1612725069-2739e64bf2919fc4b1438ed9a7475295 (828987), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Конечное состояние всей системы электрон + поле будет, однако, относиться к непрерывному спектру за счет испущенного фотона, — спектр возможных значений энергии фотона непрерывен. Таким образом, мы имеем здесь дело именно с той постановкой задачи, которая рассматривалась в 3 35. Согласно (35,6), вероятность (в 1 сек) перехода 1-э-~ с испусканием фотона будет с(ти = 2п ( ~'; (' б (Е, — Š— ы) ду, 96) спОнтАннОе н ВынужденнОе пспускАнне 33! где с(у условно обозначает совокупность величин, характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значений.
Лля фотонов с определенными значениями волнового вектора величинами ч являются компоненты )т, так что г(у=г)ге,гОеуг(я,=оэЧгиг(о (где Его — элемент телесных углов для направлений )т). При таком выборе величин ч в форлгуле (95,12) подразумевалось бы, что волновая функция фотона нормврована на 6 (к). Между тем функция (95,9) нормирована на 1 фотон в объеме !1; в этой нормировке волновая функция имеет множитель!,)г ьа вместо множителя (2п) — ч* в норлгировке на 6(Ц (ср. (27,9) и (12,10)). Поэтому формулу (95,12) надо написать теперь в виде г)го = 2п ! )ггн ~' 6 (Е'г — Ет — оэ) а .
(95,13) Фигурирующая здесь 6-функция выражает закон сохранения энергии: энергия испускаемого фотона равна убыли энергии излучателя, Ы=Ег — Ег. Интегрирование формулы (95,13) по с(га устраняет эту 6-функцию и приводит к следующему окончательному выражению для вероятности излучения фотона с энергией ы=Ег — Ет в направлении в телесном угле г(о: г!гэ = — ( )г !э оэа г(о. (95, 14) Сюда должен быть подставлеи матричный элемент (95,10). 9 96.
Спонтанное и вынужденное непускание') В следующих параграфах полученные выше формулы будут использованы для вычисления вероятностей переходов в ряде конкретных случаев. Здесь же мы рассмотрим некоторые общие соотношения между различными видами радиационных процессов. Матричный элемент (95,5) относится к процессу испускания фотона при условии, что в начальном состоянии поля фотонов данного сорта нет. Если же в начальном состоянии уже имелось Х„таких фотонов, то матричный.элемент перехода умножается еще на )гЛ'„+1 (согласно (95,4)). Вероятность же перехода соответственно умножается на йг„+1.
') В этом параграфе польа!еагси обычными единицами, 882 (гл. хч излучение Единица в этом множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и при У„-О. Член же Л'„обусловливает вынужденное (или индуцироваиное) испускание: мы видим, что наличие фотонов в начальном состоянии поля стимулирует дополнительное непускание.таких же фотонов. Если переход ~- Г" представляет собой непускание фотона системой, переходящей с некоторого уровня Е, на более низкий уровень Е„ то обратный переход г"- 1 будет поглощением такого же фотона системой, переходящей с уровня Е~ на уровень Е,.Матричный элемент этого обратного церехода отличается от матричного элемента прямого перехода заменой множителя (95,4) на (95,3), т. е.заменой )~Л'„+1 на )/Л'„.
Отсюда следует, что между вероятностями испускания и поглощения фотона (при переходах между заданной парой уровней излучающей системы) имеет место соотношение ~изл ~ ч (96,1) мп ого Мч (оно было впервые установлено в 1916 г. Эйнштейном, предсказавшим, таким образом, явление вынужденного испускания). Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне на систему излучения. Пусть !ы йодо (96,2) есть энергия излучения, падающего в 1 сек на плошадку в 1 см' и имеющего полярпзацшо е, частбты — в интервале г(ы и направление волнового вектора — в элементе телесного угла Но.
Указанным интервалам отвечают !)баяно/(2п)' осцилляторов поля (в обьеме ()), на каждый из которых приходится по Л'ы фотонов данной поляризации. Поэтому ту же энергию (96,2) мы получим, составив произведение с йИсйдо х Йвз з Ль»' ы= ~ 2ЛВе610)йо, Отсюда находим искомое соотношение (96,3) Пусть дшь',"' есть вероятность спонтанного испускания фотона с поляризацией е в телесный угол йо; индексами (ин) в 971 ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ззз и (погл) отметим аналогичные вероятности для индуцированного испускания и для поглощения. Согласно (96,1) и (96,3) эти вероятности связаны между собой следующими соотношениями: пы Если падающее излучение изотропио и не поляризовано ()а, не зависит от направлений )( и е), то интегрирование (96,4) по (то и суммирование по поляризациям дают аналогичные соотношения между полными вероятностями радиационных переходов (между заданнымн состояниями системы зарядов): П((пптп( П(о(н( ш((п) ' / ; аг( (96,5) ~„з где ('=2 4п('е, — полная спектральная интенсивность падающего излучения.
Если состояния ! и ) излучающей (или поглощающей) системы вырождены '), то полная вероятность излучения (илн поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности вырождения (статиспшчегкие веса) состояний (' и у" посредством 9( и 9(. Для процессов спонтанного и индуцированного испускания начальными являются состояния (, а для поглощения — состояния ).
