1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Схема (9.78), (9.79) сохраняет постоянное течение,т. е. если un = const, то un+1 = un .Д о к а з а т е л ь с т в о. Для постоянного течения unx,j+1/2 ≡ 0, чтос учетом соотношения (9.81) равносильно равенствуf nx,j+1/2 ≡ 0.(9.84)Тогда из «предикторного» уравнения (9.78) получаем, чтоf ∗j+1/2 =f nj+1 + f nj,2(9.85)поэтому уравнение шага корректор (9.79) примет вид)un+1− unj1( nj+f x,j+1/2 + f nx,j−1/2 = 0.τ2Учитывая равенство (9.84), приходим к выводу о том, что un+1 = un .Теорема 9.2. Схема (9.78), (9.79) сохраняет скачок уплотнения,т. е. если{v 1 при j ≤ j0 ,v nj =(9.86)v 2 при j > j0и компоненты векторов (9.55) удовлетворяют соотношениям (9.58),(9.61)–(9.63) на скачке уплотнения, то un+1= unj для любого j.jД о к а з а т е л ь с т в о.
На произвольном сильном разрыве вида(9.86) выполняются соотношения (9.40), которые можно записать в следующей эквивалентной форме:f nx,j0 +1/2 = Dunx,j0 +1/2 .(9.87)На скачке уплотнения D = 0, поэтому f nx,j0 +1/2 = 0. Очевидно, что вовсех других узлах j ̸= j0 также f nx,j+1/2 = 0. Таким образом, при всех jбудет выполняться равенство (9.84), из которого, как показано при доказательстве теоремы 9.1, и следует справедливость сформулированного утверждения. Следовательно, если начальные данные взяты в видескачка уплотнения, то при использовании схемы предиктор-корректорскачок не будет «размазываться» на последующих слоях по времении останется на прежнем месте.173Замечание.
Равенство (9.87) с учетом свойства (9.84) означает, чтона сильном разрыве всегда выполняется соотношениеAnj0 +1/2 unx,j0 +1/2 = Dunx,j0 +1/2 ,(9.88)т. е. вектор unx,j0 +1/2 является собственным вектором матрицы Anj0 +1/2 ,соответствующим одному из ее собственных значений λnk,j0 +1/2 (k =1, 2, 3). Поэтому скорость движения разрыва D совпадает с одним изэтих чисел. Например, для скачка уплотнения, рассмотренного в теореме 9.2, D = λn1,j0 +1/2 , т.
е. λn1,j0 +1/2 = 0. В самом деле, согласно формулам (9.80), (9.82), (9.83), имеем выражениеλn1,j0 +1/2u1 + u2=−2√(u1 + u22)2− u1 u2 +γ(p1 + p2 ).ρ1 + ρ2(9.89)Из формул (9.61), (9.62) следует, чтоu1 u2 = u212c2 + (γ − 1)u21ρ12c2 + (γ − 1)u21= 1.= u21 ρ1 12ρ2(γ + 1)ρ1 u1γ+1(9.90)Используя теперь выражения (9.61) и (9.63), получаем()1 − γ + 2γM12γp1 1 +2c21 + (γ − 1)u21γ(p1 + p2 )γ+1)(==.ρ1 + ρ2γ+1(γ + 1)M12ρ1 1 +2 + (γ − 1)M12(9.91)Подставляя выражения (9.90), (9.91) в формулу (9.89), убеждаемся, чтодействительно λn1,j0 +1/2 = 0, т. е.
на скачке уплотнения D = λn1,j0 +1/2 .Аналогичным образом можно проверить, что на ударной волне, рассмотренной в примере 9.2, справедливо равенство D = λn3,j0 +1/2 .9.7. Схема Лакса – Вендроффа является частным случаем описанной выше схемы предиктор-корректор и получается из последнейпри θk ≡ 0 (k = 1, 2, 3). Шаг корректор (9.79) остается прежним, а «предикторное» уравнение (9.78) примет следующий вид:f ∗j+1/2 − 12 (f nj+1 + f nj )+ Anj+1/2 f nx,j+1/2 = 0.τ /2174(9.92)9.8.
Противопоточная схема также является частным случаемсхемы предиктор-корректор (9.78), (9.79) и получается из последней приθk = θ0k (k = 1, 2, 3), где величины θ0k определены в формуле (8.89).Выполняя такие же преобразования, как при выводе противопоточнойсхемы для уравнений мелкой воды, и используя обозначения, принятыев пп. 8.9, приходим к консервативной форме противопоточной схемыf ∗j+1/2 − f ∗j−1/2un+1− unjj+= 0,τh(9.93)где()n()]1[ nf j+1 + f nj − A+ − A− j+1/2 unj+1 − unj .2Аналогично тому, как была получена схема (8.127) для уравнениймелкой воды, противопоточную схему (9.93) можно переписать в эквивалентной недивергентной формеf ∗j+1/2 =()n()nun+1− unjj+ A+ ux j−1/2 + A− ux j+1/2 = 0.τ(9.94)Численное решение задачи о запуске ударной трубы (см. пример 9.4)показывает, что схема предиктор-корректор (9.78), (9.79) с переменными параметрами θk (k = 1, 2, 3), определенными по формулам (7.39),(8.89), дает решение без «паразитических» осцилляций.
