1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Пусть известны параметры газаρ1 , u1 , p1 слева от ударной волны, при этом√γp1u1 > c1 =, D = 0,(9.58)ρ1т. е. слева от точки x0 течение является сверхзвуковым, а ударная волнанеподвижна (рис. 35). Такая «стоячая» ударная волна называется в газовой динамике скачком уплотнения. Она является аналогом гидравлического прыжка.
Параметры газа ρ2 , u2 , p2 справа от скачка уплотнения найдем из соотношений на сильном разрыве, являющимся ударнойволной.Используя равенства (9.49), (9.45) и учитывая условие D = 0, получаемp2 − p1ρ2 ·(9.59)= ρ1 u21 .ρ2 − ρ1x=x0ρ1u1>c1p1t=0ρ2 > ρ1u2<u1p2>p1x0Рис. 35. Параметры газа по разные стороны от скачка уплотнения,через который газ перетекает слева направо166Поскольку из соотношения (9.50) следует, чтоp2 − p1 = p12γ(ρ2 − ρ1 ),(γ + 1)ρ1 − (γ − 1)ρ2(9.60)то из равенства (9.59) можно найти плотностьρ2 =(γ + 1)ρ1 u21(γ + 1)M12=ρ·,12c21 + (γ − 1)u212 + (γ − 1)M12(9.61)где M1 = u1 /c1 > 1. Нетрудно проверить, что ρ2 > ρ1 .
Тогда соотношение (9.45) дает выражение для скоростиρ1< u1 ,ρ2(9.62)1 − γ + 2γM12> p1 .γ+1(9.63)u2 = u1а из равенства (9.60) вытекает, чтоp2 = p1 ·Легко проверить, что течение газа за скачкомуплотнения является до√звуковым, т. е. M2 = u2 /c2 < 1, где c2 = γp2 /ρ2 .Таким образом, обобщенное решение v(x, t) задачи Коши (9.1), (9.54),в которой компоненты вектора v 2 определены формулами (9.61)–(9.63),не зависит от времени и совпадает с начальной функцией v(x, 0).Пример 9.4 (аналог примера 8.4). Пусть в начальный момент времени имеется покоящийся газ с постоянными, но разными значениямидавления и плотности по разные стороны от некоторой точки x0 , т.
е.{{ρ1 , x ≤ x0 ,p1 , x ≤ x0 ,u ≡ 0, ρ =p =(9.64)ρ2 , x > x0 ,p2 , x > x0 ,t=0t=0t=0при этомρ1 > ρ2 ,p1 > p 2 .(9.65)Требуется определить течение при t > 0. В газовой динамике эта задача носит название задачи о запуске ударной трубы – экспериментальной установки, в которой при удалении перегородки, удерживавшей газс высоким давлением, возникает ударная волна, распространяющаясяпо газу с низким давлением. Гидродинамическим аналогом этой задачи является рассмотренная в предыдущем параграфе задача о прорывеплотины (см. пример 8.4).167Для начальных данных (9.64), (9.65) необходимые условия существования сильного разрыва (9.44) или (9.48) не выполняются, поэтомуначальный разрыв распадется на систему устойчивых разрывов и центрированных волн разрежения.
В рассматриваемом случае задача о распаде разрыва имеет решение [18], которое «склеивается» из двух известных решений, полученных в примерах 9.1 и 9.2.Вправо, по покоящемуся газу с низким давлением, будет двигатьсяударная волна, скорость которой определяется формулой (9.57):D=ρ0,2 U0,ρ0,2 − ρ2(9.66)где ρ0,2 и U0 – плотность и скорость газа слева от ударной волны соответственно (рис. 36). Эти величины, а также давление P0 слева от ударной волны, подлежат определению. Используя решение, приведенноев примере 9.2, можно выразить скорость U0 через давление P0 . В самомделе, из формулы (9.53) следует, что√()11−U0 = (P0 − p2 ),(9.67)ρ2ρ0,2а формула (9.52) приводит к выражениюρ0,2 = ρ2поэтому(γ + 1)P0 + (γ − 1)p2,(γ + 1)p2 + (γ − 1)P0√U0 = (P0 − p2 )x=x1(t)ρ1u1=0p1t=02[].ρ2 (γ + 1)P0 + (γ − 1)p2x=x2(t)ρ0,1U0P0x=xc(t)ρ0,2U0P0(9.68)(9.69)x=xs(t)ρ2u2=0p2x0Рис.
