1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Амплитуда рассеяния Ап каждого атома содержит множитель ехр (1(~р; — ~а~)), где до ~р~ — фазы волновых функций начального и конечного состояний. Для смещенного рассеяния. состояния 1 и ! различны, и этот множитель отличен от единицы. В квадрате модуля ~ ~~Аг;!', определяющем сечение рассеяния (сумма — по всем У атомам), произведения членов суммы, относящихся к различным атомам, будут содержать фазовые множители, которые обратятся в нуль при усреднении по фазам атомов; останутся лишь квадраты модулей каждого из членов.
Зго значит, что полное сечение рассеяния У атомами получится умножением на У сечения рассеяния на одном атоме,— складываются сечения рассеяния, а не его амплитуды. В таком случае говорят, что рассеяние некогерентно. Если же начальное и конечное состояния атома совпадают, то множители ехр(1(~р; — рг))=!. Множителем У будет отличаться в этом случае амплитуда рассеяния от амплитуды рассеяния на отдельном атоме, сечение же рассеяния — соответственно множителем У'. В таком случае говорят, что рассеяние когереятно.
Когерентное рассеяние во всяком случае является несмещенным; обратное утверждение, однако, не обязательно справедливо. Несмещенное рассеяние целиком когерентно, лишь если рассеивающий атом находится на невырожденном уровне энергии. Если же уровень энергии вырожден, то будет иметься также некогерентное несмещенное рассеяние, происходящее от переходов атома между различными взаимно вырожденными состояниями. Подчеркнем, что некогерентность несмещенного рассеяния представляет собой чисто квантовый эффект.
В классической теории рассеяние без изменения частоты тем самым когерентно (именно так и было определено понятие когерентности рассеяния в ! З 84). й 102. Естественная ширина спектральных ливий До снх пор при изучении испускания и рассеяния света мы рассматривали все уровни системы (скажем, атома) как строго дискретные. Между тем возбужденные уровни, имея вероятность высветиться, обладают конечным временем (гл. кч нзльчкник жизни.
Это приводит к тому, что уровни становятся квазиднскретнымн, приобретая малую, но конечную ширину; онн записываются в виде Š— 1Г!2, где Г (Г4 в обычных единицах) — вероятность (в ! сек) всех возможных процессов «распада» данного состояния (Э 38) '). Рассмотрим вопрос о том, каким образом это обстоятельство сказывается на процессе излучения. Заранее ясно, что ввиду конечности ширины уровня нспущенный свет окажется не строго монохроматпческнм: частоты будут разбросаны в интервале Лш-Г. Но чтобы измерить распределение фотонов по частотам с такой точностью, необходимо время 7~>1/Лш 11Г. За это время уровень с подавляющей вероятностью высветится.
Поэтому речь должна идти о полной вероятности испускания фотона данной частоты, а не о вероятности в единицу времени. Вычислим эту вероятность для случая перехода атома с некоторого возбужденного уровня Е; — 1Г;12 на основной уровень (Еу), обладающий бесконечным временем жизни и потому строго дискретный. Для упрощения рассуждений будем прн этом предполагать, что этот переход — единственный способ излучения с данного возбужденного уровня.
Вернемся к произведенному в э 35 выводу формулы для вероятности перехода (35,6) (с помощью которой в й 95 вычнслялась вероятность излучения). Напомним, что мы рассматривали функцию ап(Г) прн больших временах н отношение ~ап)'/Г давало искомУю веРоЯтность пеРехода в единицу времени. Мы можем теперь уточнить смысл этой процедуры: она относится к временам, малым по сравнению с продолжительностью жизни возбужденного уровня; большне 1 означают прн этом времена, большие по сравнению с периодом 1/(Ее — Ет), но все же малые по сравнению с И'.
Именно поэтому можно было пренебречь существованием конечной ширины уровня. Теперь же, когда нам предстоит рассмотреть времена, сравнимые с 1!Г, шириной возбужденного уровня уже нельзя пренебрегать. В задаче об излучении мы имеем дело с системой атом-1-фотоны; соответственно этому н в выражении (35,2) роль частоты перехода шп играет разность Еу-1-ш — Е;. ') Радиационная ширина уровней фактически очень мала. Так, вероятности распада к 1О" — 10' сек-' отвечает ширина Г- 1О"'— — 1О-' ав. в 1021 естиствкнная шигина спкктгдльных линий 349 Написав теперь начальный уровень атома в виде Ег — (Гг(2, получим ) — ехр () (ЕЕ+в — ЕГ) à — (ГП2) Г) Еу — Еггм-т-~Г; 2 Искомая полкая (за все время) вероятность перехода определяется предельным значением квадрата (ап(())а при (- о . Лля испускания фотона с частотами в интервале йо и направлениями в телесном угле г(о она равна г(®'=!~зч( )!™(,„,.