Предполагая в каждом случае все а( или дт начальных состояний равновероятными, получим, очевидно, вместо (96,5) следующие соотношения: но П((ппгн( й.ти(нп( (нп('( гп ( (96,6) 9 9?. Днпольное излучение Очень важен случай, когда длина волны фотона Х велика по сравнению с размерал(и излучающей системы а. Такая ситуация обычно связана с малостью скоростей частиц по сравнению со скоростью света (ср. 1 р 80). ') Это может быть, например, аырожаеиие по иапранлениям момента излучающего атома, 334 [гл.
хч язлучниив В первом приближении по малому отношению а()э в интеграле (95,!О) можно заменить единицей множитель е ™г, мало меняющийся на протяжении размеров системы, т. е. в области, где функции фг и тру заметно отличны от нуля. Такая замена означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона по сравнению с импульсами частиц в системе (в обычных единицах первый есть йК а вторые— порядка величины Ьа).
Это приближение соответствует дипольному случаю в классической теории излучения. В том же приближении интеграл 1„(0) =) 9,"пф; (У иэ )тт —— чп — — — игл = — — дп, (97,1) где б=ег — дипольный момент электрона (в его орбитальном движении). Подставив (97,1) в (95,10), находим ') Угг = г )гг — "„е*дп, (97,2) а затем согласно (95,14) следующую формулу для вероятности дипольного излучения: ыэ с(гп = — (е'дп('г(о (97,3) (направление волнового вектора фотона (с фигурирует здесь в неявном виде: вектор поляризации е должен быть перпен- дикулярен к).
') Лналогичное выражение для ыатричного элемента перехода о поглощеннеч фотона: l зпот УП = — г )г — ' едгр (т (97,2а) Оио получается иа (9В,В) точно так же, иак (97,о] получается иэ (%,9), может быть заменен его нерелятивистским выражением, т. е. просто матричным элементом скорости электрона ч по отношению к шредингеропским (нерелятивистским) волновым функциям. В свою очередь, матричный элемент чп может быть выражен через такой же элемент радиус.вектора электрона: поскольку ч=г, то согласно (11,8) имеем чп —— -((Е( — Ег)гп, разность Ег — Ег совпадает с частотой го испускаемого фотона, так что 4 971 ЛНПОЛЬНОЕ ЯЗЛУЧЕНИЕ 335 Полная вероятность испускания получается интегрированием (97,3) по всем направлениям фотона и суммированием по его двум возможным независимым поляризациям.
Пусть е отвечает линейной поляризации; тогда е — вещественный еДиничный вектоР и пРоизвеДение е*е)п есть оДна из декартовых компонент вектора бп. Заменив квадрат )(дп),~- 'его средним значением, равным 'I,Щ", мы сведем дальнейшее интегрирование по е(о к простому умножению иа 4п, а суммирование по поляризациям — к умножению на 2. Таким образом, полная вероятность испускания фотона равна или в обычных единицах (97,4) Интенсивность излучения 7 получается умножением вероятности на Йьь: (97,5) Обратим внимание на то, что пряближеииое выражение матричного элемента (97,2) представляет собой матричный элемент оператора 'У'.= — Ед, (97,6) где Е=- — дА!д1 — оператор напряженности электрического поля, а ц — оператор дипольного момента электрона; (97,2) получается из (97,6) точно так же, как (95,5) получается из (95,1), Приближенный оператор взаимодействия (97,6) как раз соответствует классическому нерелятивистскому выражению потенциальной энергии системы зарядов в квазиоднородном электрическом ноле (см.
1 3 64). Это обстоятельство важно в том отношении, что позволяет широко раздвинуть область применения полученных в этом параграфе формул: оии относятся не только к одноэлектронному излучателю, но и к излучению любой нерелятивистской системой частиц. Формула (97,5) обнаруживает непосредственную аналогию с классической формулой (см. 1 (80,12)) для интенсивности дипольпого излучения системой периодически (гл„хт нзлтчвянв движущихся частиц: интенсивность излучения с частотой м — — -ль, (где ю, — частота движения частиц, и — целое число) равна (97, 7) где д„— компоненты разложения дипольного момента системы в ряде Фурье: ОР д (() ~я~~~ д е-мобил (97,8) Квантовая формула (97,5) получается из (97,7) заменой этих компонент Фурье матричными элементами соответствующих переходов.
Это правило (выражающее собой принцип соотвелтствия Бора) является частным случаем общего соответствия между компонентами Фурье классических величин и квантовыми матричными элементами в квазнклассическом случае $27). Излучение квазнкласснчно для переходов между состояниями с большими квантовыми числами; при этом энергия фотона ума =Е,— Ег мала по сравнению с энергиями излучателя Е; и Еп Но точная (не связанная с предположением квазиклассичности) формула (97,5) имеет одинаковый вид как при малых, так и прп произвольных значениях в. Этим объясняется тот (в известном смысле случайный) факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения оказывается справедливым не только в квази- классическом, но и в общем квантовом случае.
$98. Мультипольное излучение Вместо того чтобы говорить об испускании фотонов с заданным импульсом (т. е. в заданном направлении), рассмотрим теперь непускание фотонов с определенными значениями момента ('. Тем самым выяснится также и более глубокий квантовомеханический смысл дипольного приближения. Для испускания таких фотонов существуют строгие правила отбора, являющиеся следствием закона сохранения момента: начальный момент излучающей системы должен совпадать с суммарным моментом конечной системы и фотона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
