1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Таким образом, функция б(х — х') удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению — уравнению Дирака, в правую часть которого добавлена б-функция. Такую функцию называют в математической физике функцией Грина соответствующего однородного уравнения — в данном случае уравнения Дирака, В связи с этим электронный пропагатор часто называют также и электронной функцией Грина. Аналогичным образом, фотонный пропагатор оказывается функцией Грина волнового уравнения, которому удовлетворяют потенциалы электромагнитного поля (отсюда и ее другое употребительное название — фотонная функция Грина), й 105, Радиационные поправки Диаграммная техника дает, в принципе, возможность вычислять амплитуды рассеяния не только в первом неисчезающем приближении теории возмущений, но и поправки к ним, происходящие от следующих. приближений.
Эти поправки называют радиационными. При вычислении радиационных поправок возникают, как правило, затруднения, связанные с появлением расходящихся интегралов. В этом проявляется логическое несовершенство существующей квантовой электродинамики. В этой теории можно установить, однако, определенные предписания, позволяющие однозначным образом производить «вычитания бесконечностей» и в результате получать конечныс значения для всех величин, имеющих наблюдаемый физический смысл.
В основе этих предписаний лежат очевидные физические требования, сводящиеся к тому, что масса фотона должна быть равна нулю, а масса и заряд электрона должны быть равны их наблюдаемым значениям. О процедуре, состоящей в приписывании расходящимся выражениям наперед заданных значений, устанавливаемых физическими требованиями, говорят как о перенормироеке соответствующих величин.
Диаграммы, изображающие радиационные поправки к амплитудам рассеяния, получаются из основных диаграмм нх усложнением путем добавления новых вершин при неиз- ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА [ГЯ. ХУ! менном числе внешних концов, Так, линию виртуального фотона на диаграмме можно усложнить введением в нее «электронной петли» с двумя новыми вершинами (рис.
20, а). р р-л а) , Л ~ г я р я л р -(/с-р/ Рнс. 20. При этом 4-вектор р остается произвольным и по нему должно быть произведено интегрирование; этот интеграл оказывается расходящимся и требует перенормировки. Наглядно эту диаграмму можно описать как рождение нз вакуума виртуальным фотоном [е виртуальной электронно-позитронной пары (с 4-импульсами р и и — р) и последующую аннигиляцию пары с возникновением прежнего фотона.
В связи с этим о радиационных поправках, связанных с диаграммами вида, представленного на рис. 20,а, говорят как об эффекте поляризации вакуума. Этот эффект приводит, в частности, к некоторому искажению кулонова поля вблизи заряженной частицы '). Аналогичным образом, добавлением двух новых вершин можно усложнить линию виртуального электрона (рис. 20,б).
Виртуальный электрон р как бы испускает виртуальный фотон, а затем снова его поглощает. Взаимодействие электрона с фотоном изображается на диаграммах Фейнмана вершиной — точкой, в которой фотонная линия й пересекается с электронными р, и р,(рис. 21,а). а) Рг РГ Рис. 2К Более сложный «диаграммный блок» (рис. 21,6) представляет собой радиационную поправку к простой верэ) Эти искажения простираются на расстояния -й/тпс, где аэ — мас. са электрона.
В 106) РАдиАИНОВВый сдВиГ АтОмных РРОВВРИ 365 шине. Эта поправка приводит, в частности, к важному результату: магнитный момент электрона р перестает быть строго равным тому значению (93,9), которое следует из уравнения Дирака. С учетом радиационной поправки р оказывается равным (в обычных единицах) ев ~ „сс ) где а — постоянная тонкой структуры (эта формула была впервые получена Юлианом Швингером в !949 г.).
9 106. Радиационный сдвиг атомных уровней Один из наиболее интересных эффектов радиационных поправок состоит в сдвиге значений атомных уровней энергии (так называемое смещение Лэмба). Он приводит, в частности, к снятию того последнего вырождения уровней атома водорода, которое оставалось еще по уравнению Днрака 6 94). Не имея возможности дать здесь полный расчет этой поправки, приведем простой вывод в рамках нерелятивистской теории. Хотя этот вывод и не является вполне последовательным, он может служить иллюстрацией происхождения радиационных поправок '). Оператор взаимодействия электронной системы (будем говорить об атоме водорода) с полем фотонов не имеет диагональных матричных элементов 6 95), Поэтому в первом приближении теории возмущений это взаимодействие не дает поправки к уровням энергии атома.
