1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 18
Текст из файла (страница 18)
оценка параметров21.2. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ].а) Найти смещение и дисперсию оценок 2X, X(n) иn+1n X(n) .б) Используя метод моментов, оценить параметр θ. Проверитьполученную оценку на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.в) Найти оценку максимального правдоподобия параметра θ ипроверить её на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.г) Считая, что параметр θ имеет распределение Парето с параметрами 1 и 2, найти байесовскую оценку параметра θ.д) Сравнить оценки 2X, X(n) иквадратического подхода.n+1n X(n)с помощью средне-е) Какие из статистик X и X(n) являются достаточными?ж) Является ли статистика X(n) полной?з) Является ли R-эффективной оценка 2X?и) Найти эффективную несмещённую оценку параметра θ.к) Используя статистику 2X, построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.л) Используя статистику X(n) , построить точный доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра θ.21.3.
Пусть дана выборка X1 , . . . , Xn из равномерного распределения в некоторой области G ⊂ Rd . Для оценки значенияинтегралаZZa=···f (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxdGпо методу Монте-Карло используется статистикаn1Xf (Xi ).a∗n =ni=1а) НайтиEa∗nиDa∗n .б) Построить несмещённую оценку дисперсии a∗n .104отдел vii. задачи на повторениев) Предполагая конечность интегралаZZ· · · f 4 (x1 , . . . , xd )dx1 . . . dxd ,Gпостроить асимптотический доверительный интервал для параметра a уровня 1 − ε.21.4. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α.а) Используя метод моментов, оценить параметр α. Проверитьполученную оценку на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.б) Найти несмещённую оценку параметра α.в) Проверить оценку X на несмещённость, состоятельность иасимптотическую нормальность для параметра τ = 1/α.г) Является ли статистика X достаточной для параметра α?д) Является ли статистика X полной?е) Найти эффективную несмещённую оценку параметра α.ж) Построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра α.21.5.
Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из смещённого показательного распределения с плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.а) Используя метод моментов, оценить параметр сдвига β.Проверить полученную оценку на несмещённость, состоятельностьи асимптотическую нормальность.б) Найти оценку максимального правдоподобия для параметра сдвига β и проверить её на несмещённость, состоятельность иасимптотическую нормальность.в) Сравнить оценки X − 1 и X(1) с помощью среднеквадратического подхода.г) Является ли статистика X(1) достаточной для параметра β?д) Является ли статистика X(1) полной?е) Найти эффективную несмещённую оценку параметра β.§ 21. оценка параметров105ж) Построить точный доверительный интервал уровня 1 − εдля параметра β.21.6. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p.а) Найти смещение и дисперсию оценок X, X(n) и X1 .б) Используя метод моментов, оценить параметр p. Проверитьполученную оценку на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.в) Найти оценку максимального правдоподобия параметра p ипроверить её на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.г) Считая, что параметр p принимает значения 1/4 и 3/4 с вероятностями 1/4 и 3/4 соответственно, найти байесовскую оценкупараметра p.д) Сравнить оценки X и X1 с помощью среднеквадратическогоподхода.е) Какие из статистик X, X(n) и 2X являются достаточными?ж) Какие из статистик X, X(n) и 2X являются полными?з) Является ли R-эффективной оценка X?и) Найти эффективную несмещённую оценку параметра p.к) Используя статистику X, построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра p.21.7. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из распределения Пуассонас параметром λ.а) Найти смещение и дисперсию оценок X и X1 .б) Используя метод моментов, оценить параметр λ. Проверитьполученную оценку на несмещённость, состоятельность и асимптотическую нормальность.в) Найти оценку максимального правдоподобия параметра λ.г) Считая, что параметр λ принимает значения 1 и 2 с равнымивероятностями, найти байесовскую оценку параметра λ.д) Сравнить оценки X и X1 с помощью среднеквадратическогоподхода.е) Какие из статистик X, X(n) и 2X являются достаточными?ж) Какие из статистик X, X(n) и 2X являются полными?106отдел vii.
