1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Да,p2 (1 − p). 7.32. N0,9σ2 . 7.35. θ2 . 7.36. π 2 /4. 7.37. 1/α2 . 7.38. 1/4f 2 (ζ).7.39. δ(1 − δ)/f 2 (ζδ ). 7.40. F (y)(1 − F (y)).§ 8. Среднеквадратический подход8.1. Вторая оценка лучше. 8.2. DS02 = 2σ 4 /(n − 1), DS12 = 2σ 4 /n.8.3. DS02 = 2σ 4 /(2n − 1), D(σ 2 )∗2n = 2σ 4 /n.
8.4. cn = 1/(n + 1); смещение = −2σ 2 /(n + 1). 8.5. Среднеквадратические отклонения: θ2 /3n,∗2θ2 /(n + 1)(n + 2), θ2 /n(n + 2), 2θ2 /(n + 1)(n + 2). 8.6. θ1,n— наи∗∗∗∗лучшая; θ0,n лучше, чем θ2,n ; θk,n лучше, чем θk+1,n при k > 2.8.7. cn = (n + 2)/(n + 1); смещение = −1/(n + 1)2 . 8.8. Для наилучшей в среднеквадратичном оценки a = (n + 1)/(5n + 4), b = 2a,Eθ (θ∗ − θ)2 = 1/(n + 2)(5n + 4).
8.9. а) Вторая и третья эквивалентны всреднеквадратичном смысле и лучше, чем первая; б) (X(1) +X(n) −1)/2.8.10. E(X −1−θ)2 = 1/n, E(X(1) −θ)2 = 2/n2 , E(X(1) −1/n−θ)2 = 1/n2 .8.11. Например, λ∗1 = (X1 + X2 )/2 лучше в среднеквадратичном, чемλ∗2 = X1 . 8.12. Распределение Бернулли с параметром θ ∈ (0, 1),θ1∗ = X + 33, θ2∗ = X1 .§ 9. Асимптотический подход9.1. Вторая оценка лучше. 9.2. Среднее лучше. 9.3.
Выборочная медиана лучше. 9.4. Нет. 9.5. Среднее лучше. 9.6. Да, при k = 1.122ответы§ 10. Достаточные статистики10.1. Вырожденное в точке (x1 , . . . , xn ); а), б) да. 10.3. Условное распределение P{X1 ∈ B1 , . . . , Xn ∈ Bn | nX = y} есть (обобщённое) нормальное распределение с вырожденной матрицей ковариаций σ 2 , диаго2нальные элементы которой σii= (n − 1)/n, внедиагональные элементы2σij = −1/n, i 6= j, и вектором средних (y/n, .
. . , y/n). Корень из σ 2 совпадает с σ 2 , так что данное условное распределение совпадает с распределением вектора (ξ1 , . . . , ξn ) · σ 2 + (y/n, . . . , y/n) = (ξ1 − ξ + y/n, . . . , ξn −ξ + y/n), где ξi — независимые в совокупности случайные величины состандартным нормальным распределением; да. 10.4. X 2 10.5. а) Нет;б) да; в) нет. 10.6. (X, X 2 ). 10.7.
X(n) . 10.8. Нет, нет, да. 10.9. а),б) (X(1) , X(n) ). 10.10. max{−X(1) , X(n) } = max |Xi |. 10.11. S = X.10.12. 2X(1) ; нет. 10.13. а) X(1) ; б) X; в) (X(1) , X). 10.14. Да; Γраспределение с параметрами nβ/θ и nβ; да. 10.15. (X, ln X). 10.16. а)ln X; б) X(1) ; в) (ln X, X(1) ). 10.17. (ln X, X α ). 10.18. ln X. 10.19. Да.k~ = (k1 , . . . , kn ) | nX = k} = Qn Cnki /Cnm10.20. P{X, если k1 +· · ·+kn =i=1~ = (k1 , . .
. , kn ) | nX =k; да. 10.21. Полиномиальное распределение: P(Xk!12k) = k1 !·...·kk , если k1 +· · ·+kn = k; X, (X) , sin X — достаточные (такn! n2как число 2π иррационально), X — нет. 10.22. а), в), г), д), е) Да; б) нет.~ = (k1 , . . . , kn ) | nX = k} = 1/C k10.24. P{Xn+k−1 , если k1 + · · · + kn = k,— равновероятное распределениенамножественаборов натуральныхPчисел {(k1 , . . . , kn ) :ki = k}; да.