36. Схема течения при распаде начального разрыва (9.64), (9.65)168Контактный разрыв движется со скоростью U0 и разделяет два участка постоянного течения с одинаковыми значениями скорости U0 и давления P0 , но разными значениями плотности ρ0,1 слева и ρ0,2 справа отконтактного разрыва.Участок постоянного течения с параметрами газа ρ0,1 , U0 , P0 примыкает справа к волне разрежения, движение переднего и заднего фронтовкоторой описывается уравнениями (9.37):()γ+1x1 (t) = x0 − c1 t, x2 (t) = x0 +U0 − c1 t.(9.70)2Из формулы (9.36) получаем другое выражение для величины скорости U0 :()2c1c0,1U0 =1−,(9.71)γ−1c1где√√γp1γP0c1 =, c0,1 =.ρ1ρ0,1Используя уравнения (9.38), (9.39), получаем, чтоc0,1=c1поэтому(ρ0,1ρ1)γ − 12U0 =2c1 1 −γ−1(=(P0p1)γ − 12γ,)γ − 1P02γ .p1(9.72)Приравнивая правые части равенств (9.69) и (9.72), получаем уравнениеf (P ) = 0(9.73)для определения давления P0 между волной разрежения и ударной волной, где функция f задана следующей формулой:√f (P ) = (P − p2 )22c1 []−1 −γ−1ρ2 (γ + 1)P + (γ − 1)p2169()γ − 1P2γ .p1Поскольку f (p2 ) < 0, f (p1 ) > 0 и функция f (P ) монотонно возрастаетна отрезке [p2 , p1 ], то уравнение (9.73) имеет единственное решениеP0 ∈ (p2 , p1 ).Найдя P0 , по формуле (9.72) вычисляем U0 , используя формулу(9.68), находим ρ0,2 , из формулы (9.71) определяем c0,1 и с учетом формулы (9.38) получаем плотность ρ0,1 :c0,1γ−1U0 ,= c1 −2(ρ0,1 = ρ1c0,1c1)2γ−1.Таким образом, решение задачи о распаде начального разрыва (9.64),(9.65) описывается следующими формулами:ρ1 ,x ≤ x1 (t),2()][γ − 1 x − x01γ−12−, x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),ρ1γ+1ct1 ( )1/γρ(x, t)= ρ P0,x2 (t) ≤ x ≤ xc (t), (9.74)1p1(γ + 1)P0 + (γ − 1)p2ρ2,xc (t) < x ≤ xs (t),(γ + 1)p2 + (γ − 1)P0ρ2 ,x > xs (t),0,x ≤ x1 (t),()x − x02c1 +,x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),t γ+1u(x, t) =( )γ − 1 )(2cP012γ, x2 (t) ≤ x ≤ xs (t),1−γ−1p10,x > xs (t),p1 ,x ≤ x1 (t),2γ()][γ − 1 x − x01γ−1, x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),p2−1p(x, t)=γ+1ct1P0 ,x2 (t) ≤ x ≤ xs (t),p2 ,x > xs (t),170(9.75)(9.76)при этом границы x1 (t) и x2 (t) волны разрежения вычисляются по формулам (9.70), а движение контактного разрыва и ударной волны описывается уравнениямиx = xc (t) = x0 + U0 t,x = xs (t) = x0 + Dt.(9.77)9.6.
Схема предиктор-корректор для уравнений газовой динамики. В пп. 9.3 было отмечено, что в случае ровного дна схемупредиктор-корректор (8.84), (8.101) для уравнений мелкой воды можнорассматривать как схему для численного решения уравнений газовойдинамики (9.1), описывающих течение идеального газа с показателемадиабаты γ = 2. Естественно выбрать эту же схему и для расчета течений газа с произвольным значением показателя адиабаты γ > 1:)nf ∗j+1/2 − 21 (f nj+1 + f nj ) (+ RDΛLf nx,j+1/2 = 0,τ /2j+1/2(9.78)f ∗j+1/2 − f ∗j−1/2− unjun+1j+= 0,(9.79)τhгде использованы обозначения (8.85), строками матрицы Lnj+1/2 являются левые собственные векторы матрицы Anj+1/2 , аппроксимирующейматрицу Якоби (9.9), столбцы матрицы Rnj+1/2 составлены из правыхсобственных векторов, при этом собственные векторы нормируются так,nчтобы выполнялись равенства (8.99).
Матрицы Λnj+1/2 и Dj+1/2определяются так же, как в схеме (8.84), (8.101), аппроксимирующей уравнения мелкой воды, с тем лишь отличием, что теперь это квадратныематрицы размера 3 × 3.Скажем несколько слов об аппроксимации матрицы A. Если ввестисредние величины√unj + unj+1γpu=, c=,(9.80)2ρгдеpnj + pnj+1ρnj + ρnj+1, ρ=,22и использовать их в формуле (9.9) при вычислении матрицы Anj+1/2 ,то при θk = O(h) (k = 1, 2, 3) схема (9.78), (9.79) будет иметь второйпорядок аппроксимации.
Но при этом некоторые важные свойства схемы выполняться, к сожалению, не будут (например, аналог свойства,p=171отмеченного в теореме 8.2). Поэтому, как и для уравнений мелкой воды, будем аппроксимировать матрицу A так, чтобы выполнялось равенство (8.92).Лемма 9.1. Пусть Anj+1/2 ==01γ−3 n nuj uj+12u c2γ−2−+u unj unj+1γ−12(3 − γ)uunj unj+1c2+ (2 − γ)u2 −γ−120γ − 1 .γuТогда выполняется равенствоf nx,j+1/2 = Anj+1/2 unx,j+1/2 .(9.81)Д о к а з а т е л ь с т в о. Справедливость формулы (9.81) устанавливается непосредственной проверкой с использованием выражений (9.2)для векторов u и f .Нетрудно проверить, что собственные значения матрицы Anj+1/2 вычисляются по формуламλn1,j+1/2 = u − cnj+1/2 ,λn2,j+1/2 = u,гдеcnj+1/2 =λn3,j+1/2 = u + cnj+1/2 ,√u2 − unj unj+1 + c2 ,(9.82)(9.83)а матрицы Lnj+1/2 и Rnj+1/2 , удовлетворяющие условиям (8.99), запишутся какLnj+1/2 =γ−3 n nucnj+1/2 + u2 +uj uj+1 −cnj+1/2 − (γ − 1)uγ−12c2γ − 1 unj unj+1uγ−1 =−(γ − 1) n− n, (cnj+1/2 )22 (cnj+1/2 )2(cj+1/2 )2(cj+1/2 )2 γ−3 n n−ucnj+1/2 + u2 +uj uj+1 cnj+1/2 − (γ − 1)uγ−12()−1Rnj+1/2 = Lnj+1/2.172Схема предиктор-корректор сохраняет некоторые важные свойстваисходной системы дифференциальных уравнений (9.1).Теорема 9.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
