1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 12
Текст из файла (страница 12)
неравенство Рао – Крамера13.5. Выполнены ли условия регулярности для следующих семейств распределений, зависящих от параметра θ:а) нормальное со средним θ и дисперсией θ2 , θ > 0;б) равномерное на отрезке [θ, θ + 1];в) равномерное на отрезке [−θ, 0], θ > 0;г) с плотностью θe−θy при y > 0;д) с плотностью eθ+y при y < −θ;е) биномиальное с параметрами 5 и θ, 0 < θ < 1;ж) Пуассона с параметром θ, θ > 0;з) с функцией распределения Fθ (y) = 1 − θ/y при y > θ, θ > 1;и) с плотностью 4(θ − y)3 /θ4 на отрезке [0, θ]?13.6. Проверить, является ли R-эффективной оценка максимального правдоподобия среднего значения a нормального распределения.Р е ш е н и е.
Среднеквадратическое отклонение несмещённой оценки Xот параметра a равно σ 2 /n. Вычислим информацию Фишера: ∂ 1222ln √ e−(X1 −a) /2σI(a) = Ea∂a2π ∂2= Ea(X1 − a)2 /2σ 2 = Ea (X1 − a)2 /σ 4 = 1/σ 2 .∂aСледовательно, правая часть неравенства Рао – Крамера имеет вид σ 2 /n исовпадает со среднеквадратическим отклонением оценки X. Оценка X является R-эффективной.13.7. Проверить, является ли R-эффективнойа) оценка максимального правдоподобия;б) оценка S02дисперсии σ 2 нормального распределения с нулевым средним.13.8. Пусть X1 , . . . , X3n — выборка объёма 3n из нормальногораспределения со средним a и единичной дисперсией.
Являютсяли R-эффективными (эффективными) следующие оценки параметра a:2nnn1 X1X1Xа)Xi ;б)X3i ;в)Xi ?nnni=n+1i=1i=113.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения, являющегося смесью двух нормальных распределений, а именно, 92%70отдел iv. сравнение оценоксоставляет нормальное распределение со средним a и дисперсией1, а 8% составляет нормальное распределение с тем же средним aи дисперсией 16. Является ли выборочное среднее R-эффективнойоценкой параметра a?13.10. Пусть X1 , . .
. , Xn , n > 2, — выборка из показательногораспределения с параметром α. Будет ли R-эффективной оценкаn−1αn∗ =?nXБудет ли эта оценка эффективной?13.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,где α > 0, β ∈ R. Пусть β известно. Является ли R-эффективнойоценка метода моментов для параметра α? Эффективной?13.12. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью из задачи 13.11.
Пусть α известно. Является ли R-эффективной оценка метода моментов для параметра β? Эффективной?Является ли R-эффективной оценка максимального правдоподобия для параметра β? Эффективной?13.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Будет ли R-эффективной оценкаn+1θ∗ =X(n) ?nБудет ли эта оценка эффективной?13.14. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [θ, θ + 1]. Будет ли R-эффективной оценкаθ∗ = X(1) − (n + 1)−1 ?13.15. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из логистического распределения с плотностьюfθ (y) =eθ−y,(1 + eθ−y )2y ∈ R.§ 13.
неравенство Рао – Крамера71а) Проверить, что X — несмещённая оценка параметра θ.б) Найти среднеквадратическое отклонение оценки X от параметра θ. Указание: использовать равенствоZ∞yπ2dy=.1 + ey120в) Найти информацию Фишера.г) Проверить R-эффективность оценки X.13.16.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью θy θ−1 , y ∈ [0, 1], где θ > 0. Доказать, что оценка −ln X является R-эффективной для τ = 1/θ в классе несмещённых оценок.13.17. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Вейбулла с параметрами α и θ, причём значение α известно. Доказать,что оценка X α является R-эффективной для τ = 1/θ в классенесмещённых оценок.13.18. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Кошис параметром сдвига a. Исследовать R-эффективность выборочной медианы как оценки параметра a.Р е ш е н и е. Из задачи 7.36 следует, что выборочная медиана являетсяасимптотически нормальной оценкой для медианы a распределения Коши скоэффициентом асимптотической нормальности π 2 /4. По лемме Фатуlim inf nDζ ∗ > π 2 /4.n→∞Информация Фишера равна8I(a) =πZ∞t2dt = 1/2.(1 + t2 )302Так как π /4 > 2, то ζ∗не является R-эффективной оценкой, по крайнеймере, при достаточно больших значениях n.13.19. Пусть F — распределение с нулевым средним значением и плотностью f (y).
