1612725209-a23bee82d85f38806186b1a563141c58 (828890), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть (3, 0, 4, 3, 6, 0, 3, 1) — наблюдавшиеся значения выборки. Построить эмпирическую функцию распределения и проверить, что F8∗ (1) = 1/4, F8∗ (3) = 3/8 и F8∗ (5) = 7/8.2.3. По выборке объёма n из распределения Бернулли с параметром p построить график эмпирической функции распределения Fn∗ (y).2.4. Найти по крайней мере 2 выборки различных объёмов,которым соответствует следующая эмпирическая функция распределения:Fn∗ (y) 61-13579xР е ш е н и е. Можно взять следующие выборки: (1, 1, 5, 7, 8, 8), или (1, 5,1, 7, 8, 8), или (1, 1, 1, 1, 8, 8, 8, 8, 7, 7, 5, 5).2.5. Можно ли по функции Fn∗ (y) из задачи 2.4 восстановитьисходную выборку, если объём выборки известен? Можно ли восстановить вариационный ряд? А если объём выборки неизвестен?§ 2. эмпирическая функция распределения172.6.
Пусть Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1 , . . . , Xn объёма n. Пусть a — положительное вещественное число. Является ли эмпирической функцией распределения функция Fn∗ (ay)? Если «да», то какой выборкеона соответствует?2.7. Пусть a > 0 и b — два фиксированных действительныхчисла. Пусть Fn∗ — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1 , . .
. , Xn , а G∗n — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке Y1 , . . . , Yn , где Yi = aXi + b.Доказать, что при всех y имеет место равенствоy − bG∗n (y) = Fn∗.a2.8. Пусть Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1 , . . . , Xn объёма n. Является ли эмпирической функцией распределения функцияа) Fn∗ (y 3 );б) (Fn∗ (y))3 ?Если «да», то какой выборке она соответствует?2.9. Пусть Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1 , . .
. , Xn объёма n, а G∗n (y) — по выборкеY1 , . . . , Yn того же объёма n. Является ли эмпирической функциейраспределения функция (Fn∗ (y) + G∗n (y))/2? Если «да», то какойвыборке она соответствует?2.10. Пусть Fn∗ — эмпирическая функция распределения, построенная по выборке X1 , . . . , Xn , а G∗n — эмпирическая функцияраспределения, построенная по выборке Y1 , . . .
, Yn , где Yi = G(Xi )и G — монотонно возрастающая непрерывная функция. Доказать,что при всех y и v справедливо равенствоP{Fn∗ (y) < v} = P{G∗n (G(y)) < v}.2.11. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения F . Доказать, что для любых y ∈ R и k ∈ {0, 1, . . . , n} справедливоравенство (ср.
с задачей 1.16)P{Fn∗ (y) = k/n} = Cnk F k (y)(1 − F (y))n−k .18отдел i. эмпирическое распределение2.12. Для выборки из распределения F найтив) D(Fn∗ (z) − Fn∗ (y)).б) DFn∗ (y);а) EFn∗ (y);2.13. Для выборки из биномиального распределения с параметрами p и m найти (ср. с задачей 1.21)P{Fn∗ (y + 0) − Fn∗ (y) = k/n}.2.14. Чему равна вероятность P{Fn∗ (y) < Fn∗ (z)}?2.15. Какова вероятность наличия у эмпирической функциираспределения хотя бы одного скачка размера 2/n, если функцияраспределения выборки непрерывна?2.16. Доказать, что для выборки с непрерывной функциейраспределения F (y) при любом t ∈ [0, 1] справедливо равенствоnonoP sup |Fn∗ (y) − F (y)| > t = P sup |G∗n (y) − y| > t ,y06y61G∗n (y)где— эмпирическая функция распределения, построеннаяпо выборке из равномерного распределения на отрезке [0, 1] (этосвойство используется при построении критерия Колмогорова иназывается непараметричностью этого критерия).2.17.
