1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Еслиже расчет с выделением разрывов ведется по неявным схемам, то вначале необходимо переписать пятиточечное уравнение (11.11) в виде трехточечного уравнения (6.33). Это можно сделать, выразив un+1j0 −2 черезn+1n+1uj0 и uj0 −1 с помощью уравнения (6.33), написанного для узла j0 − 1,n+1а un+1и un+1j0 +2 – через uj0j0 +1 из уравнения (6.33) в узле j0 +1. В результате уравнение (11.11) также станет трехточечным типа уравнения (6.33)с коэффициентамиAj0 = 2a21 −h2,τ2h2, Cj0 = 2(a21 + a22 ),τ2Dj +1+ a22 0 .Bj0 +1Bj0 = 2a22 −Dj0 = a21Dj0 −1Aj0 −1(11.12)Полученную систему трехточечных разностных уравнений (6.33) с коэффициентами (6.37) при j ̸= j0 и (11.12) при j = j0 можно решить методом прогонки, предварительно исследовав его корректность и устойчивость (см.
задачу 2.2.4).Отметим, что разностные схемы с выделением разрывов не являютсяоднородными в том смысле, что коэффициенты разностных уравненийв различных узлах сетки рассчитываются по разным формулам.188Задание 14. Для явной консервативной схемы с краевыми условиями второго рода при x = 0 и первого при x = l экспериментальноопределить порядок точности. Коэффициент k(x, t) взять из формулы (11.1).Задание 15. Для задачи с краевыми условиями первого рода и с разрывным коэффициентом k(x, t), заданным формулой (11.5), провестирасчеты по консервативной схеме (6.26) и неконсервативным схемамс операторами (6.29) и (6.30).
Дать сравнительный анализ результатов по точности и устойчивости.Задание 16. Для задачи с разрывным коэффициентом k(x, t), заданным формулой (11.5), провести расчеты с выделением разрыва поконсервативной явной схеме. Сравнить численные результаты прииспользовании на разрыве условий (11.9) или (11.11). На основе анализа выбрать лучшую из этих аппроксимаций и сравнить между собойточность расчетов с выделением разрывов и расчетов по консервативной явной схеме сквозного счета.Задание 17.
Для задачи с линейной правой частью (6.31) и краевыми условиями второго рода при x = 0 и третьего при x = l реализовать консервативную явную схему. На основе численных экспериментов выяснить условие устойчивости схемы и сравнить его с теоретическим при гладкой ограниченной функции k(x, t). Выяснить влияниекоэффициента a(x, t) из (6.31) на устойчивость схемы.Задание 18.
Реализовать явную схему для решения нелинейнойзадачи. Взять краевые условия третьего рода при x = 0 и первого приx = l. Выяснить экспериментально порядок точности схемы и условие устойчивости.Задание 19. На основе численных экспериментов дать анализ точности полностью неявной схемы с итерациями по нелинейности и безних. Реализовать краевые условия первого рода при x = 0 и второгопри x = l.Задание 20. Реализовать схему с весами для решения нелинейнойзадачи с краевыми условиями второго рода при x = 0 и первого родапри x = l. При σ ̸= 0 сравнить по точности и устойчивости двереализации: с итерациями и без итераций по нелинейности.Задание 21. Реализовать явную схему для нелинейной задачи с краевыми условиями первого рода при x = 0 и второго при x = l. Аппроксимировать производную ∂u/∂x в краевом условии при x = l с первыми вторым порядком по h.
Выяснить влияние разных аппроксимацийкраевых условий на точность численного решения.189Задание 22. Реализовать схему с весами с итерациями по нелинейности для нелинейной задачи с краевыми условиями первого родапри x = 0 и третьего при x = l. Производную ∂u/∂x в точке x = lаппроксимировать односторонними разностями первого и второго порядка. Выяснить влияние этих аппроксимаций на точность численного решения, а также влияние условия (6.6) на устойчивость прогонки.Задание 23. Реализовать схему с весами с итерациями по нелинейности для решения задачи с краевыми условиями первого родаи функциями u(x, t) из (11.1), k и f из (11.4). Далее программу оттестировать на функции u(x, t) из (11.1) и коэффициенте k = (u + 2)m(m > 1).
