1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 29

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 29)

Р е ш е н и е. В схеме (2.44) первая производная ux аппроксимируется односторонней разностью со вторым порядком:)h23u(xj , tn ) − 4u(xj−1 , tn ) + u(xj−2 , tn ) (= ux − uxxx (xj , tn ) + O(h3 ).2h3Вторая разностная производная аппроксимирует производную uxx в узле xj только с первым порядком:)u(xj , tn ) − 2u(xj−1 , tn ) + u(xj−2 , tn ) (= uxx − huxxx (xj , tn ) + O(h2 ).2hПоэтому для погрешности аппроксимации получается выражениеψjn = ut +)a2 τ (τutt + O(τ 2 ) + aux + O(h2 ) −uxx + O(h) .22В силу неравенства τ h ≤τ 2 + h2получаем, что2ψjn = ut + aux +τa2 τutt −uxx + O(τ 2 + h2 ).22Для функции u, являющейся решением уравнения (2.1), выполняютсяравенстваut = −aux ,utt = −auxt ,utx = −auxx ,utt = a2 uxx ,поэтому ψjn = O(τ 2 + h2 ).Выпишем теперь п. д.

п. схемы (2.44). Дифференциальное представление схемы имеет следующий вид:()ττ2h2ut + utt + uttt + O(τ 3 ) + a ux − uxxx + O(h3 ) =263)a2 τ (uxx − huxxx + O(τ h2 ).2Учитывая условие задачи=aτ= const,h195(12.11)получаем, что O(τ h2 ) = O(h3 ), поэтому дифференциальное представление запишется как( 2)()ττ2a2 τaha2 τ hut + aux + utt + uttt =uxx +−uxxx + O τ 3 + h3 .26232Дифференцируя его по t, получаем равенствоutt + auxt +τa2 τuttt =uxxt + O(τ 2 + h2 ).22(12.12)Аналогично, после дифференцирования по переменной x, приходимк уравнениюutx + auxx +τa2 τuttx =uxxx + O(τ 2 + h2 ).22(12.13)Далее из равенств (12.12), (12.13) получаются выражения (1.75) дляпроизводных uxxt , uttx иuttt = −a3 uxxx + O(τ + h)(12.14)для uttt .

Подставляя эти выражения в формулы (12.12), (12.13), находимвторую производную по времени:utt = a2 uxx + O(τ 2 + h2 ).В результате приходим к П-форме дифференциального представления разностной схемы (2.44)()()ah2a2 τ 2aτut + aux =2+ 2 −3uxxx + O τ 3 + h36hhи к ее п. д. п.ut + aux =ah2(aæ − 1) (aæ − 2) uxxx ,6(12.15)где æ = τ /h. Отсюда видно, что рассматриваемая схема при aæ ̸= 1,aæ ̸= 2 обладает численной дисперсией, поэтому, если в начальный момент времени t = 0 будет задана ступенька (1.61), то при t > 0 в окрестности движущейся ступеньки возникнут осцилляции численного решения.1962.8.

У к а з а н и е. Перепишем модифицированную схему (2.47)в следующем виде()(Φ)un+1− unjajn+ aux,j+1/2 − (1 + aæ) Φj+1/2 −unx,j+1/2 = 0.τ2ξ j−1/2Таким образом, при a < 0 модифицированная схема Лакса – Вендроффа может быть записана в виде (2.22), где][(Φ)1 + aæ−+.Cj−1/2 = 0, Cj+1/2 = a −1 +p , p = Φj+1/2 −2ξ j−1/2Согласно теореме 2.3, для сохранения монотонности численного решения достаточно потребовать, чтобы+0 ≤ Cj+1/2≤или1,æ(12.16)][1 − |a|æ|a| 1 −p ≥ 0;2(12.17)1 − |a|æp ≤ 1.(12.18)2Потребуем, чтобы эти неравенства выполнялись всюду в областиустойчивости схемы Лакса – Вендроффа, т. е. для всех |a|æ ≤ 1. Тогданеравенство (12.17) приводит к ограничению p ≤ 2.Введя обозначение z = |a|æ, перепишем неравенство (12.18) в следующей эквивалентной форме:|a|æ − |a|æz 2 p − (p − 2)z − 2 ≤ 0,или(z − 1)(pz + 2) ≤ 0.Это неравенство должно выполняться для любых z ∈ [0, 1].

Поэтомудля любых z ∈ [0, 1] должно иметь место неравенство pz + 2 ≥ 0.Отсюда получаем, что p ≥ −2. Итак, неравенство (12.16) выполняетсяпри любых |a|æ ≤ 1, если−2 ≤ Φj+1/2 −(Φ)197ξj−1/2≤ 2.А для выполнения этих ограничений достаточно, чтобы0 ≤ Φj+1/2 ≤ 2ξj+1/2 ;0 ≤ Φj+1/2 ≤ 2∀j.Далее решение аналогично случаю a > 0.3.2. У к а з а н и е. Воспользуйтесь теоремой 2.1.3.4. Р е ш е н и е.