Доказать, что для выборки из общего распределения Fпри любом t ∈ [0, 1] справедливо неравенствоnonoP sup |Fn∗ (y) − F (y)| > t 6 P sup |G∗n (y) − y| > t ,y06y61G∗n (y)где— эмпирическая функция распределения, построеннаяпо выборке из равномерного распределения на отрезке [0, 1].2.18. Пусть X1 , . . .
, Xn и Y1 , . . . , Yn — две независимые выборки одинакового объёма n из одного и того же непрерывногораспределения, а Fn∗ и G∗n — эмпирические функции распределения, построенные по этим выборкам. Доказать, что для любогоt ∈ (0, 1] справедливо равенствоnonoP sup |Fn∗ (y) − G∗n (y)| < t = P sup |Sk | < tnS2n = 0 ,y∈R16k62nгде Sk = ξ1 + · · · + ξk , причём случайные слагаемые ξi независимыи P{ξi = 1} = P{ξi = −1} = 1/2.§ 2. эмпирическая функция распределения192.19. Пусть X1 , . .
. , Xn — выборка из распределения на множестве целых чисел; положим pk = P{X1 = k}. Обозначим черезνk (n) число элементов выборки, равных k. Доказать, что∞1 X νk (n)sup |Pn∗ (A) − P{X1 ∈ A}| =− pk .2nA⊆Zk=−∞2.20. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из распределения Бернуллис параметром 1/4, Fn∗ (y) — эмпирическая функция распределенияи F (y) — функция распределения выборки. Доказать, что приn → ∞ с вероятностью 1 имеет место сходимостьsup |Fn∗ (y) − F (y)| → 0.y∈R2.21. Пусть X1 , . . . , Xn — выборка из показательного распределения с параметром 1. При каждом n > 1 через νn обозначимколичество элементов выборки, не превышающих 2. Указать покрайней мере две различные последовательности чисел cn такие,√что последовательность (νn −cn )/ n слабо сходится при n → ∞ кнекоторому нормальному распределению.
Найти параметры этогораспределения.2.22. Доказать, что для любого фиксированного λ ∈ R значение выборочной характеристической функцииZϕ∗n (λ) =eiλy Fn∗ (dy)Rсходится при n → ∞ почти наверное к значению истинной характеристической функции ϕ(λ) = EeiλX1 .2.23. Доказать, что для любого компакта K ⊂ R при n → ∞имеет место равномерная по λ ∈ K сходимость почти наверноеsup |ϕ∗n (λ) − ϕ(λ)| → 0.λ∈K2.24. Пусть распределение F сосредоточено на решётке целыхчисел.
Доказать, что при n → ∞ имеет место равномерная поλ ∈ R сходимость почти наверноеsup |ϕ∗n (λ) − ϕ(λ)| → 0.λ∈RО Т Д Е Л IIМЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОЦЕНОК§ 3. Метод моментовПусть {Fθ , θ ∈ Θ} — некоторое параметрическое семейство распределений, причём Θ есть подмножество d-мерного евклидова пространства Rd .Пусть X1 , . .
. , Xn — выборка из распределения Fθ .В случае одномерного параметра θ (d = 1) оценка этого параметра по методу моментов строится следующим образом. Выбирается пробная функцияg : R → R такая, что функцияZm(θ) = Eθ g(X1 ) = g(y)Fθ (dy)Rявляется непрерывной и монотонной. Оценкой по методу моментов называется оценка θn∗ ∈ Θ такая, чтоm(θn∗ ) = g(X) =n1Xg(Xi ).n i=1Ясно, что оценка, построенная по методу моментов, не единственна и зависитот выбора пробной функции g.
В качестве g чаще всего выбирают функциивида g(y) = y k ; в этом случае m(θ) есть k-й момент распределения выборки,что и дало название методу.В случае многомерного параметра θ (d > 2) для построения оценки этогопараметра по методу моментов выбираются d функций gj : R → R, j = 1,. . .
