1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. , Xn — выборка из распределения Fθ ,θ ∈ Θ. Пусть Eθ X1 = θ. Доказать, что выборка X1 , . . . , Xn неявляется полной статистикой для параметра θ.§ 12. Эффективные оценкиПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений. Пусть X1 , . .
. , Xn — выборка из распределения Fθ и θn∗ = θn∗ (X1 , . . . , Xn ) —некоторая оценка параметра θ со смещением bn (θ) = Eθ θn∗ − θ.Оценка θn∗ называется эффективной в классе оценок со смещением bn (θ),если она не хуже в среднеквадратическом смысле любой другой оценки с темже смещением bn (θ). Справедлива следующаяТеорема. Пусть S = S(X1 . . . , Xn ) — достаточная полная статистика для параметра θ. Тогда оценка E{θn∗ |S} является единственной эффективной оценкой в классе оценок со смещением bn (θ).64отдел iv. сравнение оценок12.1. Пусть θ∗ — эффективная оценка в классе оценок со смещением равным αθ, α — постоянная. Построить эффективнуюоценку в классе несмещённых оценок.12.2. Пусть X1 , . . .
, Xn — выборка из распределения с конечным первым моментом. Найти условное математическое ожидание E(X1 | X).Р е ш е н и е. Элементы выборки независимы и одинаково распределены.Поэтому распределение пары (Xi , X) не зависит от i ∈ {1, . . . , n}. Следовательно, E(X1 | X) = E(X2 | X) = · · · = E(Xn | X). Суммируя, получимE{X1 | X} =n1XE{Xi | X} = E{X | X} = X.n i=112.3. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и единичной дисперсией. Улучшить оценкуa∗ = X1 усреднением при фиксированном значении достаточнойстатистики X. Найти распределение, математическое ожидание,смещение и дисперсию улучшенной оценки. Является ли улучшенная оценка эффективной?12.4. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Найти эффективную несмещённую оценкунеизвестного параметра θ усреднением оценки n+1n X(n) по статистике X(n) .12.5. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Найти смещение и дисперсию оценкиθ∗ = 2X1 неизвестного параметра θ. Улучшить эту оценку усреднением при фиксированном значении полной и достаточной статистики X(n) .
Найти смещение и дисперсию улучшенной оценки.Является ли улучшенная оценка эффективной?Р е ш е н и е. Оценка 2X1 является несмещённой оценкой параметра θ, астатистика X(n) — достаточной и полной. При условии X(n) = u величинаX1 с вероятностью 1/n совпадает с X(n) и, следовательно, равна u. С вероятностью же (n − 1)/n величина X1 не совпадает с X(n) и имеет равномерноераспределение на отрезке [0, u].
Поэтому среднее значение X1 при условииX(n) = u равноn−1un+1u+=u.nn 22n§ 12. эффективные оценки65Таким образом, оценкаn+1X(n)nявляется эффективной в классе несмещённых оценок.E{2X1 |X(n) } =12.6. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Найти эффективную несмещённую оценкунеизвестного параметра τ (θ, y) = Pθ {X1 > y}.12.7. Найти эффективную несмещённую оценку для параметра α показательного распределения по выборке объёма n > 2.12.8.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.Найти эффективную несмещённую оценку для параметра β ∈ R.12.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,где α > 0, β ∈ R. Найти эффективную несмещённую оценку дляа) параметра β, если значение α известно;б) параметра α, если значение β известно;в) двумерного параметра θ = (α, β).12.10.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Паретос параметрами β и θ, причём значение β известно. Найти эффективную несмещённую оценку параметра θ.12.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Вейбулла с параметрами α и θ, причём значение α известно. Проверить,что X α является полной и достаточной статистикой для параметра θ. Построить эффективную оценку параметра τ (θ) = 1/θ.12.12. Распределение Кэптейна определяется плотностьюg 0 (y) −(θ−g(y))2 /2σ2fθ (y) = √e,σ 2πгде g(y) — неубывающая дифференцируемая функция.
Найти эф-66отдел iv. сравнение оценокфективную несмещённую оценку дляа) параметра θ, если значение σ известно;б) параметра σ 2 , если значение θ известно.12.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения с плотностью θy θ−1 при y ∈ (0, 1), где θ > 0. Найти эффективную несмещённую оценку параметра τ (θ) = 1/θ.12.14. Найти эффективную оценку параметра p распределения Бернулли усреднением какой-либо несмещённой оценки постатистике X.Р е ш е н и е.
