1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Таким же образом преобразуется второй член в (104,3) и в результате получается оу) е'(й«7«и,) 0,„(п) (и«Уи)) — е'(и«Уеи,) О „(й ) (и«У'и,), (104,5) где )т=р« — рю )т =р,— р, '). Первый и второй члены этой амплитуды рассеяния могут быть символически представлены в виде так называемых диаграмм Фейнмана (рис. 14).
Рнс. !4. Каждой из точек пересечения линий (вершине) диаграммы сопоставляется множитель еуе. «Входящие» сплошные т) )час интересует только характер математической структуры элементов ь-матрицы. Поэтому мы опускаем не влияющие на нее общие множители. мы не будем также останавливаться на способе преобразования квадрата )оу;)' в наблюдаемую величину — сечение рассеяния. 358 ДИЛГРЛМММ ФЕЙНМЛНЛ 1гл. х<п линии, направленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоставляются множители и — биспинориые амплитуды соответствующих электронных состояний.
«Выходящие» сплошные линии, направленные от вершин,— конечные электроны; этим линиям сопоставляются множители й. При «прочтеиии» диаграммы указанные множители записываются слева направо в порядке, соответствующем передвижению вдоль сплошных линий против направления стрелок, Обе вершины соединены пунктирной линией, отвечающей виртуальному (промежуточному) фотону, «испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой линии сопоставляется множитель О,,(я).
4-импульс виртуального фотона (я или я') определяется «сохранением 4-импульса в вершине<и равенством суммарных импульсов входящих и выходящих линий. Линии, отвечающие начальным и конечным частицам, называют внешними линиями или свободными концами диаграммы. Две диаграммы иа рис. 14 отличаются друг от друга обменом двух свободных концов. Подчеркнем, что квадрат 4-импульса виртуального фотона я«= — А я" отнюдь ие равен нулю, как это должно было бы быть для реального фотона. В этой связи подчеркнем также, что описание процесса 1в соответствии с видом диаграмм) как испускание виртуального фотона с последующим его поглощением не имеет, конечно, буквального смысла и является лишь удобным способом словесного описания структуры выражений, входящих в амплитуду рассеяния.
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитрона. Их начальные 4-импульсы обозначим через р и р, а конечные — через р' и р'. Как должны быть изменены в этом случае диаграммы — ясно уже из характера структуры Ч"-операторов (103,9): в эти выражения операторы рождения и уничтожения позитронов входят вместе соответственно с операторами уничтожения и рождения электронов, а в качестве коэффициентов при них фигурируют а( — р) и и( — р) вместо и(р) и й(р). Отсюда следует, что вместо диаграмм, изображенных на рис. 14, будем иметь диаграммы, представленные на рис, 15. Правила составления диаграмм поменяются лишь в отношении позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям сопоставляется множитель и, а выходящим а.
Но теперь входящие концы отвечают конечным, а выходящие — начальным позитронам, причем 4-импульсы всех позитронов й 1041 дилг»ламы Фгйнмлнл 359 ,э г -,с'. 7 ~А+Р Рис, !з. происходит аннигиляция пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней — рождение пары из фотона (диаграмма «аннигиляционного» типа). Перейдем к другому эффекту второго порядка — рассеянию фотона на электроне (эффект Комптона). Пусть в начальном состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы я, и р„а в конечном й, и р,. В соответствующем элементе Я-матрицы операторы А (х)А,(х,') в (!04,!) обеспечивают (за счет содержашихся в них операторов сл, и с»+,) уничтожение фотона й, и рождение фотона й,. Уничтожение электрона р, и рождение электрона р, обеспечивается одной из двух пар операторов Чг и Ч" (за счет содержащихся в них а», и а»,).
По отношению же ко второй паре фигурирующих в (104,1) Ч'-операторов остается после этого диагональный матричный элемент <О!... (О>, где символ !О> означает теперь состояние электронно-позитронного вакуума — поля без частиц. Таким образом, возникает второе из основных понятий теории — так называемая электронная функция распространения нли электронный пропагатор, определяемый как ~ — ! <О ! Ч",(х) Ч'„(х') ! О> при !' < М, ~ге(х — х') = 1 !<0(Ч~»(х) Ч';(х)(0> при т <С'.
берутся с обратным знаком. Обратим внимание на различный характер двух диаграмм на рис. 15. Первая из них имеет такой же характер, что и диаграммы на рис. 14: в одной яз вершин пересекаются линии начального и конечного электронов, а в другой — то же самое для позитронов (диаграмма «рассеявательного» типа). Во второй же диаграмме в каждой из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — начальных и конечных, в верхней вершине как бы 360 ДИАГРАММЫ ФВЙНМАНА (ГЛ. Хт! Здесь 1, й — бнспннорные нндексы, так что 6;А — бнспннор второго ранга.
Для амплитуды рассеяния получается в результате следуюшее выражение: Зр е'и, (е',7) 6(р) (е т) и,+еай (е 7) 6(р') (е',у) и„(!04,7) где р=-рт+йы р'=р,— И;, е, н е, — 4-векторы поляризации начального н конечного фотонов '); 6(р) н 6(р') — электронные пропагаторы в импульсном представлении. Первый н второй члены в этом выражении представляются соответственно диаграммами Фейнмана, нзображеннымн на рнс, 16. Пунктирные свободные концы днаграммы отвечают реальным фотонам; входящим линиям Рнс. 1б.
