1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

В условиях предыдущей задачи построить точный доверительный интервал для σ 2 , используя статистику |X − a|. Какойиз полученных доверительных интервалов следует предпочесть?√√Р е ш е н и е. Случайная величина n |X −a|/ σ 2 распределена как |ξ|, гдеξ имеет стандартное нормальное распределение. Пусть ζδ — квантиль уровняδ стандартного нормального распределения.

ТогдаP ζ0,5+ε/4 < |ξ| < ζ1−ε/4 = 1 − εи искомый точный доверительный интервал уровня 1 − ε находится из соотношений)(√ |X − a|n(X − a)2n(X − a)22<σ<.P ζ0,5+ε/4 < n √< ζ1−ε/4 = P22ζ1−ε/4ζ0,5+ε/4σ2Распределение левой и правой границ полученного интервала!!n(X − a)2 n(X − a)2σ2 ξ2σ2 ξ2,=, 2222ζ1−ε/4ζ0,5+ε/4ζ1−ε/4ζ0,5+ε/4не зависит от n. Поэтому точный доверительный интервал, полученный впредыдущей задаче, предпочтительнее — его длина почти наверное стремитсяк нулю с ростом n.Действительно, пусть λδ есть квантиль уровня δ распределения χ2 с nстепенями свободы. Тогда интервал nS12 /λ1−ε/2 , nS12 /λε/2 является точнымдоверительным интервалом для σ 2 уровня доверия 1 − ε. Согласно централь√√ной предельной теореме λδ = n + ζδ n + o( n) и обе границы интерваластремятся к σ 2 с ростом n.14.4.

Пусть X1 , X2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 2 и дисперсией 3. Указать число c такое,что случайные величины X1 − cX2 и X1 + X2 независимы.14.5. Пусть X1 , X2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 1 и дисперсией 2. Обозначим S1 = X1 + X2и S2 = X12 + X22 . Указать число c такое, что случайные величиныS1 и cS2 − S12 независимы.14.6. Пусть X1 , X2 — выборка объёма 2 из нормального распределения со средним 0 и дисперсией 5. Указать число c такое,76отдел v. доверительное оцениваниечто величины |X1 − 2X2 | и (cX1 + X2 )3 независимы.14.7. По выборке из нормального распределения построитьточные доверительные интервалы для среднего a и дисперсии σ 2 .14.8. По выборке из нормального распределения со среднимθ > 0 и дисперсией θ2 построить точный доверительный интервалдля параметра θ уровня доверия 1 − ε.√Р е ш е н и е.

Величина n|X|/θ распределена как |ξ|, где ξ имеет нормаль√ное распределение со средним n и единичной дисперсией. Пусть ζδ — квантиль уровня δ распределения случайной величины |ξ|, т. е. P{|ξ| < ζδ } = δ.√√Тогда искомый доверительный интервал равен ( n|X|/ζ1−ε/2 , n|X|/ζε/2 ).14.9. Имеется выборка объёма 3 из нормального распределения с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией.Несмещённая выборочная дисперсия равна 1. Не пользуясь таблицами, построить точный доверительный интервал для неизвестной дисперсии уровня 0,9.14.10. Пусть X1 , . .

. , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ], где θ ∈ (0, 1]. Используя неравенствоЧебышёва, построить доверительный интервал для θ с помощьюа) оценки 2X;б) оценки X(n) .14.11. С помощью статистики X1 по выборке объёма 1 из равномерного распределения на отрезке [0, θ] построить точный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.14.12. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. С помощью статистики X(n) построитьточный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.Р е ш е н и е. Пусть Yi = Xi /θ, i = 1, . . .

, n, — элементы выборки объёмаn из равномерного распределения на отрезке [0, 1]. Распределение случайной величины Y(n) = X(n) /θ не зависит от θ. Найдём ψ ∈ (0, 1) такое, чтоP{ψ < Y(n) < 1} = 1 − ε. Функция распределения максимальной порядковойстатистики Y(n) равна F (y) = y n для 0 < y < 1. Поэтому 1 − ψ n = 1 − ε и,√соответственно, ψ = n ε.Доверительный интервал для θ получим из соотношений1 − ε = P{ψ < X(n) /θ < 1} = P{X(n) < θ < X(n) /ψ}.√Искомый доверительный интервал равен (X(n) , X(n) / n ε).§ 15. асимптотические доверительные интервалы7714.13.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка объёма n из равномерногораспределения на отрезке [0, θ]. Показать, что в качестве точногодоверительного интервала уровня 1 − ε можно взять интервал(X(n−1) , X(n−1) /ψ), где ψ находится из уравненияψ n−1 (n − (n − 1)ψ) = ε.14.14. С помощью оценки X(1) построить точный доверительный интервал для параметра θ по выборке объёма n иза) равномерного распределения на отрезке [θ, θ + 1];б) равномерного распределения на отрезке [θ, 2θ].14.15.