' (102,2) (где Р., как и в (95,13),— нормировочный объем для волновой функции фотона). Подставив сюда (102,1), получим (2п)' ' [м — (Е; — Еу)]з+ Гг(4 Интересуясь лишь спектральным распределением вероятности испускания, проинтегрируем это выражение по направлениям фотона. Согласно (95,14) интеграл 1('. йм' а ж где ш — полная обычная (отнесенная к единице времени) вероятность излучения, совпадающая, по определению, с Г,. Таким образом, окончательно находим г%'= — ', . (102,3) 2п (м — (Е; — Еу)р+ Г~у4 Интегрирование этого выражения по всем частотам, от — оо до оо, дает 1 — в соответствии с тем, что за бесконечное время атом заведомо испустит фотон той или иной частоты.
Формула (102,3) определяет, как говорят, форму спектральной линии — распределение интенсивности по ее ширине. Форма линии, описываемая формулой (102,3), свойственнаа изолированному атому; ее называют есшесгпвенной '). ') В отличие от уширения линии, связанного со взаимодействием излучающего атома с другими атомами ()ширение столкновениями) или с наличием в источнике света атомов, движущихся с различными скоростямн (допплеровское уширеннс).
Глава ХИ ДИАГРАММЪ| ФЕЙНМАНА В 103. Матрица рассеяния Уже говорилось (~ 75) о том, что типичная постановка задачи в релятивистской квантовой теории состоит в определении амплитуд вероятностей различных процессов рассеяния — переходов между различными состояниями системы свободных частиц. Зту задачу можно считать в настоящее время в принципе решенной в рамках квантовой электродинамики, т. е. для процессов, обусловленных электромагнитным взаимодействием.
Слабость этого взаимодействия (выражающаяся малостью постоянной тонкой структуры а) дает возможность рассматривать такие процессы с помощью теории возмущений. В своей обычной (для нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой теории обладает, однако, тем недостатком, что в нем не выявляются явным образом требования релятивистской инварнантности. Этот недостаток устранен в последовательной релятивистской теории возмущений, построенной Ричардож Фейнмпнолз (1948), Аппарат этой теории в чрезвычайной степени упрощает вычисления, которые могли бы даже оказаться практически невыполнимыми в обычной форме теории возмущений. Более того, он дает возможность однозначным образом устранять появляющиеся в процессе вычислений расходи- мости интегралов, о которых упоминалось уже в э 75 ').
') Иалозяенне в этой главе имеет своей целью дать лишь понятие об основных идеях теории, о происхождении и смысле фнгурнруюпзнх в ней понятий н величин. Поэтому необходимые вычисления не воспро. изводятся полностью; их ход лиань намечается с пелью уяснения лежа. щнх в их основе идей. 351 % 1031 МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ Покажем прежде всего, каким образом строится наиболее общее выражение амплитуд рассеяния для произвольных процессов, Имея в виду вторично квантованное описание системы частиц, вводим ее волновую функцию, в которой независимыми переменными являются числа заполнения состояний свободных частиц; обозначим эту функцию символом Ф (с целью подчеркнуть ее отличие от обычных, координатных, волновых функций).
Гамильтониан системы представим в виде Й=Й,+Ъ, где Й, — гамильтониан свободных частиц, а )7 — оператор электромагнитного взаимодействия. Функция Ф подчиняется волновому уравнению ( —,=(Й,-1-(7) Ф. (103, 1) Здесь подразумевается обычное (шредингеровское) представление операторов и волновых функций: операторы от времени не зависят, а временная эволюция системы описывается временнбй зависимостью волновой функции.
В й 76 было уже указано, что возможна и другая формулировка аппарата квантовой механики, в которой явная зависимость от времени перенесена с волновых функций на операторы; в этом (гейзенберговском) представлении волновые функции от времени вообще не зависят. Для стоящей сейчас перед нами задачи наиболее естественно, однако, некоторое «промежуточное» представление, в котором на операторы перенесена не вся временная зависимость, а лишь та, которая соответствует состоянию системы свободных частиц. Другими словами, в этом представлении (его называют представлением взаимодействия) волновая функция зависит ог времени, но эта зависимость целиком связана лишь с действием возмущения, т. е. отвечает как раз интересующим нас процессам рассеяния, происходящим благодаря взаимодействию частиц. Соответственно сказанному, волновое уравнение для функции Ф в представлении взаимодействия имеет внд 1 — =-Р(~) Ф, (103,3) отличаясь от (103,1) отсутствием Й, в правой стороне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