(начальный фотон) сопоставляется множитель (4-вектор) е„ а выходящим линиям (конечный фотон) — множитель е,. Внутренняя сплошная линия, соединяющая обе вершины, отвечает виртуальному электрону; этой линии сопоставляется множитель 6(р). 4-нмпульс виртуального электрона (р нлн р') определяется сохранением 4-нмпульса в вершинах; подчеркнем, что его квадрат отнюдь не равен тз, как это должно было бы быть для реалытого электрона.
Подобно тому как изменением смысла внешннх электронных концов в диаграммах на .рнс. 14 получились диаграммы для рассеяния электрона н познтрона, так нз диаграмм на рнс. 16 получаются диаграммы, отвечающие другому процессу — аннигиляции электрона р н пози- трона р„с образованием двух фотонов й, н й, (рнс.
17). Описанные здесь на конкретных примерах правила являются основой, как говорят, диагрим,иной,техники, позволяющей составлять амплитуды различных электро- ') Не смешивать обозначение 4-векторов поляризации с электронныл~ зарядом е, квадрат которого стоит в (104,7) в качестве общего коэффициента! 5 !041 дгглгглммы ФийгпгАил 36! динамических процессов.
Амплитуда процесса рассеяния, появляющегося в и-м приближении теории возмущений, Рис. 17. ,т ч 1 л 4г Уг-ле ~р-угг-lгд ч г 1 г 1 Р, Р Рис. 1З. Рис. 1З. иа других диаграммах фотон испускается другими электронами (и, кроме того, могут быть переставлены р, и р,). Диаграмма 4-го порядка на рис. 19 есть одна из шести диаграмм, описывающих рассеяние фотона на фотоне; остальные диаграммы отличаются от нее перестановками четырех фотонных концов '). По сравнению с ра') Рассеяние фотона на фотоне является специфическим квантовоэлектродинамическим процессом; в классической электродинамнке оно отсутствует в силу линейности уравнений Максвелла. Существование этого эффекта оаначает, что квантовые явления приводят к появлении» малых нелинейных добавок в уравнениях Максвелла, изображается совокупностью всех диаграмм, содержащих и вершин и столько свободных концов, сколько всего участвует в процессе начальных и конечных частиц.
В каждой вершине сходятся три линии: одна фотонная и две (входящая и исходящая) электронные. Так, диаграмма с тремя вершинами (рис. 18) есть одна из восьми диаграмм, отвечающих (в третьем порядке теории возмущений) излучению фотона (е при столкновении электронов с 4-импульсами р, и р,(р, и р„ — 4-импульсы электронов после столкновения).
На этой диаграмме фотон (е испускается одним нз конечных электронов; 362 днАГРАммы ФейнмАнА (гл, кьч нее изображенными, диаграмма на рис. 19 отличается тем, что сохранение 4-импульсов в ее вершинах (при заданных начальных й„ /е, и конечных йз, /г,) не определяет однозначным образом 4-импульсы виртуальных электронов (внутренние сплошные линии диаграммы); одному из них можно приписать произвольное значение р. В таком случае составленное по диаграмме выражение должно еще быть - проинтегрировано по всем значениям компонент 4-вектора р.
Понятие о пропагаторах играет основную роль в аппарате квантовой электродинамики. Для фактического определения амплитуд рассеяния надо раз и навсегда вычислить эти пропагаторы, Отправной точкой такого вычисления является важное математическое свойство пропагаторов, состоящее в следующем. Оператор Ч" (х) удовлетвор нет уравнению Дирака ((ру) — па 1Ч'(х)=О (поскольку каждая из волновых функций Ч'р в разложении (103,9) удовлетворяет этому уравнению). Отсюда следует, что и функция 6(х — х') (в определении которой согласно (104,6) фигурирует Ч'(х)) обратится в нуль при воздействии на нее оператора (ур) — пт во всех точках х, за исключением, однако, тех, в которых /=Р.
Дело в том, что согласно определению (104,6) функция 6(х — х') стремится к различным пределам прн стремлении / к сверху или снизу (/- В+О или à — ьР— 0). Вычисление разности этих пределов приводит к простому результату: функция 6 испытывает при /=г' скачок, равный Ь6=— (6)~ Р+а — 6)г ~ .)= — /у"б(г — г). Но если функция 6(г' — /', г — г') испытывает при / — 8'=0 скачок Ь6, то это значит, что в ее производной д6/д/ появляется член с б-функцией: Л6 б(/ — г)').
В оператор Д ( р) — пт производная по времени входит в виде гу'д/д/. оэтому находим окончательно, что ~(ур) — гп~ 6 (х — х') = бни (х — х'), где символ бьн означает произведение четырех б-функций ') Действительно, проинтегрировав производную дО/д/ по малому интервалу времени 1 вокруг точки р, мы должны получить разность значения О по обе стороны момента 1=Р; поскольку интегрирование б.функции дает 1, мы н получим требуемое Лб. К 1бб) РАДИАЦИОННЫВ ПОПРАВКИ 363 от четырех компонент стоящего в аргументе 4-вектора: б'о (х — х') =б (( — 1') б (г — г').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
