1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 16
Текст из файла (страница 16)
. , Xn ),θ ∈ Θ0 ,функцию мощности критерия δ.Равномерно наиболее мощным критерием размера ε называется такойкритерий δ (вообще говоря, рандомизированный), что α(δ) 6 ε и любой другой критерий с размером, не превосходящим ε, при любом значении θ ∈ Θ0имеет мощность, не превосходящую βθ (δ).19.1. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и известной дисперсией σ 2 . Используя достаточную статистику X, построить равномерно наиболее мощныйкритерий размера ε для проверки гипотезы H1 = {a = a1 } противальтернативы H2 = {a > a1 }.Р е ш е н и е.
Критерий, построенный в задаче 18.13, не зависит от a2 , т. е.является наиболее мощным при любой простой альтернативе a = a2 > a1 .Поэтому этот критерий является и равномерно наиболее мощным критериемдля проверки простой гипотезы a = a1 против сложной альтернативы a > a1 .92отдел vi. проверка гипотез19.2. Пусть X1 , . . .
, Xn — выборка из нормального распределения с известным средним значением a и неизвестной дисперсией σ 2 . Используя достаточную статистику (X − a)2 , построитьравномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверкигипотезы H1 = {σ 2 = σ12 } против альтернативы H2 = {σ 2 < σ12 }.19.3. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α. Используя достаточную статистикуX, построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {α = α1 } против альтернативыH2 = {α > α1 }.19.4.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из двухпараметрическогопоказательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β,где α > 0, β ∈ R.а) Пусть α известно. Используя достаточную статистику X(1) ,построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε дляпроверки гипотезы H1 = {β = β1 } против альтернативы H2 ={β 6= β1 }.б) Построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {α = α1 , β = β1 } против альтернативы H2 = {α < α1 , β < β1 }.19.5.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ]. Используя достаточную статистику X(n) ,построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε дляпроверки гипотезы H1 = {θ = θ0 } против альтернативы H2 ={θ 6= θ0 }.19.6. Пусть X1 , . . .
, Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p. Используя достаточную статистику X, построитьравномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверкигипотезы H1 = {p = p1 } против альтернативы H2 = {p > p1 }.19.7. В условиях задачи 16.6 построить равномерно наиболеемощный критерий размера 0,1 по результатам 100 экспериментов.19.8. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ. Используя достаточную статистику X, построить§ 20. критерии согласия93равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверкигипотезы H1 = {λ = λ1 } против альтернативы H2 = {λ > λ1 }.19.9. Пусть X1 , . .
. , Xn — выборка из геометрического распределения с параметром p. Используя достаточную статистикуX, построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {p = p1 } против альтернативыH2 = {p > p1 }.19.10. По выборке X1 объёма 1 проверяется основная гипотеза о том, что X1 имеет стандартное нормальное распределение,против альтернативы, состоящей в том, что распределение X1 обладает свойством P{X1 ∈ [0, 1]} = 0.
Построить критерий с единичной мощностью. Каков наименьший возможный размер такогокритерия?§ 20. Критерии согласияПусть имеется выборка X1 , . . . , Xn из неизвестного распределения F .Пусть F1 — некоторое распределение. Критерии, предназначенные для проверки основной гипотезы H1 = {F = F1 }, называются критериями согласия.Альтернативной гипотезой чаще всего является H2 = {F 6= F1 }. Иногда вкачестве H1 выступает тоже сложная гипотеза.Пусть задан некоторый функционал d(Pn∗ , F1 ), обладающий следующимсвойством: по заданному ε можно найти c такое, чтоPH1 {d(Pn∗ , F1 ) > c} = εилиlim PH1 {d(Pn∗ , F1 ) > c} = ε.n→∞Значение функционала d(Pn∗ , F1 ) можно трактовать как «расстояние» междуэмпирическим и предполагаемым теоретическим распределением.Критерий согласия (асимптотического) размера ε, основанный на функционале d, строится следующим образом: критерий отвергает основную гипотезу, если для данной выборки значение d(Pn∗ , F1 ) превосходит c.Если d(Pn∗ , F1 ) стремится по вероятности к бесконечности при n → ∞, кактолько распределение F отлично от F1 , то данный критерий согласия состоятелен.
