Главная » Просмотр файлов » 1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111

1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 24

Файл №828844 1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (Хакимзянов, Черный - Методы вычислений(часть 4)) 24 страница1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844) страница 242021-02-07СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 24)

Пусть известны параметры газаρ1 , u1 , p1 слева от ударной волны, при этом√γp1u1 > c1 =, D = 0,(9.58)ρ1т. е. слева от точки x0 течение является сверхзвуковым, а ударная волнанеподвижна (рис. 35). Такая «стоячая» ударная волна называется в газовой динамике скачком уплотнения. Она является аналогом гидравлического прыжка.

Параметры газа ρ2 , u2 , p2 справа от скачка уплотнения найдем из соотношений на сильном разрыве, являющимся ударнойволной.Используя равенства (9.49), (9.45) и учитывая условие D = 0, получаемp2 − p1ρ2 ·(9.59)= ρ1 u21 .ρ2 − ρ1x=x0ρ1u1>c1p1t=0ρ2 > ρ1u2<u1p2>p1x0Рис. 35. Параметры газа по разные стороны от скачка уплотнения,через который газ перетекает слева направо166Поскольку из соотношения (9.50) следует, чтоp2 − p1 = p12γ(ρ2 − ρ1 ),(γ + 1)ρ1 − (γ − 1)ρ2(9.60)то из равенства (9.59) можно найти плотностьρ2 =(γ + 1)ρ1 u21(γ + 1)M12=ρ·,12c21 + (γ − 1)u212 + (γ − 1)M12(9.61)где M1 = u1 /c1 > 1. Нетрудно проверить, что ρ2 > ρ1 .

Тогда соотношение (9.45) дает выражение для скоростиρ1< u1 ,ρ2(9.62)1 − γ + 2γM12> p1 .γ+1(9.63)u2 = u1а из равенства (9.60) вытекает, чтоp2 = p1 ·Легко проверить, что течение газа за скачкомуплотнения является до√звуковым, т. е. M2 = u2 /c2 < 1, где c2 = γp2 /ρ2 .Таким образом, обобщенное решение v(x, t) задачи Коши (9.1), (9.54),в которой компоненты вектора v 2 определены формулами (9.61)–(9.63),не зависит от времени и совпадает с начальной функцией v(x, 0).Пример 9.4 (аналог примера 8.4). Пусть в начальный момент времени имеется покоящийся газ с постоянными, но разными значениямидавления и плотности по разные стороны от некоторой точки x0 , т.

е.{{ρ1 , x ≤ x0 ,p1 , x ≤ x0 ,u ≡ 0, ρ =p =(9.64)ρ2 , x > x0 ,p2 , x > x0 ,t=0t=0t=0при этомρ1 > ρ2 ,p1 > p 2 .(9.65)Требуется определить течение при t > 0. В газовой динамике эта задача носит название задачи о запуске ударной трубы – экспериментальной установки, в которой при удалении перегородки, удерживавшей газс высоким давлением, возникает ударная волна, распространяющаясяпо газу с низким давлением. Гидродинамическим аналогом этой задачи является рассмотренная в предыдущем параграфе задача о прорывеплотины (см. пример 8.4).167Для начальных данных (9.64), (9.65) необходимые условия существования сильного разрыва (9.44) или (9.48) не выполняются, поэтомуначальный разрыв распадется на систему устойчивых разрывов и центрированных волн разрежения.

В рассматриваемом случае задача о распаде разрыва имеет решение [18], которое «склеивается» из двух известных решений, полученных в примерах 9.1 и 9.2.Вправо, по покоящемуся газу с низким давлением, будет двигатьсяударная волна, скорость которой определяется формулой (9.57):D=ρ0,2 U0,ρ0,2 − ρ2(9.66)где ρ0,2 и U0 – плотность и скорость газа слева от ударной волны соответственно (рис. 36). Эти величины, а также давление P0 слева от ударной волны, подлежат определению. Используя решение, приведенноев примере 9.2, можно выразить скорость U0 через давление P0 . В самомделе, из формулы (9.53) следует, что√()11−U0 = (P0 − p2 ),(9.67)ρ2ρ0,2а формула (9.52) приводит к выражениюρ0,2 = ρ2поэтому(γ + 1)P0 + (γ − 1)p2,(γ + 1)p2 + (γ − 1)P0√U0 = (P0 − p2 )x=x1(t)ρ1u1=0p1t=02[].ρ2 (γ + 1)P0 + (γ − 1)p2x=x2(t)ρ0,1U0P0x=xc(t)ρ0,2U0P0(9.68)(9.69)x=xs(t)ρ2u2=0p2x0Рис.