Пусть f (y) — дифференцируемая чётная функция. Рассматривается распределение Fθ с плотностьюf (y − θ), θ ∈ R. Доказать, что выборочная медиана не можетбыть R-эффективной оценкой параметра сдвига θ.72отдел iv. сравнение оценок13.20. Проверить, является ли R-эффективной оценка максимального правдоподобия параметра p распределения Бернулли.Р е ш е н и е. Среднеквадратическое отклонение несмещённой оценки Xот параметра p равно p(1 − p)/n. Вычислим информацию Фишера∂2I(p) = Epln pX1 (1 − p)1−X1∂p∂2X1 ln p + (1 − X1 ) ln(1 − p)= Ep∂p11111= 2 Ep X1 +Ep (1 − X1 ) = +=.p(1 − p)2p1−pp(1 − p)Правая часть неравенства Рао – Крамера имеет вид p(1 − p)/n и совпадаетсо среднеквадратическим отклонением оценки X. Следовательно, оценка Xявляется R-эффективной.13.21. Проверить, является ли R-эффективной оценка максимального правдоподобия параметра p биномиального распределения с параметрами m и p, если значение m известно.13.22.
Проверить, является ли R-эффективной оценка максимального правдоподобия параметра λ распределения Пуассона.13.23. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. В качестве оценки параметра θ = e−λ рассматривается статистика θn∗ = I{X = 0}. Вычислить смещениеbn (θ) = Eθn∗ − θ этой оценки и проверить, является ли она Rэффективной.13.24.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p. Является ли R-эффективной оценкойпараметра τ = 1/p оценка τn∗ = 1 + X?13.25. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из следующего трёхточечного распределения, зависящего от параметра θ ∈ (0, 1/3):Pθ {X1 = 1} = θ,Pθ {X1 = 2} = 2θ,Pθ {X1 = 3} = 1 − 3θ.Проверить R-эффективность оценки максимального правдоподобия параметра θ.Р е ш е н и е. В задаче 4.28 найдена оценка максимального правдоподобияθn∗ = Y /3, где1, если Xi 6= 3,Yi =0, если Xi = 3.§ 13. неравенство Рао – Крамера73Плотность fθ (y) относительно считающей (на множестве {1, 2, 3}) меры равнапри y = 1,θ2θпри y = 2,fθ (y) =1 − 3θ при y = 3.Условия регулярности для этого семейства выполнены. Вычислим информацию Фишера2∂ln fθ (X1 )I(θ) = E∂θ∂2∂2∂2= θln θ + 2θln 2θ + (1 − 3θ)ln(1 − 3θ)∂θ∂θ∂θ3.=θ(1 − 3θ)Дисперсия несмещённой оценки θn∗ равна Dθn∗ = 3θ(1 − 3θ)/9n.
В неравенствеРао – Крамера достигается равенство. Поэтому оценка θ∗ является R-эффективной и, следовательно, эффективной.13.26. Семейство распределений {Fθ , θ ∈ Θ} называется экспоненциальным, если функция правдоподобия fθ (X1 , . . . , Xn ) допускает представлениеfθ (X1 , . .
. , Xn ) = eA(θ)T (X1 ,...,Xn )+B(θ) h(X1 , . . . , Xn ).Являются ли экспоненциальными семействаа) нормальных распределений с параметрами a и σ 2 , если значение σ 2 известно;б) нормальных распределений с параметрами a и σ 2 , если значение a известно;в) Γ-распределений с параметрами α и λ, если значение λ известно;г) Γ-распределений с параметрами α и λ, если значение α известно;д) распределений Бернулли с параметром p;е) распределений Пуассона с параметром λ;ж) равномерных распределений на отрезке [a, b]?13.27. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из экспоненциального семейства, причём функции A(θ) и B(θ) непрерывно дифференцируемы.
Доказать, что для оценки θn∗ = T (X1 , . . . , Xn ) в неравенстве Рао – Крамера достигается равенство.ОТДЕЛ VДОВЕРИТЕЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ§ 14. Доверительные интервалыПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений, Θ ⊆ R, и X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fθ .Пусть θn− = θn− (X1 , . . . , Xn ) и θn+ = θn+ (X1 , . .
. , Xn ) — некоторые статистики. Случайный интервал (θn− , θn+ ) называется доверительным интерваломуровня 1 − ε, еслиPθ {θ ∈ (θn− , θn+ )} > 1 − ε.Случайный интервал (θn− , θn+ ) называется точным доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θPθ {θ ∈ (θn− , θn+ )} = 1 − ε.Для построения точного доверительного интервала обычно используетсяследующий подход.
Выбирается функция G(x1 , . . . , xn , θ) такая, что распределение Pθ {G(X1 , . . . , Xn , θ) ∈ ·} не зависит от параметра θ (распределениесвободно от параметра θ). Функция G должна быть монотонной и обратимойфункцией аргумента θ при любых фиксированных значениях выборки X1 ,. . . , Xn . Пусть, для определённости, функция G возрастает. Обозначим черезt(X1 , .
. . , Xn , y) функцию, обратную к функции G(X1 , . . . , Xn , θ) по параметру θ. Тогда доверительный интервал уровня 1 − ε имеет видt(X1 , . . . , Xn , y − ), t(X1 , . . . , Xn , y + ) ,где числа y − и y + находятся (вообще говоря, неоднозначно) из уравненияPθ {y − < G(X1 , . . . , Xn , θ) < y + } = 1 − ε.14.1.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , причём значение σ 2 известно.Построить точный доверительный интервал для a.§ 14. доверительные интервалы7514.2. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , причём значение a известно. Построить точный доверительный интервал для σ 2 , используястатистику S12 = (X − a)2 .14.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