10.26. X(n) . 10.27. РаспределениеКоши с параметром сдвига a и параметром масштаба 1.§ 11. Полные статистики11.6. в) (X(1) , X). 11.7. Нет.§ 12. Эффективные оценки12.1. θ∗ /(α + 1). 12.3. X, N (a, 1/n); да. 12.4. n+1n X(n) . 12.5. Смещение 0, дисперсия θ2 /12; улучшенная оценка n+1n X(n) , смещение 0,дисперсия θ2 /n(n + 2), да. 12.6. (1 − (n − 1)y/nX(n) )I{X(n) > y}.12.7. (n − 1)/nX. 12.8. X(1) − 1/n. 12.9. а) X(1) − α/n; б) X − β; в)α∗ = (n−1)(X −X(1) )/n, β ∗ = (nX(1) −X)/(n−1).
12.10. (1−1/nβ)X(1) .12.11. X α . 12.12. а) g(X); б) (g(X) − θ)2 . 12.13. −ln X. 12.14. X.12.15. а) Смещение p(m−1), дисперсия mp(1−p); X, смещение p(m−1),дисперсия mp(1 − p)/n; эффективна в классе оценок со смещениемответы123p(m−1). б) Смещение 0, дисперсия p(1−p)/m; X/m, смещение 0, дисперсия p(1 − p)/nm; эффективна в классе несмещённых оценок. 12.16. X,смещение 0, дисперсия λ/n; да. 12.17. bn (θ) = 0, θn∗∗ = (1 − 1/n)nX .12.18. в) 0; (n − 1)/(nX + n − 1).§ 13. Неравенство Рао – Крамера13.1. а) Добавление произвольной постоянной к оценке: оставляетдисперсию без изменения, не изменяет b0 (·) и произвольно меняет b(·);б) оценка, принимающая постоянное значение, имеет нулевую дисперсию и для неё b0 (·) = −1; в) граница должна быть неотрицательной.13.2.
nθn∗ /(n + 1). 13.3. Оценка максимального правдоподобия для параметра θ равномерного распределения на отрезке [3, θ + 5]. 13.4. Нет.В предыдущем примере Dθn∗ ∼ c/n2 . 13.5. а), г), е), ж), и) Да; б), в), д),з) нет. 13.6. R-эффективна. 13.7. а) R-эффективна; б) нет. 13.8. а–в)Нет; нет. 13.9. Нет. 13.10. Нет; да. 13.11. Да; да. 13.12. Нет; нет; нет;да. 13.13. Нет; да. 13.14. Нет. 13.15. б) π 2 /3n; в) 1/3; г) не является.
13.20. R-эффективна. 13.21. R-эффективна. 13.22. R-эффективна.13.23. 0; нет. 13.24. Да. 13.26. а–е) Да; ж) нет.§ 14. Доверительные интервалы√√14.1. (X − σζ1−ε/2 / n, X + σζ1−ε/2 / n), где ζ1−ε/2 — квантильуровня 1 − ε/2 распределения N0,1 . 14.2. (nS12 /ζ1−ε/2 , nS12 /ζε/2 ), гдеζδ — квантиль уровня δ распределения χ2 с n степенями свободы.2214.3. (n(X − a)2 /ζ1−ε/4, n(X − a)2 /ζ0,5+ε/4), где ζδ — квантиль уровня δ стандартного нормального распределения; √первый.
14.4. c √= 1.14.5. c = 2. 14.6. c = 2. 14.7. Для a: (X −S0 ζ1−ε/2 / n, X +S0 ζ1−ε/2 / n),где ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 распределения Стьюдента с n − 1pстепенью свободы, S0 =S02 . Для σ 2 : (nS 2 /ζ1−ε/2 , nS 2 /ζε/2 ), где ζδсвободы.— квантиль уровня δ распределения χ2 с n −p 1 степенью p14.9. (1/ ln 20, 1/(ln 20 − ln 19)). 14.10. а) (2X − 1/3nε, 2X + 1/3nε);√б) (X(n) , X(n) + /(n +√1)ε). 14.11. (X1 , X1 /ε).√14.12.