Выяснить влияние показателя m на устойчивость схемы,устойчивость прогонки и сходимость итераций.11.4. Системы нелинейных уравнений. Последние два заданияявляются наиболее трудоемкими, поэтому рекомендуется выдавать ихгруппе из двух-трех «сильных» студентов для коллективного выполнения.Задание 24. Реализовать схему предиктор-корректор (8.84),(8.101) для уравнений мелкой воды в случае ровного дна. Экспериментально исследовать влияние схемных параметров θk (k = 1, 2) на точность, устойчивость и сглаживающие свойства схемы предикторкорректор. Задав схемные параметры по формулам (7.39), (8.89), сравнить результаты расчетов по схеме предиктор-корректор с данными, полученными с помощью противопоточной схемы и схемы Лакса – Вендроффа. В качестве тестовых возьмите решения, приведенныев примерах 8.1–8.4.
Экспериментально подтвердите теоремы 8.1и 8.2.Задание 25. Реализовать схему предиктор-корректор (9.78),(9.79) для уравнений газовой динамики. Экспериментально исследовать влияние схемных параметров θk (k = 1, 2, 3) на точность, устойчивость и сглаживающие свойства схемы предиктор-корректор. Задав схемные параметры по формулам (7.39), (8.89), сравнить результаты расчетов по схеме предиктор-корректор с данными, полученными с помощью противопоточной схемы и схемы Лакса – Вендроффа. В качестве тестовых возьмите решения, приведенные в примерах9.1–9.4.
Экспериментально подтвердите теоремы 9.1 и 9.2.190Ответы, указания, решения1.2. У к а з а н и е. Показать, что для схемы (1.81) окружностьλ = 1 + r − reiφ(12.1)лежит при a > 0 вне окружности (1.34) единичного радиуса при любомзаконе предельного перехода.1.3. У к а з а н и е. Множитель перехода√λ(φ) = −ir sin φ ± 1 − r2 sin2 φ(12.2)находим из уравненияλ2 + λ2ir sin φ − 1 = 0.(12.3)При r ≤ 1 имеем |λ(φ)| = 1 для любого φ. Если r > 1, то при некоторых φ множитель перехода будет по модулю больше единицы. Например, при φ = π/2√π|λ1 ( )| = r + r2 − 1 > 1,(12.4)2поэтому необходимое условие устойчивости эквивалентно выполнениюнеравенства r ≤ 1, т. е.|a|τ= const ≤ 1.(12.5)h1.4. Порядок аппроксимации O(τ + h2 ).
Для закона предельного перехода (1.84) схема абсолютно неустойчива.1.5. Порядок аппроксимации O(τ + h). Необходимое условие устойчивости – неравенство (12.5).У к а з а н и е. Множитель перехода λ(φ) определяется по формулеλ = 1 − r + re−iφ .(12.6)Отсюда видно, что числа λ(φ) лежат на окружности радиуса r с центром в точке 1 − r. Чтобы окружность (12.6) лежала внутри единичной окружности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство r ≤ 1.1911.6. Порядок аппроксимации схемы Мак-Кормака O(τ 2 + h2 ), необходимое условие ее устойчивости – неравенство (12.5).У к а з а н и е. Легко проверить, что после исключения из схемыМак-Кормака вспомогательных величин u∗j и u∗j−1 мы придем к одношаговой схеме Лакса – Вендроффа (1.50), поэтому эти две схемы обладаютодинаковыми свойствами.1.7.
