1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 57
Текст из файла (страница 57)
формула (93,9) справедлива также и для магнитного момента р-мезона (с его массой в качестве пг в знаменателе формулы). Она, однако, совершенно непригодна для протонов и нейтронов, хотя эти частицы тоже имеют спин Н; ') Этот результат был получен Дираком в )928 г. Двуккомпонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению (98,7), была введена паули (!927) мце ао открытия Дираком его уравнения. просто Р. Но в 6 ~у — Ц.=- =(- ( ( ду с к) (дАг д,4„) сй Н энектнон ео внешнем поле (гл, хш в особенности разительно расхождение в случае нейтрона: будучи электрически нейтральным, согласно (93,9) он не должен был бы вообще обладать магнитным моментом.
Здесь с очевидностью проявляется неприменимость существующей квантовой электродинамики к частицам, способным к сильным взаимодействиям. 9 94. Спин-орбитальное взаимодействие Произведенные в предыдущем параграфе вычисления по существу представляют собой начало разложения точного решения уравнения Дирака по степеням малого отношения о/с. Уравнение (93,7) отвечает учету в таком разложении лишь членов первого порядка малости (на что указывает множитель 1/с в появившемся в гамильтониане дополнительном члене — р.)). В следующем, втором, приближении в гамильтониане добавляются еще новые члены. Соответствующие вычисления становятся, однако, более громоздкими, и мы не будем проводить их здесь. Приведем лишь окончательный результат для гамильтониана электрона во внешнем электрическом поле с точностью до членов порядка 1/с'-: рй 2т + Йт'с' 4тгс' ( Р~ атнсн где Ф вЂ” потенциал, а Е= — йгас(Ф вЂ” напряженность поля.
Как и в (93,7), этот гамильтоииан действует на двухкомпонентную волновую функцию. Последние три члена в (94,!)' — интересующие нас поправки порядка 1/с1. Первый из них соответствует релятивистской поправке к классическому выражению кинетической энергии частицы: с ре р4 1 снр'-1- пг'с' — пи' = — — — +... 2т зт'с' Следующий поправочный член в (94,!) может быть назван энергией спин-орбитального взаимодействия,— энергия взаимодействия движущегося магнитного момента с электрическим полем. Если электрическое поле центрально- симметрично, то г ИФ Е= — —— с и' ф 941 СПИН ОРБИТАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕйСТВНЕ 325 и оператор спин-орбитального взаимодействия принимает вид еп " аеэ Вэ Здесь 51=[гр) — оператор орбитального момента электрона, В=)ап — оператор его спина, а (/=егр — потенциальная энергия электрона в поле.
Взаимодействие такого вида рассматривалось уже в 3 51 как один из источников тонкой структуры атомных уровней энергии '). Последний поправочный член в (94,1) отличен от нуля только в тех точках, где находятся заряды, создающие поле; только в этих точках отлична от нуля с((уЕ. Гамильтонианом (94,1) можно воспользоваться для вычисления релятивистских поправок к уровням энергии атома водорода, т. е. электрона в кулоновом поле неподвижного ядра — протона (с зарядом + ~е~).
Потенциал поля заряда — , '~е! естьФ= ~ерг, а дивергенция его напряженности; г((ЕЕ= — ЛгР=4п!е!5(г) (см. 1 (59,10)). Поэтому поправочные члены в гамильтониане атома водорода, совокупность которых Обозначим через Рч", принимают вид йа йее' - - неФ Напомним, что нерелятивистское выражение для уровней энергии атома водорода (9 31) (94,4) Оно зависит только от глазного квантового числа и и не зависит от орбитального момента электрона(, пробегающего (при заданном п) значения != — О, 1,..., и — 1. Нерелятивистские уровни (94,4) не зависят также и от направления спина электрона по отношению к его орбитальному моменту, т. е.
не зависят от полного момента 1, который может принимать (при заданном УФО) два значения: (=Ы-гйа. Искомые поправки ЛЕ к уровням (94,4) могут быть найдены по общим правилам теории возмущений 8 32): рассматривая (94,3) как оператор малого возмущения, надо ') Другой тип релитивистских взаимодействий — спин-спивовае— возникает, конечно, лишь в системе нескольких частиц и отсутствует дли одного электрона во внешнем поле. 826 электгон ВО Внешнем пОле [гл.
хьч вычислить его среднее значение (диагональный матричный элемент) по отношению к невозмушенным волновым функциям, т. е. обычным нерелятивистским волновым функциям атоме водорода. Вычисление приводит к следующему результату: (94,5) где сс = — = ез ! !37,04 (94,6) (величину а называют постоянной тонкой сарукпзуро!) '). Малость поправки (94,5) по сравнению с (94,4) выражается множителем аз.
Сдвиг уровня (94,5) зависит уже не только от п, но и от !. Эта зависимость как раз и означает расщепление уровней (94,4) на компоненты тонкой структуры; происходит, как говорят, снятие вырождения, имевшегося в нерелятивист- ском приближении, Это снятие, однако, оказывается не полным: остаются двукратно взаимно вырожденными уровни с одинаковыми значениями и и 7, но различными значениями ! =)-~- тА~ (здесь снова проявляется специфика атома водорода с его чисто кулоновым полем ядра, по сравнению с более сложными атомами).
Таким образом, последовательность водородных уровней с учетом тонкой структуры такова: !Еп 2зти 2р,, 2р), 35 пн Зр л, Зр~ н зйч,, Зь[ч, где фигурными скобками объединены взаимно вырожденные состояния. Невырожденными оказываются лишь уровни с наибольшим возможным (при заданном п) значением )'. Забегая вперед, укажем, что оставшееся здесь вырождение снимается так называемыми радиационными поправками (смещение Дамба), не учитываемыми уравнениями Дирака одноэлектронной задачи; об этих поправках будет идти речь в 5 !06. ') Эта формула была впервые получена Арнольдон Золзьерфельдом, исходя из старой теории Бора, еще до создания квантовой механики, Глава ХУ ИЗЛУЧЕНИЕ 9 95.
Оператор электромагнитного взаимодействия От задач, в которых электромагнитное поле выступает в пассивной роли внешних условий для движения частиц, перейдем к более широкой категории электродинамических явлений, сопровождающихся изменением состояниясамого поля.
Речь идет о явлениях испускания, поглощения или рассеяния фотонов системами заряженных частиц. Взаимодействие электронов с полем электромагнитного излучения, как правило, может рассматриваться с помощью теории возмущений. Это обстоятельство связано со сравнительной слабостью электромагнитных взаимодействий. Взаимодействие электрона с полем определяется его зарядом е. При этом роль «константы связи», задающей масштаб взаимодействия, игпает составленная из е, с и Ь безразмерная величина а=в'Мс — введенная уже в 9 94 постоянная тонкой структуры. Слабость электромагнитных взаимодействий выражается в малости этой постоянной: а=11137.
Эта малость играет фундаментальную роль в квантовой электродинамике. Выясним, прежде всего, вид оператора взаимодействия электрона с полем излучения, играющего роль оператора возмущения. Условимся считать (как и в гл, Х1), что потенциалы поля выбраны в калибровке, в которой скалярный потенциал Ф=-О, так что поле описывается одним только векторным потенциалом А. Согласно (92,1), взаимодействие электрона с заданным электромагнитным полем описынается членом г'= — сиА в его гамильтониане.
Для перехода к более общему случаю процессов с изменением состояния поля, потенциал А должен быть заменен соответствующим вторич- 328 [гп. хч излз'ченнн но квантованиым оператором А; тогда оператор взаимодействия будет ') [7 =- — еаА. (95,! ) Оператор А представляет собой сумму А(г, г)=~(с„А„((, г)+с„"А„'(г„г)), (952) содержащую операторы уничтожения и рождения фотонов в различных состояниях (нумеруемых индексом п); коэффициенты Ач (Г, г) играют роль волновых функций этих состояний.
Состояние поля задается совокупностью чисел заполнения Ав всех фотонных состояний, При этом сами фотонные состояния могут задаваться различными способами, в зависимости от постановки той или иной конкретной задачи. Если, например, нас интересует излучение или поглощение фотонов с определеннымн волновыми векторами [с и поляризациями е, то волновые функции А„(г', г): плоские волны (76,16). Если же ставится вопрос об излучении фотонов с определенными значениями момента то А, — сферические волны, о которых шла речь в 9 78.