С помощью оценки X(1) по выборке объёма n из смещённого показательного распределения с параметром сдвига β построить точный доверительный интервал для параметра β.14.16. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Построить точные доверительные ин~ = X1 итервалы для параметра α, используя статистики S1 (X)~ = X(1) .S2 (X)§ 15. Асимптотические доверительные интервалыСлучайный интервал (θn− , θn+ ) называется асимптотическим доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θlim inf Pθ {θ ∈ (θn− , θn+ )} > 1 − ε.n→∞Случайный интервал (θn− , θn+ ) называется асимптотически точным доверительным интервалом уровня 1 − ε, если при всех θlim Pθ {θ ∈ (θn− , θn+ )} = 1 − ε.n→∞15.1.

С помощью оценки X построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для неизвестного параметра pраспределения Бернулли.Р е ш е н и е. По центральной предельной теореме распределение случайной величиныPnXi − nppi=1np(1 − p)слабо сходится к стандартному нормальному закону, а X сходится по вероят-78отдел v. доверительное оцениваниености к p. Поэтому√n(X − p)qX(1 − X)слабо сходится также к стандартному нормальному закону. Следовательно,случайный интервалqq!ζ1−ε/2 X(1 − X)ζ1−ε/2 X(1 − X)√√X−, X+nnявляется асимптотическим доверительным интервалом уровня 1 − ε, еслиζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределения.15.2. В результате проверки 400 электрических лампочек 40штук оказалось бракованными.

Найти доверительный интервалуровня 0,99 для вероятности брака.15.3. С помощью оценки X построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для неизвестного параметра pбиномиального распределения (значение параметра m известно).15.4. С помощью статистики X построить асимптотическийдоверительный интервал уровня 1 − ε для параметра λ распределения Пуассона.15.5. С помощью статистики X построить асимптотическийдоверительный интервал уровня 1 − ε для параметра p геометрического распределения.15.6. Пусть X1 , . . .

, Xn — выборка из распределения Fθ с конечной дисперсией, Eθ X1 = θ и Dθ X1 = σ 2 (θ), где σ(θ) — непрерывная по θ функция. С помощью оценки X построить асимптотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε.15.7. Пусть θn∗ — асимптотически нормальная оценка параметра θ с коэффициентом σ 2 (θ), где σ(θ) — непрерывная по θфункция. С помощью оценки θn∗ построить асимптотический доверительный интервал для θ уровня 1 − ε.15.8. Пусть X1 , .

. . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Используя результат задачи 1.28, построить асимптотический доверительный интервал для θ с помощьюоценки X(n) .§ 15. асимптотические доверительные интервалы7915.9. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ].pС помощью асимптотически нормальныхоценок θ1∗ = 2X и θ2∗ = 3X 2 построить асимптотические доверительные интервалы для параметра θ уровня 1 − ε и показать, чтовторой интервал асимптотически короче первого.15.10.

Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Сqпомощью асимптотически нормальныхоценок α1∗ = 1/X и α2∗ = 2/X 2 построить асимптотические доверительные интервалы для параметра α уровня 1 − ε и показать,что первый интервал короче второго.15.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с параметром сдвига β. С помощью статистики X построить асимптотический доверительный интервалдля параметра β уровня 1−ε. Сравнить его с точным доверительным интервалом из задачи 14.15.

Какой из интервалов следуетпредпочесть?15.12. Пусть дана выборка из распределения Парето с параметрами β и θ. Пользуясь результатами задачи 7.22, построитьасимптотический доверительный интервал для β.15.13. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , причём значение σ 2 известно.Построить асимптотический доверительный интервал для a, используя выборочную медиану.

Сравнить полученный интервал сточным доверительным интервалом, построенным по выборочному среднему значению.15.14. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Коши спараметром сдвига a. Построить асимптотический доверительныйинтервал для a, используя выборочную медиану.15.15. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и дисперсией σ 2 , причём значение a известно.Построить асимптотическийдоверительный интервал для σ 2 , исpпользуя статистику π/2 · |X − a|.

Сравнить полученный интервал с точным доверительным интервалом, построенным по выборочной дисперсии.Р е ш е н и е. Оценка σn∗ =pπ/2 · |X − a| является асимптотически нор-80отдел v. доверительное оцениваниемальной оценкой для σ с коэффициентом σ 2 (π/2 − 1) (см. задачу 7.10). Поэтому оценка (σn∗ )2 = (π/2)(|X − a|)2 является асимптотически нормальнойоценкой для σ 2 с коэффициентом 4σ 4 (π/2 − 1). Отсюда получаем следующийасимптотический доверительный интервал для σ 2 :pp2(σn∗ )2 ζ1−ε/2 π/2 − 1 σn∗ + 2(σn∗ )2 ζ1−ε/2 π/2 − 1 ∗√√σn −,,nnгде ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 стандартного нормального распределе√4σ 2 ζ1−ε/2 π/2−1√. Длина точного доверительния.

Характеристики

Список файлов книги