Подставив выражение (3.9) для u∗j+1/2 в уравнение (3.4), получаем:un+1− unjaj+τh(unj+1 − unjunj+1 + unj∗− aτj+1/2−2h)unj + unj−1unj − unj−1∗−+ aτj−1/2= 0.2h(12.19)С учетом формулы для вычисления τ ∗ перепишем данное уравнениев следующем виде:− unjun+1unj+1 − unj−1j+a=τ2h()unj+1 − unjunj − unj−1a2 τ unj+1 − 2unj + unj−1 a2 τnn=·+θ−θ.j+1/2j−1/22h22hhhДля гладкой функции θ(x, t) и гладкого решения u(x, t) теоретической разностной схемы (понятие теоретической разностной схемы введено в п.

1.8) имеют место следующие равенства:u(xj , tn+1 ) − u(xj , tn )ττ2= ut + utt + uttt + O(τ 3 );τ26u(xj+1 , tn ) − u(xj−1 , tn )h2= ux + uxxx + O(h4 );2h6u(xj+1 , tn ) − 2u(xj , tn ) + u(xj−1 , tn )= uxx + O(h2 );h2(1u(xj+1 , tn ) − u(xj , tn )θ(xj+1/2 , tn )−hh)u(xj , tn ) − u(xj−1 , tn )−θ(xj−1/2 , tn )= (θux )x + O(h2 ).h198Следовательно, дифференциальное представление схемы имеет такойвид:ut + aux +τ2a2 τh2a2 ττutt + uttt =uxx − a uxxx +(θux )x +26262+O(τ 3 + h3 ).(12.20)Теперь из левой части уравнения (12.20) исключим производныепо времени, оставив лишь первую – ut . Для этого с помощью уравнения (12.20) найдем производную ut и подставим ее в слагаемые этогоуравнения, содержащие производные (ut )t и (ut )tt :[]ττa2 τa2 ττ2ut + aux +−auxt − uttt +uxxt +(θux )xt +[−auxtt ] =22226222ha τa τuxx − a uxxx +(θux )x + O(τ 3 + h3 ).=262Последнее уравнение, в силу равенствutxx = −auxxx + O(τ + h);uttx = a2 uxxx + O(τ + h);uttt = −a3 uxxx + O(τ + h);(θux )xt = (θt ux + θ(ut )x )x = (θt ux − aθuxx )x + O(τ + h),можно переписать какut + aux −)a2 τa2 τah2 ( 2 2aτutx =uxx +(θux )x +a æ − 1 uxxx −2226a2 τ 2a3 τ 2−(θt ux )x +(θuxx )x + O(τ 3 + h3 ).44Осталось исключить из этого уравнения производную utx :()aτaτa2 τa2 τut + aux −−aux +utx +uxx +(θux )x=2222x)a2 τa2 τah2 ( 2 2=uxx +(θux )x +a æ − 1 uxxx −226a2 τ 2a3 τ 2−(θt ux )x +(θuxx )x + O(τ 3 + h3 ).44199Таким образом, П-форма дифференциального представления разnностной схемы (3.3), (3.4) в случае переменного параметра θj+1/2имеетвид следующего уравнения бесконечного порядка)a2 τah2 ( 2 2(θux )x +a æ − 1 uxxx −26])a2 τ 2 (a3 τ 2 [−θt u x x +(θux )x + θuxx + O(τ 3 + h3 ).44xut + aux =3.5.

У к а з а н и е. Перепишем схему (2.44) в следующем виде:un+1= unj −j) a2 τ 2aτ ( n3ux,j−1/2 − unx,j−3/2 +un.22 x̄x,j−1Записав аналогичное равенство для узла с номером (j + 1), получимnun+1j+1 = uj+1 −) a2 τ 2aτ ( nun .3ux,j+1/2 − unx,j−1/2 +22 x̄x,jСледовательно,nun+1x,j+1/2 = ux,j+1/2 −) aτ3aτ ( nux,j+1/2 − unx,j−1/2 +un+2h2 x̄x,j−1)a2 τ 2 ( n+ux̄x,j − unx̄x,j−12hПоследнее равенство можно переписать в следующем виде:(( 3aæ a2 æ2 )3aæ a2 æ2 ) nun+1=1−+u+−unx,j−1/2 +x,j+1/2x,j+1/22222)aτ (1 − aæ unx̄x,j−1+2илиun+1x,j+1/2 =(1 − aæ)(2 − aæ) naæux,j+1/2 +(3 − aæ)unx,j−1/2 +22aτ+ (1 − aæ)unx̄x,j−1 .2Пусть un – монотонно возрастающая функция, удовлетворяющаяво всех узлах сетки условию unx̄x,j ≥ 0.

