1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 62
Текст из файла (страница 62)
У оператора Р(т) мы указываем аргумент ~ с целью подчеркнуть, что в рассматриваемом представлении он зависит от ДИЛГРЛММЫ ФЕЙНМЛНЛ [ГЛ. ХШ времени — в противоположность не зависящему от времени шредингеровскому оператору )Р в (103,1), Если Ф(1) и Ф(Г+6Г) — значения Ф в два бесконечно близких момента времени, то в силу (103,2) они связаны друг с другом посредством Ф(1+6() = [1 — 161 Р(1)) Ф(1), или с той же точностью Ф(1+61)=а-'л'Р~Р>Ф(1). Применяя эту формулу к последовательным интервалам времени бр„от р =- — оо до 1=+ со, можно выразить конечное значение Ф(+со) через начальное Ф( — оо).
Обозначив оператор, связывающий эти значения, через Я, имеем Ф(+рро)= = ЯФ ( — оо), где ц е-мы р прп Л (103,3) а знак П означает предел произведения по всем интервалам 61„. Если бы )Р(1) было обычной функцией, то этот предел сводился бы просто к .*р( — Хрр„.ррр.рГ =Гхр( — 1 рррррр). Л / -р Но такое сведение основано на коммутативности множителей, взятых в различные моменты времени, подразумевающейся при переходе от произведения в (103,3) к суммированию в экспоненте. Для оператора (Г(К) такой коммутативности, вообще говоря, нет и сведение к обычному интегралу невозможно. Напишем (!03,3) в символическом виде: р=-Г р( — 1 рррр).
рррррр где Т вЂ” хронологический оператор, означающий определенную («хронологическую») последовательность моментов времени в последовательных множителях произведения (103,3). Сама по себе такая запись имеет, конечно, лишь чисто символический характер. Она дает, однако, возможность легко написать ряд, представляющий собой 353 $1031 мнтРицА РАссеяния разложение о по степеням возмущения: З=~ — '„"" ~ (1, ~ (1,... ~ ((,т Я(1,)тУ(1,)...(У(1,». А=о и (103,5) Здесь в каждом члене й-я степень интеграла написана в виде й-кратного интеграла, а оператор Т означает, что в каждой области значений переменных 1ы 1ю..., 1„надо располагать множители Р(1,), К(1,),..., )т(1А) в хронологическом порядке: справа налево в порядке возрастания значений т.
Поскольку операция хронологизации относится теперь просто к произведению (а не к экспоненциальному выражению, как в (103,4)), то выражение каждого члена суммы (103,5) имеет уже реальный, а не символический характер. Из определения оператора 3 очевидно, что если до стол. кновения система находилась в состоянии Ф; (некоторая совокупность свободных частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Фу (другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент Зтп Действительно, по определению матричных элементов оператора, функция Ф (оо)=5Ф, может быть представлена в виде разложения Ф(оо) =-~5утФу / (ср. (11,11)); квадрат )Я~,Р есть, следовательно, вероятность системе оказаться прн 1-ь-оо (т.
е. после процесса взаимо. действия) в конечном состоянии Фо Оператор Б называют операторол) рассеяния, а о совокупности его матричных элементов говорят как о матрице рассеяния или Б-матрице (этот термин был уже упомянут в р 75). Недиагональные (М)) элементы этой матрицы являются амплитудами процессов рассеяния 1- ) '), Для придания формуле (!03,5) вполне конкретного смысла надо еще установить общий вид оператора взаимодействия )т(1), обнимающего в себе все возможные электродинамические процессы. Это легко сделать путем прямого обобщения формул, написанных уже в р 95.
В этом параграфе ') Вывод правил релятивистской теории возмущений с помощью разложения 003,о) принадлежит Ф. Дванову. 354 ДНАГРАММЫ ФЕЙНМАНА (гл. хш было подвергнуто вторичному квантованию только электромагнитное поле, представленное в (95,1) оператором А. Теперь надо перейти ко вторичному квантованию также и для электронно-позитронного поля. Этот переход осуществляется просто заменой волновых функций электрона в матричных элементах (95, 5 — 6) соответствующими Ч"-операторами.
Таким образом, приходим к выражению 'тт (г) = — е ~ 1 Ас(зх, (103,6) где 1 =ЧгеаЧг — вторично квантованный оператор плотности тока частиц (Ух=с(хг(удг — элемент объема). В (103,6) фигурируют трехмерные векторы ) и А, что связано со специальным выбором калибровки потенциалов поля, которой мы до сих пор пользовались: калибровка с равным нулю скалярным потенциалом. Имея в виду получение релятивистски инвариантных выражений, надо перейти к четырехмерной форме записи Р (() = е ~ )е А„Рх, (103,7) где )и = ЧгуетР— оператор 4-вектора плотности тока, а А — оператор 4-потенциала, в котором заранее не предопределен выбор калибровки (при А"=(О, А) (103,7) переходит в (103,6)). Вид оператора А» отличается от (76,15) лишь заменой вектора поляризации фотонов е на единичный 4-вектор е" (который сводится к ее=(0, е) лишь при специальной калибровке) '): Ае = ~'.