36. Схема течения при распаде начального разрыва (9.64), (9.65)168Контактный разрыв движется со скоростью U0 и разделяет два участка постоянного течения с одинаковыми значениями скорости U0 и давления P0 , но разными значениями плотности ρ0,1 слева и ρ0,2 справа отконтактного разрыва.Участок постоянного течения с параметрами газа ρ0,1 , U0 , P0 примыкает справа к волне разрежения, движение переднего и заднего фронтовкоторой описывается уравнениями (9.37):()γ+1x1 (t) = x0 − c1 t, x2 (t) = x0 +U0 − c1 t.(9.70)2Из формулы (9.36) получаем другое выражение для величины скорости U0 :()2c1c0,1U0 =1−,(9.71)γ−1c1где√√γp1γP0c1 =, c0,1 =.ρ1ρ0,1Используя уравнения (9.38), (9.39), получаем, чтоc0,1=c1поэтому(ρ0,1ρ1)γ − 12U0 =2c1 1 −γ−1(=(P0p1)γ − 12γ,)γ − 1P02γ .p1(9.72)Приравнивая правые части равенств (9.69) и (9.72), получаем уравнениеf (P ) = 0(9.73)для определения давления P0 между волной разрежения и ударной волной, где функция f задана следующей формулой:√f (P ) = (P − p2 )22c1 []−1 −γ−1ρ2 (γ + 1)P + (γ − 1)p2169()γ − 1P2γ .p1Поскольку f (p2 ) < 0, f (p1 ) > 0 и функция f (P ) монотонно возрастаетна отрезке [p2 , p1 ], то уравнение (9.73) имеет единственное решениеP0 ∈ (p2 , p1 ).Найдя P0 , по формуле (9.72) вычисляем U0 , используя формулу(9.68), находим ρ0,2 , из формулы (9.71) определяем c0,1 и с учетом формулы (9.38) получаем плотность ρ0,1 :c0,1γ−1U0 ,= c1 −2(ρ0,1 = ρ1c0,1c1)2γ−1.Таким образом, решение задачи о распаде начального разрыва (9.64),(9.65) описывается следующими формулами:ρ1 ,x ≤ x1 (t),2()][γ − 1 x − x01γ−12−, x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),ρ1γ+1ct1 ( )1/γρ(x, t)= ρ P0,x2 (t) ≤ x ≤ xc (t), (9.74)1p1(γ + 1)P0 + (γ − 1)p2ρ2,xc (t) < x ≤ xs (t),(γ + 1)p2 + (γ − 1)P0ρ2 ,x > xs (t),0,x ≤ x1 (t),()x − x02c1 +,x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),t γ+1u(x, t) =( )γ − 1 )(2cP012γ, x2 (t) ≤ x ≤ xs (t),1−γ−1p10,x > xs (t),p1 ,x ≤ x1 (t),2γ()][γ − 1 x − x01γ−1, x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),p2−1p(x, t)=γ+1ct1P0 ,x2 (t) ≤ x ≤ xs (t),p2 ,x > xs (t),170(9.75)(9.76)при этом границы x1 (t) и x2 (t) волны разрежения вычисляются по формулам (9.70), а движение контактного разрыва и ударной волны описывается уравнениямиx = xc (t) = x0 + U0 t,x = xs (t) = x0 + Dt.(9.77)9.6.

Схема предиктор-корректор для уравнений газовой динамики. В пп. 9.3 было отмечено, что в случае ровного дна схемупредиктор-корректор (8.84), (8.101) для уравнений мелкой воды можнорассматривать как схему для численного решения уравнений газовойдинамики (9.1), описывающих течение идеального газа с показателемадиабаты γ = 2. Естественно выбрать эту же схему и для расчета течений газа с произвольным значением показателя адиабаты γ > 1:)nf ∗j+1/2 − 21 (f nj+1 + f nj ) (+ RDΛLf nx,j+1/2 = 0,τ /2j+1/2(9.78)f ∗j+1/2 − f ∗j−1/2− unjun+1j+= 0,(9.79)τhгде использованы обозначения (8.85), строками матрицы Lnj+1/2 являются левые собственные векторы матрицы Anj+1/2 , аппроксимирующейматрицу Якоби (9.9), столбцы матрицы Rnj+1/2 составлены из правыхсобственных векторов, при этом собственные векторы нормируются так,nчтобы выполнялись равенства (8.99).

Матрицы Λnj+1/2 и Dj+1/2определяются так же, как в схеме (8.84), (8.101), аппроксимирующей уравнения мелкой воды, с тем лишь отличием, что теперь это квадратныематрицы размера 3 × 3.Скажем несколько слов об аппроксимации матрицы A. Если ввестисредние величины√unj + unj+1γpu=, c=,(9.80)2ρгдеpnj + pnj+1ρnj + ρnj+1, ρ=,22и использовать их в формуле (9.9) при вычислении матрицы Anj+1/2 ,то при θk = O(h) (k = 1, 2, 3) схема (9.78), (9.79) будет иметь второйпорядок аппроксимации.

Но при этом некоторые важные свойства схемы выполняться, к сожалению, не будут (например, аналог свойства,p=171отмеченного в теореме 8.2). Поэтому, как и для уравнений мелкой воды, будем аппроксимировать матрицу A так, чтобы выполнялось равенство (8.92).Лемма 9.1. Пусть Anj+1/2 ==01γ−3 n nuj uj+12u c2γ−2−+u unj unj+1γ−12(3 − γ)uunj unj+1c2+ (2 − γ)u2 −γ−120γ − 1 .γuТогда выполняется равенствоf nx,j+1/2 = Anj+1/2 unx,j+1/2 .(9.81)Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость формулы (9.81) устанавливается непосредственной проверкой с использованием выражений (9.2)для векторов u и f .Нетрудно проверить, что собственные значения матрицы Anj+1/2 вычисляются по формуламλn1,j+1/2 = u − cnj+1/2 ,λn2,j+1/2 = u,гдеcnj+1/2 =λn3,j+1/2 = u + cnj+1/2 ,√u2 − unj unj+1 + c2 ,(9.82)(9.83)а матрицы Lnj+1/2 и Rnj+1/2 , удовлетворяющие условиям (8.99), запишутся какLnj+1/2 =γ−3 n nucnj+1/2 + u2 +uj uj+1 −cnj+1/2 − (γ − 1)uγ−12c2γ − 1 unj unj+1uγ−1 =−(γ − 1) n− n, (cnj+1/2 )22 (cnj+1/2 )2(cj+1/2 )2(cj+1/2 )2 γ−3 n n−ucnj+1/2 + u2 +uj uj+1 cnj+1/2 − (γ − 1)uγ−12()−1Rnj+1/2 = Lnj+1/2.172Схема предиктор-корректор сохраняет некоторые важные свойстваисходной системы дифференциальных уравнений (9.1).Теорема 9.1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,23 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее