волны (е'"' и е '"' в (69,1)). Расходящаяся же сферическая волна в (69,1) учитывает рассеяние обеих частиц, и вычисленный с ее помощью поток вероятности ') Во иэбежание недораэумений подчеркнем, однако, что это не относится к выражению (68,7) для амплитуды рассеяния; точное выражение для 7(8) отличается от (68,7) фановым множителем, зависящим от 6 и п и обращающимся в 1 лишь при условии (68,9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
