1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией. Построить такой критерий δ с вероятностью ошибки первого рода α1 (δ) = ε для различения гипотез H1 = {a = a0 }, H2 = {a < a0 } и H3 = {a > a0 },что α2 (δ) → 0 при любом a < a0 и α3 (δ) → 0 при любом a > a0 .√Р е ш е н и е. Построим критерий с помощью статистики n X − a0 , имеющей при гипотезе H1 стандартное нормальное распределение. Если ζ1−ε/2 —квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения, то критерий√ H2 , если n X − a0 √< −ζ1−ε/2 ,δ(X1 , .
. . , Xn ) =H1 , если − ζ1−ε/2 6 n X − a0 6 ζ1−ε/2 ,√H3 , если n X − a0 > ζ1−ε/2имеет вероятность ошибки первого рода ε. Вероятность ошибки второго родастремится к нулю:√PH2 {δ 6= H2 } = PH2n X − a0 > −ζ1−ε/2 → 0,pпоскольку X − a0 → a − a0 < 0 для любого a < a0 , так что величина√n X − a0 с ростом n стремится по вероятности к минус бесконечности. Всилу симметрии вероятность ошибки третьего рода также стремится к нулю.20.9. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p. Построить какой-либо состоятельный критерийасимптотического размера ε для проверки гипотезы p = p0 противальтернативы p 6= p0 .20.10. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Построить какой-либо состоятельный критерий асимптотического размера ε для проверки гипотезы λ = λ0против альтернативы λ 6= λ0 .20.11.
Используя конструкции доверительного интервала, построить критерий с (точной или асимптотической) ошибкой первого рода ε для проверки гипотезы θ = 1 по выборке из§ 20. критерии согласия97а) нормального распределения со средним θ и дисперсией 1;б) нормального распределения со средним 1 и дисперсией θ;в) показательного распределения с параметром θ;г) распределения Бернулли с параметром θ/2;д) распределения Пуассона с параметром θ.20.12.
Пусть выборка X1 , . . . , Xn имеет нормальное распределение со средним a и дисперсией σ 2 . Для проверки гипотезы отом, что a = a0 , используется статистика√ n X − a0 p.S02Доказать, что соответствующий критерий состоятелен.20.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из нормальногораспределения со средним a и единичной дисперсией, а Y1 , . . . ,Ym — выборка объёма m из нормального распределения со средним b и единичной дисперсией; выборки X и Y независимы. Проверяется гипотеза о близости математических ожиданийa и b.Основная гипотеза H1 = {a = b} принимается, если X − Y 6 1.Иначе принимается альтернатива H2 = {|a − b| > 1}.
Является лиданный критерий состоятельным (при n, m → ∞)? Найти вероятность ошибки первого рода этого критерия.20.14. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из нормальногораспределения со средним a и единичной дисперсией, а Y1 , . . . ,Ym — выборка объёма m из нормального распределения со средним b и единичной дисперсией; выборки X и Y независимы.
Известно, что a > b. Проверяется гипотеза о равенстве математических ожиданий a и b. Основная гипотеза H1 = {a = b} принимается, еслиrnmX − Y 6 c.n+mВ противном случае принимается альтернатива H2 = {a > b}.Здесь c > 0 — заранее выбранное число. Найти размер данногокритерия в зависимости от c. Проверить состоятельность этогокритерия.20.15. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка объёма n из нормаль-98отдел vi. проверка гипотезного распределения со средним a и известной дисперсией σ12 , аY1 , . . . , Ym — выборка объёма m из нормального распределениясо средним b и известной дисперсией σ22 ; выборки X и Y независимы. Рассматривается основная гипотеза H1 = {a = b} противальтернативы H2 = {a > b}.
Построить какой-нибудь состоятельный критерий размера ε, основываясь на статистикеT =pX −Yσ12 /n+ σ22 /m.20.16. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , а выборкаY1 , . . . , Ym объёма m — из нормального распределения со средним b и той же дисперсией σ 2 . Для проверки гипотезы о том, чтоa = b, используется статистикаrnm X −Yn+mv!.umnXXu122tYi − YXi − X +n+m−2i=1i=1Доказать, что соответствующий критерий состоятелен.20.17. Пусть X1 , . .
. , Xn и Y1 , . . . , Yn — две независимые выборки из непрерывных распределений. Для проверки гипотезыо совпадении распределений используют набор разностей Zi =Xi − Yi , i = 1, . . . , n. Гипотеза о совпадении распределений отклоняется, если число положительных членов в последовательностиZ1 , . . . , Zn отличается от n/2 более чем на γ, где число γ > 0 заранее выбирается подходящим образом (критерий знаков). Найтивероятность ошибки первого рода в точном виде и оценить её значение при больших n с помощью нормального приближения. Каким нужно выбрать число γ, чтобы вероятность ошибки первогорода равнялась ε? Является ли критерий состоятельным?20.18.
При переписи населения Англии и Уэльса в 1901 г. было зарегистрировано (с точностью до тысячи) 15 729 000 мужчини 16 799 000 женщин; 3 497 мужчин и 3 072 женщины были зарегистрированы как глухонемые от рождения. Проверить гипотезу§ 20. критерии согласия99о том, что глухонемота не связана с полом.Р е ш е н и е. Можно использовать критерий, основанный на том, что приверной основной гипотезе о равенстве параметров двух распределений Бернулли статистикаX −YT = p,p∗ (1 − p∗ )(1/n + 1/m)(нормированное расстояние между выборочными средними) слабо сходитсяк стандартному нормальному распределению. Здесь через n и m обозначены объёмынезависимых выборок X1 , . .