Такая поправка возникает, однако, во втором приближении. Согласно общей формуле (32,10) поправка второго порядка к уровням энергии определяется недиагональными матричными элементами возмущения, соответствующими переходам из заданного состояния в промежуточные состояния. В данном случае речь идет о состояниях системы из атома вместе с полем фотонов, и исходным является состояние, в котором атом находится на некотором своем (л-м) уровне, а фотонов вообще нет. В промежуточных состояниях атом может находиться на любом из своих уровней, а в поле имеется один г) Этот вывод был даи впервые Гансом Бете в 1947 г.
и послужил отправиым толчком для всего последующего развития ивантовоя электродпнамиии. 366 (гл. хтл лнвгванмы Фнйинана фотон. Наглядно, можно сказать, что поправка к энергии' связана с излучением атомом виртуальных фотонов с последующим их поглощением '). Матричные элементы оператора электромагнитного взаимодействия, отвечающие излучению фотона, в нерелятивистском случае согласно (97,2) и (97,1) равны / з — е гав — „(е*ч„). Суммирование по промежуточным состояниям включает в себя как суммирование по состояниям атома (отмеченным индексом и), так и интегрирование по импульсам фотона (т.
е. по ьагй,гйяп7гД2и)а) и суммирование по его поляризациям. Интегрирование по направлениям к и суммирование по поляризациям производится так же, как это было сделано при выводе (97,4), и в результате для поправки к энергии получается (106,1) Зп Лй,) (Ет+ы) — Ел ' где Е„, Š— невозмущенные уровни энергии атома. Этот интеграл, однако, расходится на верхнем пределе. Для свободного электрона выражение (106,1) представляло бы собой поправку к массе, и операция перенормировкн состояла бы просто в отбрасывании его целиком— уже «невозмущенная» масса электрона есть ее наблюдаемое значение. С другой стороны, для свободного электрона оператор скорости тг=рггп имеет только диагональные матричные элементы ч„„, совпадающие с определенными (для свободной частицы) значениями ч. Сумма по т в (106,1) сводится при этом к одному члену (т=п): Зеа à — — т чаг(оь Зп,) Перенормировочную постоянную для связанного (в атоме) электрона получим, заменив квадрат скорости ча на его среднее значение в заданном состоянии атома, т.
е. на мат. ') В нерелятивистской теории виртуальность фотона проявляется в несоблюдении закона сохранения энергии прн его испускании илг поглощении. Что касается рождения виртуальных электронно-пози тронных пар, то в нерелятнвистском приближении оно отсутствует й) 106! радиационный сдвиг лтоиных дровней 367 личный элемент (и')а„. Но по правилу умножения матриц имеем (ч )„„= ~~~~~ ч„~ч „= ~~~~ ( ч„~ ! ° Таким образом, приходим к выражению —,„'~',~! ..! (, которое надо вычесть из (106,1) для того, чтобы получить наблюдаемое значение поправки к уровню энергии: ЬЕ = — ~~( " " йо. (!06,2) Зи ~' м,) Е,„— Е„+ ю Этот интеграл все еще расходится на верхнем пределе, зо уже только логарифмически; в последовательной реля- гивистской теории этой расходимости в действительности не остается.
В рамках же нерелятивистской теории можно получить хорошую оценку величины ЬЕ„, распространив интегрирование в (106,2) от 0 до значения электронной массы лт,— имея в виду, что нерелятивистское рассмотрение допустимо только при частотах фотона ю(<т и что значение логарифмического интеграла мало чувствительно к точному выбору его верхнего предела (большого по сравнению со всеми разностями уровней энергии атома Š— Е„), Наконец, заменив матричные элементы скорости элек- грона матричными элеыентами дипольного момента согласно (9?,1)„получим окончательно (в обычных единицах) ЬЕ„= — ~Х " ! П„е )з (ń— Е„)'!П, . (106,3) л Это смещение зависит от всех квантовых чисел электрона в атоме — от главного квантового числа л, полного момента! и орбитального момента !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
