1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.18. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Показать, что статистика − ln X является асимптотически нормальной оценкой параметра τ = ln α.Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.19. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α.
Для какого параметра θ = θ(α) ста-§ 7. асимптотическая нормальность472тистика θn∗ = e−X будет асимптотически нормальной оценкой?Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.20. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.Проверить, являются ли асимптотически нормальными следующие оценки параметра сдвига β:а) X(1) ;б) X − 1?Если «да», найти коэффициент асимптотической нормальности.7.21. Пусть X1 , . .
. , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β.а) Доказать √асимптотическую√ нормальность оценок метода∗∗2моментов αn = S и βn = X − S 2 параметров α > 0 и β ∈ R.Найти коэффициенты асимптотической нормальности.б) Являются ли асимптотически нормальными оценки максимального правдоподобия αn∗ = X − X(1) и βn∗ = X(1) параметров αи β? Если «да», найти коэффициенты асимптотической нормальности.Р е ш е н и е. а) Рассмотрим случайные величины Yi = Xi − β, которыеимеют показательное распределение с параметром 1/α. Тогдаqq √ √ √2n (βn∗ − β) = n X − X 2 − (X)2 − β ≡ n Y − Y 2 − (Y ) .pПоложим h(t1 , t2 ) = t1 − t2 − t21 ,q2G(F ) = h(EF Y1 , EF Y12 ), G(Fn∗ ) = h(Y , Y 2 ) = Y − Y 2 − (Y ) .2Функция h(t) дифференцируема в точке a = (EY1 , EY12 ) = (α,√2α ).
Частныепроизводные в этой точке равны (2, −1/2α), и h(a) = α − 2α2 − α2 = 0.Матрица ковариаций σ 2 конечна:σ1,1 = DY1 = α2 ,σ2,2 = DY12 = 20α4 ,σ1,2 = σ2,1 = Cov(Y1 , Y12 ) = 4α3 .48отдел iii. свойства оценокПоэтому по теореме 1А из [4, гл. 1, § 7] получаем, что случайная величинаq √ √ n Y − Y 2 − (Y )2 = n h(Y , Y 2 ) − h(a)∂h∂hслабо сходится к величине η = ∂t(a) · ξ1 + ∂t(a) · ξ2 = 2ξ1 − ξ2 /2α, где вектор12(ξ1 , ξ2 ) имеет нормальное распределение с нулевым вектором средних и матрицей ковариаций σ 2 . Величина η имеет нормальное распределение с нулевымсредним и дисперсиейDη = 4σ1,1 + σ2,2 /4α2 − 2 · 2 · σ1,2 /2α = α2 .Итак, оценка βn∗ асимптотически нормальна с коэффициентом α2 .7.22. Пусть дана выборка из распределения Парето с параметрами β и θ.
Являются ли асимптотически нормальными оценкимаксимального правдоподобия βn∗ = 1/(ln X − ln X(1) ) и θn∗ = X(1)параметров β и θ? Если «да», найти коэффициенты асимптотической нормальности. Указание: воспользоваться решением задачи6.26.7.23. Пусть дана выборка из распределения Вейбулла с известным параметром α и с неизвестным параметром θ > 0. Является ли асимптотически нормальной оценка 1/X α неизвестногозначения θ > 0?7.24. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернулли с параметромp.
Для какого параметра θ = θ(p) статистика√θn∗ = arcsin X будет асимптотически нормальной оценкой? Найти коэффициент асимптотической нормальности.√∗∗Р е ш е н и е.√ Статистика θn = arcsin X имеет вид θn = H(g(X)), гдеH(t) = arcsin t, g(y) = y. Функция H(t) непрерывно дифференцируема вточке Ep g(X1 ) = p,11H 0 (t) = p,H 0 (t)t=E g(X ) = p.p12 (1 − t)t2 (1 − p)pСледовательно,θn∗ является асимптотически нормальной оценкой параметраp√θ = arcsin Ep g(X1 ) = arcsin p с коэффициентом2σ 2 (p) = H 0 (Ep g(X1 )) · Dp g(X1 ) = 1/4.7.25. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p. Показать, что статистика arcsin(2X − 1) являетсяасимптотически нормальной оценкой параметра τ = arcsin(2p−1).§ 7. асимптотическая нормальность49Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.26. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из биномиального распределения с параметрами m и p. Для какого параметра θ = θ(m, p)статистика θn∗ = eX будет асимптотически нормальной оценкой?Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.27. Показать, что статистика X является асимптотическинормальной оценкой параметра λ распределения Пуассона.
Найтикоэффициент асимптотической нормальности.7.28. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределенияПуассона√с параметром λ. Показать, что статистика X√является асимптотически нормальной оценкой параметра τ = λ. Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.29. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ, λ 6= 1. Для какого параметра θ = θ(λ) статистикаθn∗ = X e−X будет асимптотически нормальной оценкой? Найтикоэффициент асимптотической нормальности.7.30. Построить оценку параметра λ распределения Пуассона,которая одновременно является состоятельной и не асимптотически нормальной.7.31. Пусть X1 , . .
. , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p. Будет ли статистика p∗n = 1/(1 + X)асимптотически нормальной оценкой параметра p? Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.32. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения со средним EX1 = 1 и дисперсией DX1 = σ 2 > 0; обозначим Sn =X1 + · · · + Xn . Найти слабый предел последовательности распределений случайных величин√ψn ≡ Sn3 /n5/2 − n.7.33. Доказать, что для случайной величины χ2n , имеющей χ2 распределение с n степенями свободы, pсправедлива«аппроксима√ция Фишера»: распределение разности 2χ2n − 2n слабо сходитсяпри n → ∞ к стандартному нормальному закону.50отдел iii. свойства оценок7.34.
Доказать, что для случайной величины χ2n , имеющей χ2 распределение с n степенями свободы, справедлива «аппроксимация Уилсона – Хилферти»: распределение величиныpp9n/2 3 χ2n /n − 1 + 2/9nслабо сходится при n → ∞ к стандартному нормальному закону.7.35. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, 2θ].
Доказать, что выборочная медиана ζ ∗ —асимптотически нормальная оценка для θ. Найти коэффициентасимптотической нормальности.7.36. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Кошис параметром сдвига a. Доказать, что выборочная медиана ζ ∗ —асимптотически нормальная оценка для a. Найти коэффициентасимптотической нормальности.7.37. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Доказать, что выборочная медиана ζ ∗ —асимптотически нормальная оценка для параметра τ = (ln 2)/α.Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.38.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из некоторого распределения с абсолютно непрерывной функцией распределения F , длякоторой плотность f (x) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности медианы ζ распределения F . Доказать, что выборочная медиана является асимптотически нормальной оценкоймедианы ζ распределения F . Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.39. Пусть X1 , . . .
, Xn — выборка с абсолютно непрерывнойфункцией распределения F , причем плотность f (x) всюду непрерывно дифференцируема. Доказать, что выборочная квантиль ζδ∗уровня δ ∈ (0, 1) является асимптотически нормальной оценкойистинной квантили ζδ = F −1 (δ). Найти коэффициент асимптотической нормальности.7.40. Доказать, что при любом фиксированном y таком, что0 < F (y) < 1, значение эмпирической функции распределенияFn∗ (y) является асимптотически нормальной оценкой значения общей функции распределения выборки F (y). Найти коэффициент§ 7.
асимптотическая нормальность51асимптотической нормальности.7.41. Доказать, что для любого фиксированного λ ∈ R значение выборочной характеристической функцииZϕ∗n (λ) =eiλy Fn∗ (dy)Rявляется асимптотически нормальной оценкой истинного значения характеристической функции ϕ(λ) = EeiλX1 .Р е ш е н и е. В силу центральной предельной теоремы распределение ком√плекснозначной случайной величины n(eiλX − ϕ(λ)) слабо сходится к распределению ξ + iη, где вектор (ξ, η) имеет нормальное распределение на плоскости с нулевым вектором средних и (возможно, в зависимости от значенияλ, вырожденной) ковариационной матрицейD cos(λX1 )Cov(cos(λX1 ), sin(λX1 ))σ2 =.Cov(cos(λX1 ), sin(λX1 ))D sin(λX1 )О Т Д Е Л IVСРАВНЕНИЕ ОЦЕНОК§ 8. Среднеквадратический подходПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений.
Пусть X1 , X2 , . . . — выборка из распределения Fθ и θn∗ = θ∗ (X1 , . . . , Xn ) —некоторая оценка, построенная по данной выборке.Среднеквадратическим отклонением оценки θn∗ параметра θ называетсявеличина Eθ (θn∗ − θ)2 . Среднеквадратическое отклонение оценки связано сдисперсией и смещением оценки следующим равенством:Eθ (θn∗ − θ)2 = Dθ θn∗ + b2 (θ).В соответствии со среднеквадратическим подходом оценка θn∗ не хужеоценки θn∗∗ , если при любом θ ∈ Θ выполняется неравенствоEθ (θn∗ − θ)2 6 Eθ (θn∗∗ − θ)2 .В соответствии со среднеквадратическим подходом оценка θn∗ лучше оценки θn∗∗ , если θn∗ не хуже оценки θn∗∗ и хотя бы для одного θ ∈ Θ выполняетсянеравенствоEθ (θn∗ − θ)2 < Eθ (θn∗∗ − θ)2 .8.1.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a > 0 и единичной дисперсией. Сравнить оценкиX и max(0, X) параметра a в среднеквадратичном смысле.8.2. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения с известным средним a и с неизвестной дисперсией σ 2 . Сравнить в среднеквадратичном смысле оценки параметра σ 2nn1X1 X222(Xi − X)и S1 =(Xi − a)2 .S0 =n−1ni=1i=18.3. Пусть X1 , . . . , X2n — выборка объёма 2n из нормальногораспределения со средним a и дисперсией σ 2 . Сравнить в средне-§ 8. среднеквадратический подход53квадратичном смысле оценки параметра σ 22nS02 =1 X(Xi − X)22n − 1nиi=1(σ 2 )∗2n =1 X(X2i − X2i−1 )2 .2ni=18.4.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и с дисперсией σ 2 . Найти оценку дисперсии,наилучшую в среднеквадратичном смысле в классе оценок видаnXcn(Xi − X)2 .i=1Найти её смещение.8.5. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Сравнить оценки 2X, X(n) , n+1n X(n) иX(1) + X(n) параметра θ в среднеквадратичном смысле.8.6. Пусть X1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