. , Xn и Y1 , . . . , Ym соответственно, аPPXi + Yj— оценка для параметра p, полученная по объединённой выp∗ =n+mборке в предположении справедливости основной гипотезы. Подставив данные задачи, получим значение T = 7,91489. Реально достигнутый уровеньзначимости равен (практически точно, так как объёмы выборок очень велики)ε∗ = P{|ξ| > T } = 2Φ(7,91),где ξ имеет стандартное нормальное распределение.
Правая часть равна 0 сбольшой степенью точности. Тем самым следует отвергнуть основную гипотезу, так как статистика критерия даёт такое громадное отклонение, какоепри верной основной гипотезе может получиться лишь с почти нулевой вероятностью.20.19. Пользуясь интегральной теоремой Муавра – Лапласа,доказать теорему Пирсона при k = 2.20.20. Пользуясь законом больших чисел Бернулли, доказатьсостоятельность критерия «хи-квадрат».20.21.
Цифры 0, 1, 2, . . . , 9 среди 800 первых десятичных знаков числа π появились 74, 92, 83, 79, 80, 73, 77, 75, 76, 91 разсоответственно. Проверить гипотезу о согласии этих данных с законом равномерного на множестве {0, 1, . . . , 9} распределения.20.22. По официальным данным в Швеции в 1935 г. родилось88 273 ребенка, причем в январе родилось 7280 детей, в феврале — 6957, марте — 7883, апреле — 7884, мае — 7892, июне —7609, июле — 7585, августе — 7393, сентябре — 7203, октябре —6903, ноябре — 6552 и в декабре — 7132 ребенка. Совместимы лиэти данные с гипотезой, что день рождения наудачу выбранногочеловека с равной вероятностью приходится на любой из 365 днейгода?100отдел vi. проверка гипотез20.23.
Ниже приводятся результаты 4096 опытов, состоящихв одновременном подбрасывании 12 костей (данные Уэлдона). Вкаждом из опытов подсчитывалось число костей, выпавших кверху шестёркой (гранью с шестью очками). Проверить гипотезу правильности костей.Числошестёрок 0Числослучаев 4471231145 1181 796456>7Всего380115248409620.24. В [13] приведены данные, собранные доктором Э. Бэрром из Оксфордского окружного госпитального совета, о моментах поступления пациентов в отделение интенсивной терапии спонедельника 4 февраля 1963 г. по среду 18 марта 1964 г.
Рассмотрим три различных способа группировки этих событий.А. Изменчивость по месяцамМесяци годФевральМартАпрельМайИюньИюльАвгустЧислодней6363636363636325313031303131Числопациентов13161218231615Месяци годСентябрьОктябрьНоябрьДекабрьЯнварьФевральМартЧислодней6363636364646430313031312918Числопациентов1717283223177Согласуются ли эти данные с гипотезой, что пациенты попадают в отделение с равной вероятностью в любой из дней? Исследовать тот же вопрос при исключении двух последних месяцев вгоду — ноября и декабря.B.
Изменчивость по дням неделиДень неделиПнВтСрЧтПтСбВсЧисло пациентов37533527304428101§ 20. критерии согласияСогласуются ли эти данные с гипотезой, что пациенты попадают в отделение с равной вероятностью в любой из семи днейнедели? В любой из дней недели кроме вторника?C. Изменчивость по времени суток в часахИнтервалвремени0–22–44–66–88 – 1010 – 12Числопациентов141758525Интервалвремени12 – 1414 – 1616 – 1818 – 2020 – 2222 – 24Числопациентов313026293123Согласуются ли эти данные с гипотезой, что вероятность попасть в отделение интенсивной терапии не зависит от временисуток? Проверить, так ли это хотя бы в дневное время, т. е. с10.00 до 24.00.О Т Д Е Л VIIЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ§ 21.
Оценка параметров21.1. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения с параметрами a и σ 2 .а) Найтисмещение и дисперсию оценок S 2 = X 2 − (X)2 иPn122S02 = n−1i=1 (Xi − X) для параметра σ .б) Используя метод моментов, оценить параметры a и σ 2 . Проверить полученные оценки на несмещённость, состоятельность иасимптотическую нормальность.в) Найти оценку максимального правдоподобия двумерногопараметра θ = (a, σ 2 ). Проверить полученную оценку на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.г) Является ли выборочная медиана ζ ∗ несмещённой, состоятельной и асимптотически нормальной оценкой параметра a?д) Считая, что параметр a имеет показательное распределениес параметром α, найти байесовскую оценку параметра a.е) Сравнить оценки дисперсии S 2 и S02 с помощью среднеквадратического подхода.ж) Является ли двумерная статистика (X, S02 ) достаточнойдля двумерного параметра (a, σ 2 )?з) Является ли двумерная статистика (X, S02 ) полной?и) Найти эффективную несмещённую оценку двумерного параметра (a, σ 2 ).к) Построить точные доверительные интервалы уровня 1 − εдля параметров a и σ 2 .103§ 21.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