Возьмём несмещённую оценку p∗ = X1 и вычислим E{p∗ | X}.Из задачи 12.2 следует, что p∗∗ = E{p∗ | X} = E{X1 | X} = X. Полученнаяоценка является единственной эффективной оценкой в классе несмещённыхоценок, поскольку статистика X является полной и достаточной для параметра p распределения Бернулли.12.15. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из биномиального распределения с параметрами m и p при известном m. Найти смещениеи дисперсию оценкиб) p∗n = X1 /mа) p∗n = X1 ;неизвестного параметра p. Улучшить эту оценку усреднением прификсированном значении достаточной статистики X. Найти смещение и дисперсию улучшенной оценки. Является ли улучшеннаяоценка эффективной?12.16.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. Улучшить оценку λ∗n = X1 усреднением прификсированном значении достаточной статистики X. Найти смещение и дисперсию улучшенной оценки. Является ли улучшеннаяоценка эффективной?12.17. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассона с параметром λ. В качестве оценки параметра θ = e−λ =Pλ {X1 = 0} рассматривается θn∗ = I{X1 = 0}. Вычислить смещение bn (θ) = Eλ θn∗ − θ этой оценки и построить эффективнуюоценку в классе оценок со смещением bn (θ) усреднением по полной и достаточной для параметра θ статистике.Р е ш е н и е.
Имеем bn (θ) = 0. Статистика nX является полной и доста-§ 13. неравенство Рао – Крамера67точной. Заметим, что θn∗ принимает значения 0 и 1. ПоэтомуEλ {θn∗ | nX = k} = 0 · Pλ {θn∗ = 0 | nX = k} + 1 · Pλ {θn∗ = 1 | nX = k}= Pλ {X1 = 0 | nX = k}.Вычислив последнюю вероятность по определению условной вероятности, получим Eλ {θn∗ | nX = k} = (1 − 1/n)k . Оценка θn∗∗ = (1 − 1/n)nX эффективна вклассе несмещённых оценок.12.18. Пусть X1 , . . . , Xn , n > 2, — выборка из геометрическогораспределения с параметром p ∈ (0, 1).а) Доказать, что статистика S = nX имеет распределениеkpn (1 − p)k при k = 0, 1, . . .
.Pp {S = k} = Cn+k−1б) Доказать, что статистика S = nX является достаточной иполной статистикой.в) Найти смещение оценки p∗n = I{X1 = 0}. Используя а) и б),построить эффективную оценку в классе с таким смещением.12.19. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на конечном множестве {1, .
. . , θ}, где θ — целый положительный параметр. Доказать, что статистикаn+1X(n)− (X(n) − 1)n+1n − (XnX(n)(n) − 1)является эффективной оценкой параметра θ в классе несмещённых оценок.12.20. Пусть θ1∗ и θ2∗ — две несмещённые эффективные оценкипараметра θ. Доказать, что θ1∗ = θ2∗ с вероятностью 1. Указание:рассмотреть оценку (θ1∗ + θ2∗ )/2.§ 13. Неравенство Рао – КрамераПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений, удовлетворяющее условию доминирования относительно некоторой меры µ на R, т. е. это параметрическое семейство состоит из распределений,абсолютно непрерывных относительно µ. Плотность распределения Fθ относительно меры µ обозначим черезfθ (x) =dFθ(x).dµ68отдел iv.
сравнение оценокПусть X1 , X2 , . . . — выборка из распределения Fθ и θn∗ = θn∗ (X1 , . . . , Xn ) —некоторая оценка параметра θ со смещением bn (θ) = Eθ θn∗ − θ. СправедливаТеорема (неравенство Рао — Крамера). Пусть выполнены следующиеp условия регулярности: для почти всех (по мере µ) значений y функцияfθ (y) непрерывно дифференцируема по θ и информация Фишера ∂ ln f (X ) 21θI(θ) ≡ Eθ∂θположительна и непрерывна по θ. Тогда для любых θ ∈ Θ и n > 1 справедливонеравенствоEθ (θn∗ − θ)2 >(1 + b0n (θ))2+ b2n (θ).nI(θ)Оценка θn∗ называется R-эффективной в классе оценок со смещениемbn (θ), если для неё достигается нижняя граница в неравенстве Рао — Крамера. R-эффективная оценка в классе оценок со смещением bn (θ) с необходимостью является эффективной в этом же классе.13.1.
Объяснить на качественном уровне присутствие выражения (1 + b0 (θ))2 в общей форме неравенства Рао – Крамера.В процессе этого:а) объяснить, почему появляется b0 (·), а не b(·);б) объяснить, почему граница должна обращаться в нуль, когда b0 (·) = −1;в) объяснить, почему упомянутое выше выражение возводитсяв квадрат, а не в первую степень.13.2. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Fθ , θ ∈ Θ.Доказать, что если оценка θn∗ является R-эффективной оценкойдля θ в классе оценок со смещением bn (θ) = θ/n, то она состоятельна. Построить эффективную оценку в классе несмещённыхоценок.13.3. Привести пример состоятельной оценки, которая не является R-эффективной.13.4. Для всякого ли параметрического семейства распределений найдется c > 0 такое, что для любой несмещённой оценки θn∗неизвестного параметра θ выполняется неравенство Dθn∗ > c/n?69§ 13.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