, d, и рассматриваются функцииmj (θ) = Eθ gj (X1 ).Пробные функции gj выбираются таким образом, чтобы система уравненийmj (θ) = zj ,j = 1, . . . , d,была однозначно и непрерывно разрешима относительно d-мерного параметраθ. Оценкой по методу моментов называется оценка θn∗ ∈ Θ такая, чтоmj (θn∗ ) = gj (X),j = 1, . . . , d.В качестве пробных функций gj чаще всего выбираются степенные функции.§ 3. метод моментов213.1. Пусть дана выборка из нормального распределения с параметрами a и σ 2 .
Используя метод моментов, построить оценкуа) неизвестного среднего значения a;б) неизвестной дисперсии σ 2 , если среднее значение a известно;в) двумерного параметра (a, σ 2 ).Р е ш е н и е. а) Возьмём пробную функцию g(y) = y. Имеем равенстваm(a) = Ea,σ2 g(X1 ) = Ea,σ2 X1 = a.−1Поэтому m (y) = y и искомая оценка a∗n метода моментов равна X.б) Для пробной функции g(y) = y 2 справедливы равенстваm(σ 2 ) = Ea,σ2 g(X1 ) = Ea,σ2 X12 = σ 2 + a2 .Поэтому m−1 (y) = y − a2 и искомая оценка (σ 2 )∗n метода моментов равнаX 2 − a2 .в) Используя пробные функции g1 (y) = y и g2 (y) = y 2 , получаемm1 (a, σ 2 ) = Ea,σ2 g1 (X1 ) = Ea,σ2 X1 = a,m2 (a, σ 2 ) = Ea,σ2 g2 (X1 ) = Ea,σ2 X12 = a2 + σ 2 .Решая системуa∗n = X(a∗n )2 + (σ 2 )∗n = X 2 ,находим искомые оценки метода моментов: a∗n = X и (σ 2 )∗n = X 2 − (X)2 ≡ S 2 .3.2.
Используя метод моментов с пробной функциейа) g(y) = |y − a|;б) g(y) = (y − a)2 ,оценить неизвестную дисперсию σ 2 > 0 нормального распределения с известным средним значением a.3.3. Используя пробные функции g1 (y) = y и g2 (y) = y 2 , оценить неизвестный параметр θ > 0 нормального распределения сосредним θ и дисперсиейа) 2θ;б) θ2 .3.4. Используя пробные функции y 2k , k = 1, 2, . .
. , оценитьнеизвестную дисперсию σ 2 нормального распределения с нулевымсредним.3.5. Используя метод моментов, оценить параметр θ равномерного распределения на отрезкеа) [0, θ], θ > 0;в) [0, 2θ], θ > 0;б) [θ − 1, θ + 1], θ ∈ R;г) [−θ, θ], θ > 0.22отдел ii. методы построения оценок3.6. Используя пробные функции g1 (y) = y и g2 (y) = y 2 , построить оценку векторного параметра (a, b) равномерного распределения на отрезкеа) [a, b], a < b;б) [a, a + b], b > 0.3.7. Используя пробные функции g(y) = y k , k = 1, 2, . .
. ,оценить параметр θ > 0 равномерного распределения на отрезке[0, θ].3.8. Используя метод моментов с пробной функцией g(y) = y,оценить параметр α > 0 показательного распределения.3.9. Используя метод моментов с пробной функцией g(y) = y,оценить параметр сдвига β ∈ R показательного распределенияс плотностью β−yeпри y > β,fβ (y) =0при y < β.3.10. Пусть дана выборка из двухпараметрического показательного распределения с плотностью −1 −(y−β)/αα eпри y > β,fα,β (y) =0при y < β.Используя метод моментов, оценить параметры масштаба α > 0и сдвига β ∈ R.3.11. Используя пробные функции g(y) = y k , k ∈ N, по выборке из показательного распределения с параметрома) α;б) 1/αоценить неизвестное значение α > 0.3.12.
Используя метод моментов с подходящей пробной функцией g(y), оценить параметр α > 0 распределения Лапласа.3.13. Используя метод моментов, оценить значение α по вы√борке из показательного распределения с параметром 1/ α.3.14. Пусть дана выборка из показательного распределенияс параметром α.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