(X(n) , X(n) / n ε).14.14. а) (X(1) − 1 + n ε, X(1) ); б) (X(1) /(2 − n ε), X(1) ). 14.15. (X(1) +(ln ε)/n, X(1) ). 14.16. (0, −(ln ε)/X1 ); (0, −(ln ε)/nX(1) ).§ 15. Асимптотические доверительные интервалыqq√√ 15.1. X−ζ1−ε/2 X(1 − X)/ n, X+ζ1−ε/2 X(1 − X)/ n , где ζ1−ε/2— квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 .124ответыq√15.2. (0,061; 0,139).
15.3. X/m − ζ1−ε/2 X(1 − X/m)/ n, X/m +q√ ζ1−ε/2 X(1 − X/m)/ n , где ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2√ √√ √ распределения N0,1 . 15.4. X − ζ1−ε/2 X/ n, X + ζ1−ε/2 X/ n ,где ζ— квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 .1−ε/2√ ∗√ ∗∗ζ1−pnζ1−ε/2 p∗1−pn1−ε/2 pn∗√√n15.5. p∗n −,p+, где p∗n = 1/(1 + X)nnnи ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 . 15.6.
(X −√√ζ1−ε/2 σ(X)/ n, X + ζ1−ε/2 σ(X)/ n), где ζ1−ε/2 — квантиль√ уровня 1 − ε/2√ распределения N0,1 . 15.7. (θn∗ − ζ1−ε/2 σ(θn∗ )/ n, θn∗ +ζ1−ε/2 σ(θn∗ )/ n), где ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 распределе√ния N0,1 . 15.8. (X(n) , nX(n) /(n + ln ε)). 15.9. θ1∗ − θ1∗ ζ1−ε/2 / 3n, θ1∗ +√ √√ θ1∗ ζ1−ε/2 / 3n и θ2∗ − θ2∗ ζ1−ε/2 / 5n, θ2∗ + θ2∗ ζ1−ε/2 / 5n , где ζ1−ε/2— квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 . 15.10. α1∗ −p√√ √α1∗ ζ1−ε/2 / n, α1∗ + α1∗ ζ1−ε/2 / n и α2∗ −5/4α2∗ ζ1−ε/2 / n, α2∗ +p√5/4α2∗ ζ1−ε/2 / n , где ζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 распреде√√ ления N0,1 . 15.11.
X − 1 − ζ1−ε/2 / n, X − 1 + ζ1−ε/2 / n , гдеζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 . Предпочестьследуетточный, так как его√длина есть величина√√ порядка 1/n, а не1/ n. 15.12. β ∗ − β ∗ ζ1−ε/2 / n, β ∗ + β ∗ ζ1−ε/2 / n , где β ∗ = 1/(ln X −√√ √√ln X(1) ). 15.13. ζ ∗ − σ πζ1−ε/2 / 2n , ζ ∗ + σ πζ1−ε/2 / 2n , где ζ1−ε/2— квантиль уровня 1 − ε/2 распределения√N0,1 ; интервал, построен√ ный по X, короче. 15.14.
ζ ∗ − πζ1−ε/2 /2 n, ζ ∗ + πζ1−ε/2 /2 n , гдеζ1−ε/2 — квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 . 15.15. σn∗ −pp√√ 2(σn∗ )2 ζ1−ε/2 π/2 − 1/ n, σn∗ + 2(σn∗ )2 ζ1−ε/2 π/2 − 1/ n , где ζ1−ε/2— квантиль уровня 1 − ε/2 распределения N0,1 .§ 16. Различение двух простых гипотез:основные понятияnn16.1. 1 − 1 − Φ(3) ≈ 1 − 0,99865n ; 1 − Φ(2) ≈ 0,977n . 16.2. γ >−1/2. 16.3. Основная гипотеза отвергается, если значение хотя бы одного элемента выборки целое. 16.4.
а) 0, Φ(2); б), в) 0, 1/2. 16.5. β(δ) > γпри n > (ln(1 − γ))/(ln 4 − 3). 16.6. Φ(4) ≈ 0,000032.§ 17. Байесовские и минимаксные критерии17.1. Гипотеза a = a1 принимается, если X < (a1 + a2 )/2, иначепринимается альтернатива a = a2 . 17.2. а) δ(X) = (1, 0), если X < 3/2;ответы125иначе δ(X) = (0, 1); δ(3) = (0, 1); б) δ(X) = (1, 0, 0), если X < 3/2;δ(X) = (0, 1, 0), если 3/2 6 X < 5/2; δ(X) = (0, 0, 1), если 5/2 6 X;δ(3) = (0, 0, 1). 17.3.