Учитывая неравенство (3.24),покажите, что un+1 также будет монотонно возрастающей функцией.2003.7. У к а з а н и е. Схема предиктор-корректор (3.3), (3.4) мо∗жет быть записана в виде (12.19). Учитывая равенство τj+1/2= τ (1 +θj+1/2 )/2, получаем следующее уравнение:)un+1− unja( nj+ux,j+1/2 + unx,j−1/2 −τ2]a2 τ [−(1 + θj+1/2 )unx,j+1/2 − (1 + θj−1/2 )unx,j−1/2 = 0.2h(12.21)Из формул (3.50), (3.31) следует, что параметр (3.34) схемы предиктор-корректор выражается через функцию-ограничитель (2.50), и имеетместо соотношение1 + θj+1/2 =11 − |a|æ−Φj+1/2 ,|a|æ|a|æпоэтому уравнение (12.21) принимает вид модифицированной схемыЛакса – Вендроффа (2.51).4.1. У к а з а н и е. Перепишите уравнение (4.38)()()un+1= 1 − æunj unj + æunj unj−1jи, используя условие (4.61), покажите, что un+1 C ≤ ∥un ∥C , где∥un ∥C = max |unj |.j4.2.

У к а з а н и е. Воспользуйтесь теоремой 2.3.4.3. У к а з а н и е. Используя формулу (4.52) при unj > 0, пока( )2∗жите, что u∗j+1/2 = unj . Тогда fj+1/2= f (u∗j+1/2 ) = 0, 5 unj , и схемаС. К. Годунова для уравнения Хопфа совпадает с противопоточной схемой (4.34).4.4. Р е ш е н и е. Из уравнения (4.53), с учетом равенстваn− fjnfj+1n= fx,j+1/2= anj+1/2 unx,j+1/2(12.22)hи выбранного значения параметра θ = θ0,j+1/2 , получаем следующеевыражение для потока[]n− fjnfj+11 n∗nfj+1/2=fj+1 + fjn − τ anj+1/2 (1 + θj+1/2)=2h201[]()21 nnnnn=f+ fj − τ aj+1/2 (1 + θj+1/2 ) ux,j+1/2 =2 j+1[]()21 n1nnnu=f+ fj − τ aj+1/2=2 j+1æanj+1/2 x,j+1/2]1[ n= fj+1+ fjn − hanj+1/2 unx,j+1/2 .2Подставляя это выражение для потока в уравнение (4.55) шага корректор и опять учитывая равенство (12.22), приходим к противопоточнойсхеме (4.40).6.1.

O(τ 2 + h2 ).7.1. У к а з а н и е. Двухшаговую схему предиктор-корректор (7.50),(7.49) можно переписать с учетом равенства (7.51) в виде следующейодношаговой схемыun+1− unjunj+1 − unj−1j+ A0−τ2h)τ ( nn− R Dj+1/2Λ2 Lunx,j+1/2 − Dj−1/2Λ2 Lunx,j−1/2 = 0.2h(12.23)knПо условию задачи θj+1/2= O(h), поэтому Dj±1/2= E + O(h)E. Далее2используйте равенство utt = A0 uxx , справедливое для решения системы уравнений (7.4), и свойство (7.13) матрицы A0 .n7.2. Р е ш е н и е. Из условия задачи следует, что матрица Dj+1/2имеет следующий видnDj+1/2h τ |λ1 |=00h .τ |λ2 |Поэтомуh τ |λ1 |n2Dj+1/2 Λ = 00) h( +Λ − Λ− .=hτ|λ2 |τ202С учетом этого равенства схема предиктор-корректор (12.23) запишетсякак)) (un+1− unjunj+1 − unj−1 1 ( +j+A0− R Λ − Λ− L unx,j+1/2 −unx,j−1/2 = 0,τ2h2илиn() unun+1− unjx,j+1/2 + ux,j−1/2j−+ A++A−00τ2n() unx,j+1/2 − ux,j−1/2−− A+= 0.0 − A02Приводя подобные члены, получаем противопоточную схему (7.23).7.3.

У к а з а н и е. Используя прием, рассмотренный при исследовании устойчивости противопоточной схемы (7.23), покажите, что множитель перехода ρ в решении вида (7.27) удовлетворяет уравнению()ρ−1τ (1 + θ)sin φ2 φ2detE +2sinΛ −iΛ = 0.τh22h7.5. У к а з а н и е. После исключения из схемы Мак-Кормака вспомогательных величин u∗j и u∗j−1 получается схема)un+1− unjunj+1 − unj−1τ 2( nj+ A0−A0 ux,j+1/2 − unx,j−1/2 = 0,τ2h2hкоторая совпадает со схемой предиктор-корректор (12.23) при θk ≡ 0,т. е.

Характеристики

Список файлов книги