задачи на повторениез) Является ли R-эффективной оценка X?и) Найти эффективную несмещённую оценку параметра λ.к) Используя статистику X, построить асимптотический доверительный интервал уровня 1 − ε для параметра λ.§ 22. Проверка гипотез22.1. Дана выборка X1 , . . . , Xn . Основная гипотеза H1 состоитв том, что элементы выборки имеют распределение с плотностью y2 ln 2 при y 6 0,f1 (y) =0при y > 0.Альтернатива H2 состоит в том, что элементы выборки имеютраспределение с плотностью y3 ln 3 при y 6 0,f2 (y) =0при y > 0.a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу H1 , еслиX > −1/ ln 2; альтернативу H2 , если X < −1/ ln 2.
Найти пределывероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия приn → ∞.б) Построить наиболее мощный критерий асимптотическогоразмера ε = 0,05 и проверить его состоятельность.в) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу H1 , еслиX(n) 6 −1/4 и альтернативу H2 , если X(n) > −1/4. Найти вероятности ошибок первого и второго рода критерия δ2 .22.2. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из нормального распределения со средним a и известной дисперсией σ 2 .a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу a = 1, если√X < 1 + 1/ n; иначе принимается альтернатива a = 2.
Найтивероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу a = 1, еслиX < 3/2; иначе принимается альтернатива a = 2. Найти пределывероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.в) Используя достаточную статистику X, построить наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы H1 =§ 22. проверка гипотез107{a = a1 } против альтернативы H2 = {a = a2 }.
Проверить состоятельность этого критерия.г) Используя достаточную статистику X, построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезыH1 = {a = a1 } против альтернативы H2 = {a > a1 }. Проверитьсостоятельность этого критерия.д) Построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {a = a1 } против альтернативыH2 = {a < a1 }. Проверить состоятельность этого критерия.22.3. Пусть X1 , .
. . , Xn — выборка из нормального распределения с известным средним значением a и неизвестной дисперсией σ 2 .a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу σ 2 = 1, если(X − a)2 6 1; иначе принимается альтернатива σ 2 = 2. Найтивероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу σ 2 = 1, еслиX < 4/3; иначе принимается альтернатива σ 2 = 2.
Найти пределывероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.в) При помощи достаточной статистики (X − a)2 построитьнаиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезыH1 = {σ 2 = σ12 } против альтернативы H2 = {σ 2 = σ22 }. Проверить состоятельность этого критерия.г) Используя достаточную статистику (X − a)2 , построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы H1 = {σ 2 = σ12 } против альтернативы H2 = {σ 2 > σ12 }.Проверить состоятельность этого критерия.д) Построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {σ 2 = σ12 } против альтернативыH2 = {σ 2 < σ12 }.
Проверить состоятельность этого критерия.22.4. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром α.a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу α = 2, еслиX 6 1/2; иначе принимается альтернатива α = 4. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу α = 2, если108отдел vii.
задачи на повторениеX > 1/3; иначе принимается альтернатива α = 4. Найти пределывероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.в) Используя достаточную статистику X, построить наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы H1 ={α = α1 } против альтернативы H2 = {α = α2 }. Проверить состоятельность этого критерия.г) Используя достаточную статистику X, построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезыH1 = {α = α1 } против альтернативы H2 = {α > α1 }.
Проверитьсостоятельность этого критерия.д) Построить равномерно наиболее мощный критерий размераε для проверки гипотезы H1 = {α = α1 } против альтернативыH2 = {α < α1 }. Проверить состоятельность этого критерия.22.5. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из равномерного распределения на отрезке [0, θ].a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу θ = 2, еслиX 6 3; иначе принимается альтернатива θ = 4. Найти пределывероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу θ = 2, еслиX(n) < 3; иначе принимается альтернатива θ = 4. Найти вероятности ошибок первого и второго рода этого критерия.в) Используя достаточную статистику X(n) , построить наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы H1 ={θ = θ1 } против альтернативы H2 = {θ = θ2 }.
Проверить состоятельность этого критерия.г) Используя достаточную статистику X(n) , построить равномерно наиболее мощный критерий размера ε для проверки гипотезы H1 = {θ = θ1 } против альтернативы H2 = {θ 6= θ1 }. Проверитьсостоятельность этого критерия.22.6. Пусть X1 , . . .
, Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром p.a) Критерий δ1 предписывает принимать гипотезу p = 1/2,если X 6 1/2; иначе принимается альтернатива p = 3/4. Найтипределы вероятностей ошибок первого и второго рода этого критерия.§ 22. проверка гипотез109б) Критерий δ2 предписывает принимать гипотезу p = 1/2,если X < 1/3; иначе принимается альтернатива p = 3/4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