δ(X) = (1, 0, 0), если X > ln 2; δ(X) = (0, 1, 0), еслиln 3/2 < X 6 ln 2; δ(X) = (0, 0, 1), если X 6 ln 3/2. 17.4. δ(X) = (1, 0),если X < (n − 1)(ln 2)/n(ln 3 − ln 2). 17.5. δ(X) = (1, 0), если X < m/2 −1/n. 17.6. Гипотеза {a = a1 } принимается, если X1 < (a1 + a2 )/2, иначепринимается альтернатива {a = a2 }.§ 18. Наиболее мощные критерии18.1. Например, критерий, принимающий основную гипотезу√ при X1 <0 и альтернативу—приX>0.18.2.δ=1,еслиX<ε; β(δ) =11√(1 − ε)2 .
18.3. а) δ = 1, если X1 > 1 − ε; б) δ = 1, если X1 X2 > t,где t — решение уравнения t(1 − ln t) = 1 − ε. 18.4. δ = 0, если X1 >1/2; δ = 1/2, если X1 6 1/2. 18.5. δ = 0, если X1 ∈ (ε, 1); δ = 1иначе; β(δ) = 1 + 1/e − 1/eε . 18.6. δ = 0, если X1 = 0; δ = 1 иначе;β(δ) = 1 − e−2 . 18.7. δ = 1, если X1 ∈ (a, 1] ∪ [3/2, 2]; δ = 0 иначе, гдеa = − 21 ln(1/3−e−3 +e−4 +e−2 ) ≈ 0,413685. 18.8. δ = 0, если X1 ∈ (3/2, 2];δ = 1/3, если X1 ∈ [1, 3/2]; δ = 1, если X1 ∈ [0, 1].
18.9. δ = 0, еслиX1 = 0; δ = 2/5, если X1 = 1; δ = 1, если X1 = 2. 18.10. δ = 0,если X = 0; n = 459; наиболее мощный критерий: δ = 1, если X > 0;δ = 0,01 иначе; n = 458. 18.11. Гипотеза отвергается, если выпадаютдве пятёрки. 18.12. δ = 1, если X1 ∈ [1/2, 1]; δ = 1/2, если X1 = 0; δ =√ 0,если X1 ∈ (0, 1/2); ε ∈ (1/4, 3/4). 18.13. δ = 1, если X > a1 + σζ1−ε / n,где ζ1−ε — квантиль уровня 1 − ε распределения N0,1 ; состоятельный.18.14. H1 = {σ 2 = σ12 }, H2 = {σ 2 = σ22 }, σ22 < σ12 ; δ = 1, если X 2 <σ12 ζε /n, где ζε — квантиль уровня ε χ2 -распределения с n Pстепенямиnсвободы.
18.15. При σ12 < σ22 критическая область имеет вид i=1 Xi +√2(a2 σ12 − a1 σ22 )/(σ22 − σ12 ) > c. 18.16. δ = 1, если X < 1/α1 + ζε /α1 n,где ζε — квантильуровня ε распределения N0,1 ; 1. 18.17. δ = 1, если√√X > λ1 + λ1 ζ1−ε / n, где ζ1−ε — квантильp уровня 1 − ε распределения√N0,1 ; 1. 18.18. δ = 1, если X > mp1 + mp1 (1 − p1 )ζ1−ε / n, где ζ1−ε— квантиль уровня 1 − ε√распределения N0,1 ; 1. 18.19. δ = 1, если X <(1 − p1 )/p1 + (1 − p1 )ζε /p21 n, где ζε — квантиль уровня ε распределенияN0,1 ; 1. 18.20.
δ = 1, если X1 > s; δ = 0 иначе; ps2 . 18.21. 1/2.§ 19. Равномерно наиболее мощные критерии19.2. δ = 1, если (X − a)2 < σ12 ζε /n; δ = 0 иначе, где ζε — квантиль уровня ε χ2 -распределения с n степенями свободы. 19.3. Гипотеза126ответы√принимается, если X > 1/α1 +ζε /α1 n, где ζε — квантиль уровня ε распределения N0,1 . 19.4. а) Гипотеза принимается, если X(1) ∈ [β1 , β1 −(ln ε)/n]; б) гипотеза принимается, если β1 6 X(1) 6 X 6 β1 + α1 ζ1−ε /n,где ζ1−ε — квантиль Γ1,n распределенияуровня 1 − ε. 19.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
