1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 15
Текст из файла (страница 15)
. , xn )> c, 1, еслиf1 (x1 , . . . , xn )f2 (x1 , . . . , xn )0, если< c,δ(x1 , . . . , xn ) =f1 (x1 , . . . , xn ) ρ, если f2 (x1 , . . . , xn ) = c,f1 (x1 , . . . , xn )где константы c и ρ однозначным образом находятся из уравненияEH1 δ(X1 , . . . , Xn )n f (X , . . . , X )on f (X , . . . , X )o21n21n= PH 1> c + ρPH1= c = ε.f1 (X1 , .
. . , Xn )f1 (X1 , . . . , Xn )18.1. Пусть имеется некоторая выборка. Основная гипотезасостоит в том, что элементы выборки имеют стандартное нормальное распределение. Альтернатива — в том, что элементы выборки имеют распределение Бернулли с параметром 1/2. Построить наиболее мощный критерий, различающий эти две гипотезыс вероятностью ошибки первого рода, равной 1/2.18.2.
По выборке X1 объёма 1 проверяются гипотезы о плотности f распределения наблюдения X1 : гипотеза H1 = {f = f1 }против альтернативы H2 = {f = f2 }. Здесь2y при y ∈ [0, 1],2(1 − y) при y ∈ [0, 1],f1 (y) =f2 (y) =0 при y 6∈ [0, 1],0при y 6∈ [0, 1].Построить наиболее мощный критерий размера ε и вычислить егомощность.Р е ш е н и е. Отношение правдоподобия при n = 1 равно 1/x1 −1. Поэтомунаиболее мощный критерий отвергает основную гипотезу, если 1/x1 − 1 > c,что равносильно неравенству x1 < c1 . Число c1 определяется из равенстваα(δ) = PH1 {X1 < c1 } = c21 = ε.√√Следовательно, c1 = ε и основная гипотеза отвергается, если X1 < ε.Мощность этого критерия равна√β(δ) = PH2 {X1 < c1 } = 1 − (1 − c1 )2 = 1 − (1 − ε)2 .18.3.
Проверяются гипотезы о плотности f распределения наблюдений X1 , . . . , Xn : гипотеза H1 = {f = f1 } против альтернати-§ 18. наиболее мощные критериивы H2 = {f = f2 }. Здесь1 при y ∈ [0, 1],f1 (y) =0 при y 6∈ [0, 1],f2 (y) =872y при y ∈ [0, 1],0 при y 6∈ [0, 1].Построить наиболее мощный критерий размера εа) при n = 1;б) при n = 2.18.4. По выборке X1 объёма 1 проверяется гипотеза о том, чтоX1 распределено равномерно на отрезке [0, 1], против альтернативы о том, что X1 имеет распределение с плотностью 3/2 при y ∈ [0, 1/2],f (y) = 1/2 при y ∈ (1/2, 1],0при y 6∈ [0, 1].Построить наиболее мощный критерий размера 1/4.Р е ш е н и е. Отношение правдоподобия равняется 3/2, если x1 ∈ [0, 1/2],и 1/2, если x1 ∈ (1/2, 1]. Заметим, что для любого 1/2 6 c < 3/2n f (X )o21PH 1> c = PH1 {0 6 X1 6 1/2} = 1/2 > 1/4.f1 (X1 )Как только c > 3/2, вероятность PH1 {f2 (X1 )/f1 (X1 ) > c} становится равнойнулю, что меньше 1/4.
Поэтому следует взять c = 3/2 и найти ρ из условияn f (X )n f (X )1ρ3o3o2121+ ρPH1= ρPH1 {0 6 X1 6 1/2} = .= PH 1>=4f1 (X1 )2f1 (X1 )22Отсюда ρ = 1/2. Поэтому наиболее мощный критерий размера 1/4 имеетвид: δ(X1 ) = 0 (гипотеза H1 принимается) при X1 ∈ (1/2, 1] и δ(X1 ) = 1/2(гипотеза H2 принимается с вероятностью 1/2) при X1 ∈ [0, 1/2].18.5. Пусть X1 — выборка объёма 1. Основная гипотеза состоит в том, что элементы выборки распределены равномерно наотрезке [0, 1]. Альтернатива — в том, что элементы выборки имеютпоказательное распределение с параметром 1.
Построить наиболее мощный критерий размера ε для различения этих гипотез ивычислить его мощность.18.6. Пусть X1 — выборка объёма 1 из распределения Пуассона с параметром λ. Рассматриваются две простые гипотезы: λ = 1и λ = 2. Построить наиболее мощный критерий δ = δ(X1 ) с вероятностью ошибки первого рода α = 1 − e−1 . Найти мощностьэтого критерия.88отдел vi. проверка гипотез18.7. Пусть X1 — выборка объёма 1. Гипотеза состоит в том,что X1 имеет показательное распределение с параметром α = 2.Альтернатива состоит в том, что X1 имеет плотность 1/2 при y ∈ [0, 1],при y ∈ [3/2, 2],f2 (y) = 10при y 6∈ [0, 1] ∪ [3/2, 2].Построить наиболее мощный критерий размера 1/3.18.8.
Пусть X1 — выборка объёма 1. Гипотеза состоит в том,что X1 имеет равномерное распределение на отрезке [1, 2]. Альтернатива состоит в том, что X1 имеет плотность 1/2 при y ∈ [0, 1),при y ∈ [1, 3/2],f2 (y) = 10при y 6∈ [0, 3/2].Построить наиболее мощный критерий размера 1/6.18.9. Пусть X1 — выборка объёма 1. Гипотеза состоит в том,что X1 имеет распределение Бернулли с параметром p = 1/2.
Альтернатива состоит в том, что X1 имеет биномиальное распределение с параметрами m = 2 и p = 1/2. Построить наиболее мощныйкритерий размера 1/5.18.10. В последовательности независимых испытаний вероятности положительных исходов одинаковы и равны p. Построить критерий для проверки гипотезы p = 0 против альтернативыp = 0, 01 и определить наименьший объём выборки, при которомвероятности ошибок первого и второго рода не превосходят 0,01.18.11.
У игрока, наблюдавшего за игрой в кости, создалосьвпечатление, что шестёрка выпадает в 18% бросаний, пятёрка —в 14%, а остальные четыре грани выпадают равновероятно (т. е. свероятностью 0,17). Получив приглашение принять участие в игре, игрок попросил разрешения предварительно проверить своюгипотезу на n производимых подряд бросаниях кости. Единственная рассматриваемая им альтернатива состоит в том, что игральная кость сделана «честно». При n = 2 найти наиболее мощныйкритерий размера 0,0196.18.12.
Пусть X1 — выборка объёма 1. Проверяются гипотезы§ 18. наиболее мощные критерии89о распределении F наблюдения X1 : гипотеза H1 = {F = F1 } против альтернативы H2 = {F = F2 }. Распределение F1 есть смесьв равной пропорции вырожденного в нуле распределения и равномерного на отрезке [0, 1]. Распределение F2 есть также смесьв равной пропорции вырожденного в нуле распределения и распределения с плотностью 2y на отрезке [0, 1]. Построить наиболеемощный критерий размера 1/2. Найти все ε ∈ [0, 1], при которых наиболее мощный критерий с ошибкой первого рода равнойε будет рандомизированным.18.13. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и известной дисперсией σ 2 . Построить наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы H1 ={a = a1 } против альтернативы H2 = {a = a2 }, где a1 < a2 . Будетли этот критерий состоятельным?Р е ш е н и е. Отношение правдоподобия имеет абсолютно непрерывноераспределение при гипотезе H1 , поэтому наиболее мощный критерий будетнерандомизированным. Критическое множество определяется неравенством()nf2 (X1 , . . .
, Xn )1 X22≡ exp(Xi − a1 ) − (Xi − a2 )> c,f1 (X1 , . . . , Xn )2σ 2 i=1что эквивалентно соотношению X > c1 , где c1 определяется по заданномуразмеру ε следующим образом:α(δ) = PH1 X > c1√ c − a √ X − a1√ c1 − a111= PH 1n> n=Φn= ε.σσσ√Следовательно, n(c1 − a1 )/σ = ζ1−ε , где ζ1−ε — квантиль уровня 1 − ε стан√дартного нормального распределения.
Поэтому c1 = a1 +σζ1−ε / n и наиболеемощный критерий размера ε имеет вид√1, если X > a1 + σζ1−ε / n,√δ =0, если X < a1 + σζ1−ε / n.Мощность этого критерия равна√ β(δ) = PH2 X > a1 + σζ1−ε / n√ X − a2√ a2 − a1√ a2 − a1 = PH 2n> ζ1−ε − n= Φ ζ1−ε − n.σσσМощность критерия стремится к 1 с ростом n при любом фиксированном ε,√так как ζ1−ε − n(a2 − a1 )/σ → −∞. Поэтому критерий состоятелен.90отдел vi. проверка гипотез18.14.
По выборке объёма n при заданной вероятности ошибкипервого рода построить наиболее мощный критерий для различения двух простых гипотез относительно неизвестной дисперсиинормального распределения, если математическое ожидание известно и равно нулю.18.15. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из нормального распределения с параметрами a и σ 2 . Построить наиболее мощный критерий для проверки гипотезы H1 = {a = a1 , σ 2 = σ12 } противальтернативы H2 = {a = a2 , σ 2 = σ22 }.18.16. По выборке из показательного распределения с параметром α построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε, различающий гипотезу α = α1 и альтернативуα = α2 , если α1 < α2 .
Вычислить предел мощности построенногокритерия при n → ∞.18.17. По выборке из распределения Пуассона с параметром λпостроить наиболее мощный критерий асимптотического размераε, различающий гипотезу λ = λ1 и альтернативу λ = λ2 , еслиλ1 < λ2 . Вычислить предел мощности построенного критерия приn → ∞.18.18. По выборке из биномиального распределения с параметрами m и p построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε, различающий гипотезу p = p1 и альтернативуp = p2 , если p1 < p2 .
Вычислить предел мощности построенногокритерия при n → ∞.18.19. По выборке из геометрического распределения с параметром p построить наиболее мощный критерий асимптотического размера ε, различающий гипотезу p = p1 и альтернативуp = p2 , если p1 < p2 . Вычислить предел мощности построенногокритерия при n → ∞.18.20. Вероятность успеха p в схеме Бернулли неизвестна.Для проверки гипотезы p = p1 против альтернативы p = p2 , гдеp2 > p1 , проведён эксперимент, в котором наблюдали число успехов, предшествующих первой неудаче. Построить наиболее мощный критерий размера ps1 , где s > 1 — заданное целое число.
Найти мощность этого критерия.§ 19. равномерно наиболее мощные критерии9118.21. Для какой постоянной c, участвующей в определениинаиболее мощного критерия (в лемме Неймана — Пирсона), этоткритерий совпадает с байесовским, если предположить, что априорные вероятности гипотез H1 и H2 равны соответственно 1/3и 2/3?18.22. Доказать состоятельность наиболее мощного критерия.18.23. Обозначим через m(ε) мощность наиболее мощногокритерия среди всех рандомизированных критериев размера ε.Доказать, что m(ε) > ε.§ 19.
Равномерно наиболее мощные критерииПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений и X1 , X2 , . . . — выборка из распределения Fθ . Пусть проверяется простаягипотеза θ = θ0 против сложной альтернативы θ ∈ Θ0 , где θ0 — фиксированная точка в Θ, а Θ0 — некоторое подмножество в Θ, причём θ0 6∈ Θ0 .Обозначим черезα(δ) = Eθ0 δ(X1 , . . . , Xn )размер критерия δ, а черезβθ (δ) = 1 − Eθ δ(X1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