1/ — (сасне ('""' + сазе"е"а") (103,8) йы ') Для краткости, везде опускаем индексы, указывающие поляризацию частиц. В этой главе мы будем часто пользоваться способом условной записи 4-векторов светлыми буквами без индексов р, т,..., нумерующих их компоненты. Таи, х и р обозначают 4-векторы хе=(б г) и рт= (е, р). При этои скалярные произведения 4-векторов записываются тоже без индексов. Так, (рх)=р хе=м — рг; равенство р ри=т для 4-импульса частицы с массой и записывается в виде р'=т', ра.
веиство й де=о для 4-импульса фотона — в виде аз=а и т. п, Такой способ записи широко используется в современной литературе. Этот компромисс между Ачфавитиыми ресурсами и нуждами физики требует, конечно, от читателя повышенного внимания. 355 1041 ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА Выражения Ч'-операторов через операторы рождения и уничтожения электронов и позитронов даются формулами (85,3). Напишем их в виде Чг =,').", (ггрЧга+ 6, Ч и), 'Г =,).",(йа Чга+ ЬРЧ р), (103„9) где функции гГр — плоские волны с 4-импульсами йч Ч" = (11(1)и (р) и-г"">, (103, 10) Обратим внимание на то, что временная зависимость операторов (103,8 — 9), а с ними и оператора взаимодействия (103,7), переносится на них с волновых функций свободного движения частиц — плоских волн.
Другими словами, эти операторы написаны как раз в требуемом пред. ставлении — в представлении взаимодействия. й 104. Диаграммы Фейнмана Путь вычисления элементов матрицы рассеяния проиллюстрируем на конкретных примерах. Рассмотрим процессы, возникающие во втором прибли. женин теории возмущений. Им соответствует член второго порядка в разложении (103,5) (/г=2); подставив, напишем этот член в виде У" = — — ~~64хУхТ (!ФР(х) А (х)1''(х ) А„(х )).
(!04,1) где г('х=г(Ыах — элемент 4-объема. Обратим внимание на релятивистски инвариантный характер этой формулы: произведения (РА) — 4-скаляры; скалярной же операцией является и интегрирование по 4-объему '). В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с 4-импульсами р, и р„а в конечном — два электрона с другими 4-импульсами ра и р,. Поскольку фотонные и электронные операторы действуют на различные переменные (фотонные и электронные числа заполнения), их матричные элементы вычисляются независимо. В данном г) яы не останавливаемся на рассуждениях, доказывающих, что релятивистская инвариантность не нарушается также и операцией хронологизацни. 356 дилгглммы енйнмлнл [гл. хн случае в начальном и конечном состояниях фотонов вообще нет. Поэтому по отношению к фотонным операторам А (х)А„(х') нужный нам матричный элемент есть диагональный элемент <О!...(О>, где символ (О> обозначает состояние электромагнитного поля без фотонов или, как говорят, состояние фотонного вакуума.
Зтот матричный элемент представляет собой определенную функцию 4-координат х и х'. При этом в силу однородности пространства и времени эта функция может зависеть только от пространственного (г — г') и временнбго (à — Р) интервалов, т. е. только от разности х — х', а не от значений х и х' в отдельности. Таким образом, появляется одно из основных новых понятий излагаемой теории — так называемая фотонная функция расяроапранения или фотонный пропагатор '), определяемый как ~1<0! А (х) А„(х')10> при р <1, Р,(х — х') = (104,2) 11<0! А„(х') А (х)(0> при Г < р (разный порядок множителей при р(! и 1( р связано действием оператора Т в (104,!)).
Рассмотрим, далее, электронные операторы в (104,!), Каждый из двух фигурирующих здесь операторов тока есть произведение(=ЧтуЧт, а каждый из Ч'-операторовдается суммой (!03,9). Поэтому произведение (н(х))" (х') представится суммой членов, каждтнй из которых содержит произведение каких-либо четырех из операторов а„, а,", Ь, Ьр . Отличный от нуля вклад в нужный иам матричный элемейт дадут те из этих членов, в которых операторы обеспечивают уничтожение начальных электронов р„р, и рождение конечных электронов рсо р,.
Другими словами, это будут те члены, которые содержат произведение операторов а„„ + + а„, аео а„. Проведенное таким путем вычисление приводит к результату: 5,. = (еа ~ ~ с(ахс(4х'Р, (х — х') ((Ч" унЧт,) (Чс,у'Чт,)— — (Чау Ч ) (Ф у'Чт )», (104,3) где Чт,=Чтго(х), Ч';=Ч'р,(х') и т. д. ') От английского слова ргораааиоп — распространение, 357 4 1041 днлгтлммы еийнмлнл Электронные волновые функции — плоские волны (103,10). Поэтому, например, первый член в фигурных скобках в (104,3) содержит экспоненциальный множитель е ) ик РП к) ! па~-РП к ) Но в силу закона сохранения 4-импульса при столкновении р,+р,=р,+р„а потому р,— р,=р,— р,. Написанный множитель превращается в Е) ип.-а*) (к-к'» и интегрирование по «(«(х — х') в (104,3) означает взятие компоненты разложения функции 0 „(х — х') в четырехмерный интеграл Фурье, отвечающей 4-импульсу н=р« — р,. Определяемую таким разложением функцию О„,(7с) = ~ 0 „(х — х') е) <а <"-к'» У (х — х') (104,4) называют фотонным пропагатором в импульсном представлении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