Р е ш е н и е. Возьмем гладкое решение u(x, t) уравнения переноса (1.21) и рассмотрим на этом решении локальную погрешностьаппроксимации в узле (xj , tn ) дифференциального уравнения (1.21) разностным уравнением (1.87), при этом аргументы функций будем писатьтолько тогда, когда они отличаются от (xj , tn ):nψh,j= (Lh (u)h − fh )|(xj ,tn ) = ut +τutt +2[][]hh+σa ux (xj , tn+1 ) − uxx (xj , tn+1 ) +(1−σ)a ux − uxx +O(τ 2 +h2 ) =22[][]hhτ= ut + utt +σa ux + τ uxt − uxx +(1−σ)a ux − uxx +O(τ 2 +h2 ) =222[]τah= ut + aux +utt + 2σauxt −uxx + O(τ 2 + h2 ).2τВ силу того, что функция u(x, t) является решением уравнения (1.21)и его следствийutt + auxt = 0,получаем, чтоnψh,jutx + auxx = 0,[]aτh=a(1 − 2σ) −uxx + O(τ 2 + h2 ).2τСледовательно, O(τ + h),nψh,j =O(τ 2 + h),O(τ 2 + h2 ),еслиσ ̸= 0, 5 и σ ̸= σ∗ ≡еслиеслиσ = 0.5,σ = σ∗ .1h−,2 2aτДля множителя перехода получаем следующее выражениеλ=1 − (1 − σ)r (1 − cos φ) − i(1 − σ)r sin φ.1 + σr (1 − cos φ) + iσr sin φ192Отсюда2|λ|2 =[1 − (1 − σ)r (1 − cos φ)] + (1 − σ)2 r2 sin2 φ2[1 + σr (1 − cos φ)] + σ 2 r2 sin2 φ.Следовательно, необходимое условие устойчивости |λ| ≤ 1 будет эквивалентно выполнению при произвольном значении φ неравенства2[1 − (1 − σ)r (1 − cos φ)] + (1 − σ)2 r2 sin2 φ ≤2≤ [1 + σr (1 − cos φ)] + σ 2 r2 sin2 φ.После элементарных преобразований получим, что последнее неравенство эквивалентно следующему:r(1 − 2σ) ≤ 1.(12.7)При σ ≥ 0, 5 неравенство (12.7) выполняется для любого r.
При σ < 0, 5получаем ограничение1r≤.1 − 2σИтак, для закона предельного перехода (1.84) и σ ≥ 0, 5 необходимыйпризнак устойчивости Неймана выполняется при любом соотношениимежду шагами τ и h, а при σ < 0, 5 – только при условииaτ1≤.h1 − 2σ1.8. Схема абсолютно устойчива.1.9.aτ1≤.h1−σ1.11. У к а з а н и е. Подробный вывод п. д. п. схемы Лакса – Вендроффа приведен в работе [30].ah (aτ )1.12.ut + aux =1+uxx .(12.8)2h2.3.
У к а з а н и е. Пусть unj – монотонно возрастающая функция,удовлетворяющая условию unx̄x,j ≤ 0. Перепишем схему Лакса – Вендроффа (2.26) в следующем виде:un+1= unj −j) a2 τ 2aτ ( nux,j+1/2 + unx,j−1/2 +un .22 x̄x,j193Записав аналогичное равенство для узла с номером (j + 1), получитеравенствоnun+1x,j+1/2 = ux,j+1/2 −) a2 τ 2 ()aτ ( nux̄x,j+1 + unx̄x,j +unx̄x,j+1 − unx̄x,j22hи его следствиеnun+1x,j+1/2 = ux,j+1/2 −aτaτ(1 − aæ)unx̄x,j+1 −(1 + aæ)unx̄x,j .22Далее используйте условияaæ ≤ 1;a > 0;unx̄x,j ≤ 0, ∀j;unx,j+1/2 ≥ 0, ∀j.2.4.
Р е ш е н и е. Перепишем разностное уравнение (2.22)+−un+1= unj + æCj+1/2∆j+1/2 un − æCj−1/2∆j−1/2 un ,j(12.9)где ∆j+1/2 u = uj+1 −uj , и вычтем из разностного уравнения в узле xj+1+−nnnun+1j+1 = uj+1 + æCj+3/2 ∆j+3/2 u − æCj+1/2 ∆j+1/2 uуравнение (12.9):+−∆j+1/2 un+1 = (1 − æCj+1/2− æCj+1/2)∆j+1/2 un ++−+æCj+3/2∆j+3/2 un + æCj−1/2∆j−1/2 un .Коэффициенты в правой части неотрицательны. Поэтому−n∆j+1/2 un+1 ≤ (1 − æC +j+1/2 − æCj+1/2 ) ∆j+1/2 u ++n∆j+3/2 un + æC −+æCj+3/2j−1/2 ∆j−1/2 u .Просуммируем полученные неравенства по индексу j:T V (un+1 ) ≤ T V (un )−∞∑−æ∞∑+−∆j+1/2 un − æ∆j+1/2 un +Cj+1/2Cj+1/2j=−∞+æ∞∑j=−∞∞∑+−∆j+3/2 un + æ∆j−1/2 un .Cj+3/2Cj−1/2j=−∞j=−∞194(12.10)Изменим индекс суммирования в последних двух суммах на l = j +1и l = j − 1 соответственно. Тогда суммы сократятся и получится неравенство (2.24).2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