Численное решение, полученное с помощью противопоточной схемы (9.93), также неимеет осцилляций, но является более сглаженным, чем при использовании схемы предиктор-корректор. Схема Лакса – Вендроффа дает численное решение с «паразитическими» осцилляциями за фронтом ударной волны и перед волной разрежения.В настоящем параграфе мы ограничились рассмотрением нескольких явных схем, аппроксимирующих уравнения газовой динамики (9.1).Разумеется, что для решения этих уравнений имеется большое числодругих схем, в том числе и неявных (см., напр., [6, 9, 10, 13, 14, 18]).175§ 10.
Контрольная работа по теме«Исследование разностных схемдля уравнения переноса»ВАРИАНТ 110.v1.1. Определить порядок аппроксимации схемыun+1− unj−3unj + 4unj+1 − unj+2a2 τ unj+2 − 2unj+1 + unjj+a=·, (10.1)τ2h2h2построенной для уравнения переносаut + aux = 0,a = const < 0,(10.2)и с помощью спектрального метода Неймана получить для этой схемынеобходимое условие устойчивости по начальным данным при законепредельного перехода |a|τ /h = const.10.v1.2. Сохраняет ли схема (10.1) монотонность численного решения? Ответ обосновать.10.v1.3.
Получить п. д. п. разностной схемы (10.1) и доказать, чтоона обладает численной дисперсией.ВАРИАНТ 210.v2.1. Определить порядок аппроксимации схемыun+1− unj3unj − 4unj−1 + unj−2a2 τ unj − 2unj−1 + unj−2j+a=·,τ2h2h2(10.3)построенной для уравнения переносаut + aux = 0,a = const > 0,(10.4)и с помощью спектрального метода Неймана получить для этой схемынеобходимое условие устойчивости по начальным данным при законепредельного перехода aτ /h = const.10.v2.2. Сохраняет ли схема (10.3) монотонность численного решения? Ответ обосновать.10.v2.3. Получить п. д. п.
разностной схемы (10.3) и доказать, чтоона обладает численной дисперсией.176§ 11. Задания для лабораторной работы 6В данном параграфе приведены задания к практическим занятиям на ЭВМ по теме «Конечно-разностные методы решения уравненийгиперболического типа». Основная цель этих заданий состоит в экспериментальной проверке тех свойств численных методов, которые былиустановлены теоретически на лекциях и семинарских занятиях, выявлении новых, важных для практики особенностей используемых методов,экспериментальном сравнении методов и экспериментальном определении условий применимости численных методов.По каждому заданию готовится краткий отчет (о содержании отчета см. § 1.13).11.1. Уравнение переноса с постоянным коэффициентом.Первая группа заданий касается проведения численных экспериментов с конечно-разностными схемами, предназначенными для решенияначально-краевой задачи (1.25) для уравнения переноса с постояннымкоэффициентом a > 0. Точное решение задачи определяется формулой (1.26).Задание 1.
Реализовать явную противопоточную схему (1.28).Выбирая различные соотношения между τ и h, убедиться в условной устойчивости этой схемы. Проанализировать точность передачискачка на разрывном решении при различных τ и h.Задание 2. Для неявной противопоточной схемы (1.90) продемонстрировать абсолютную устойчивость, исследовать ее сглаживающие свойства.Задание 3. Реализовать противопоточную схему с весами (1.89).Выбирая различные σ при фиксированных τ и h, проиллюстрироватьтеоретически обоснованные свойства схемы – устойчивость и аппроксимацию.
Проанализировать ее сглаживающие свойства для различных значений параметров σ, τ , h.Задание 4. Реализовав схему Лакса (1.46), убедиться в ее условнойаппроксимации и условной устойчивости. Исследовать ее сглаживающие свойства при различных значениях τ и h.Задание 5. Реализовать схему Лакса – Вендроффа (1.49).
Экспериментально исследовать ее устойчивость, точность и выполнениесвойства монотонности. Убедиться в неэффективности использования этой схемы для приближенного вычисления разрывных решений.177Задание 6. Продемонстрировать условную устойчивость модифицированной схемы Лакса – Вендроффа (2.51), (2.50), второй порядокточности на гладких решениях, сохранение монотонности разрывныхрешений. Сравнить результаты расчетов с данными, полученнымис помощью противопоточной схемы, схемы Лакса и схемы Лакса –Вендроффа.Приведем некоторые пояснения к заданиям и рекомендации для ихвыполнения.Противопоточные схемы (явная, неявная, с весами) реализуются вына слое (n + 1) по явным формуламчислением значений функции un+1jс переходом от узла к узлу по оси Ox на слое (n + 1), отправляясьот граничного узла, в котором задано краевое условие. Таким образом, вначале из краевого условия определяем un+1= µ0 (tn+1 ), а далее0во всехс помощью разностного уравнения вычисляем значения un+1jостальных узлах с номерами j = 1, .
. . , N .Схемы Лакса, Лакса – Вендроффа и модифицированная схема Лакса – Вендроффа также реализуются по явным формулам. Общей дляданных схем является проблема вычисления недостающего краевогозначения искомой функции, так как вычисление значений un+1по этимjсхемам может осуществляться лишь для внутренних узлов с номерами j = 1, . . . , N − 1. Для вычисления недостающего граничного значения un+1необходимо использовать другую разностную схему, запиNсанную только для граничной точки, при этом порядок погрешностиаппроксимации схемы, применяемой в граничном узле, не должен бытьниже порядка аппроксимации схемы для внутренних узлов. В противном случае произойдет потеря точности численного решения. Для схемвторого порядка аппроксимации можно взять, например, схему (2.44),которая также имеет второй порядок аппроксимации (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