А именно, при любом распределении F , отличном от F1 , вероятностьошибки второго рода стремится к нулю.Критерий Колмогорова. Пусть имеется выборка X1 , . . . , Xn из неизвестного распределения F и Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределения, построенная по этой выборке. Пусть F1 — некоторое распределение снепрерывной функцией распределения F1 (y). Для проверки простой гипоте-94отдел vi. проверка гипотеззы H1 = {F = F1 } используется статистика Колмогорова√d(X1 , . . . , Xn ) = n sup |Fn∗ (y) − F1 (y)|.y∈RСправедлива следующаяТеорема Колмогорова.
Если F = F1 , то при n → ∞ распределениестатистики Колмогорова слабо сходится к распределению Колмогорова сфункцией распределенияK(y) =∞X(−1)j e−2j2 2y,y > 0.j=−∞Критерий Колмогорова асимптотического размера ε отвергает основнуюгипотезу, если значение статистики Колмогорова d(X1 , . . . , Xn ) превосходитквантиль ζ1−ε уровня 1 − ε распределения Колмогорова.Критерий Пирсона хи-квадрат.
Пусть имеется выборка X1 , . . . , Xn изнеизвестного распределения F и F1 — некоторое распределение. Пусть заданконечный набор из k непересекающихся интервалов ∆1 , . . . , ∆k , покрывающих R. Обозначим через pj = F1 (∆j ) вероятности попадания в эти интервалыдля распределения F1 и через νj — число элементов выборки, попавших в интервал ∆j .Для проверки гипотезы H1 о совпадении вектора неизвестных истинныхвероятностей (F (∆1 ), . . .
, F (∆k )) с вектором (p1 , . . . , pk ) используется статистика хи-квадратkX(νj − npj )2χ2 (X1 , . . . , Xn ) =.npjj=1Справедлива следующаяТеорема Пирсона. Если гипотеза H1 верна, то при n → ∞ распределение статистики хи-квадрат слабо сходится к χ2 -распределению с k − 1степенью свободы.Критерий Пирсона асимптотического размера ε отвергает основную гипотезу, если значение статистики хи-квадрат χ2 (X1 , . .
. , Xn ) превосходит квантиль ζ1−ε уровня 1 − ε χ2 -распределения с k − 1 степенью свободы.20.1. Имеется выборка X1 , X2 , X3 объёма 3. Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из равномерного на отрезке [0, 1]распределения, используется критерий Колмогорова: гипотеза оравномерности отвергается, если sup |F3∗ (y) − y| > 1/3. Сфорy∈[0,1]мулировать этот критерий в явном виде в терминах порядковыхстатистик. Чему равен размер этого критерия?§ 20.
критерии согласия9520.2. Доказать состоятельность критерия Колмогорова.20.3. Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из равномерного на отрезке [0, 1] распределения, используется статистика омега-квадрат2Z1ω =(Fn∗ (y) − y)2 dy.0Гипотеза о равномерности отвергается, если ω 2 > γ, где числоγ > 0 выбирается заранее. Доказать, что для выборки из равномерного на отрезке [0, 1] распределения справедливо равенствоEω 2 = 1/6n.С помощью неравенства Чебышёва указать значение γ, при котором размер критерия не превосходит ε.20.4. Доказать, что при условии 0 6 X(1) 6 X(n) 6 1 справедливо равенствоZ1n(Fn∗ (y) − y)2 dy =11 X2k−1 2+X−(k)12n2 nnk=10(с помощью этого представления часто вычисляется значение статистики ω 2 ).20.5.
Для проверки гипотезы о том, что выборка взята из распределения с непрерывной функцией распределения F , используется статистикаZ1ω 2 = (Fn∗ (y) − F (y))2 dF (y).0Доказать, что при выполнении основной гипотезы распределениестатистики ω 2 не зависит от непрерывного распределения F .20.6.
При n = 4040 бросаниях монеты Бюффон получил 2048выпадений герба и 1992 выпадений решётки. Совместимо ли это сгипотезой о том, что существует постоянная вероятность p = 1/2выпадения герба?96отдел vi. проверка гипотез20.7. В ходе n = 4000 независимых испытаний события A1 ,A2 и A3 , составляющие полную группу событий, появились 1905,1015 и 1080 раз соответственно. Проверить, согласуются ли этиданные на уровне 0,05 с гипотезой H = {p1 = 1/2, p2 = p3 = 1/4},где pj = P{Aj }.20.8. Пусть X1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