В первом приближении теории возмущений вероятность того или иного процесса определяется квадратом [)туг[', где [гп — матричный элемент оператора возмущения для перехода между начальным (индекс !) и конечным (индекс 1') состояниями смстемы зарядов и поля. Каждый из операторов с„, с„'имеет отличные от нуля матричные элементы лишь для увеличения или уменьшения соответствующего числа заполнения А~о на 1 (при неизменных остальных числах заполнения). Поэтому и оператор А имеет матричные влементы лишь для переходов с изменением числа фотонов на 1. Другими словами, в первом приближении теории возмущений возникают только процессы однократного излучения или поглощения фотона.
') Операция зарядового сопрнженин — замена частиц античасти'цами — не должна менять вида оператора взаимодействия. Заменяя по. ложительно заряженные частицы отрицательно заряженными, зто преобразование означает, в частности, замену е-» — е. Инварнантность У требует одновременной замены оператора поля фотонов А» — А. Это значит, что фотоны — зарядово нечетные частицы, 9 951 опкгзтог зликтгоызгнитного вззныодкйствия 329 Согласно (76,12) матричные элементы <~'а — 1 )С„(М„> = ~/ Л'„, <Л7„+ 1 ~ с„' ~ й(з> = )' М„+ 1.
(95,3) (95,4) )глч (() = — е ) (ЧгаЧ';) А„'Л', (95,5) где Ч', и Чгг — волновыефункции начального и конечного состояний излучателя (электрона) '). Аналогичным образом получается матричный элемент для поглощения фотона: 1'; (г) =- — е ~ (Ч"г сзЧгз) А„й'. (95,6) Он отличается от (95,5) лишь тем, что вместо А„"в нем стоит А.. указанием аргумента Г у )гг, мы подчеркиваем, что речь идет о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волновых функциях временные множители, можно обычным образом (в соответствии с правилом (11,4)) перейти к не зависящим от времени матричным элементам; )гн (1) = )'пе-шв (95,7) где Еь Š— начальная и конечная энергии излучающей системы, а верхний и нижний знаки в показателе †д испускания и поглощения фотона с энергией ш. ') Во избежание иедоразучений подчеркнем, что один электрон может излучать лишь при движении во внешнем поле.
Невозможность испускания фотона сзободнын (движушимся с постоянной скоростью) электроном в особенности очевидна, если рассмотреть его в системе от счета, в которой он покоится: в этой системе энергия элентрона равна т н не ножет уменьшиться, как это должно было бы быть при испускании фотона. Первый из них отвечает поглощению одного фотона (сорта и) — число заполнения уменьшается на 1; второй же отвечает испусканию одного фотона — число заполнения возрастает на 1.
Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта п) отсутствуют, то <1)сфО>=1; матричный же элемент оператора А содержит, кроме того, еще и множитель А*„, стоящий в сумме (95,2) в качестве коэффициента при с'„. Таким образом, полный матричный элемент оператора (95,1) для испускания фотона есть [гл„ху ИЗЛУЧЕНИЕ Фигурирующее э подынтегральном выражении в (95,5) или (95,6) произведение 1, = Ч'~ИЧ'; (95,8) построено аналогично выражению)=Ч" аЧ" (84,9) для тока в уравнении Дирака; вместо двух одинаковых волновых функций в нем стоят различные (начальная и конечная) волновые функции. Величину (95,8) называют током перехода. Если речь идет об испускании (или поглощении) фотона с определенным направлением волнового вектора (с и определенной поляризацией е, то в качестве А„(г) надо брать функции е ~у " е1НЕ Г2л У ен2 (95,9) (плоская волна (76,16) без множителя е ' ').
Для матричного элемента перехода с излучением таиого фотона будем иметь )',ч = — е ~/ — '" е*); ((с), (95,10) где 1, (к) = ~ 1; (г) е- '"' с(т'. (95,11) Интеграл (95,11) представляет собой компоненту .Фурье функции )п (г) „о нем говорят как о токе перехода е и ипульсном представлении. Вероятность испускания фотона может быть найдена по матричному элементу (95,10) непосредственно с помощью общей формулы теории возмущений, полученной в 3 35. Будем считать, что начальное и конечное состояния излучателя относятся к дискретному спектру его уровней энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
