1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Оказывается, что для некоторого определенного значения полной глубины H2 решение задачи Коши (8.1), (8.20), (8.21) будет непрерывным при t > 0. Покажем это,выписав с помощью метода характеристик формулы точного решения,описывающего два постоянных течения, сопрягающихся через центрированную волну разрежения.Из формул (8.14) получаем, что в начальный момент времени величины r и s постоянны слева от точки x0 :√r(x, 0)x≤x0 = −2c1 = −2 H1 , s(x, 0)x≤x0 = 2c1 .Из уравнений (8.15) следует, что величины r и s сохраняют свои значения на «своих» характеристикахdx3r + s= λ1 =,dt4dxr + 3s= λ2 =,dt4128выходящих из точек оси абсцисс с координатами x ≤ x0 , поэтому наэтих характеристиках выполняются равенства r = −2c1 , s = 2c1 .

Следовательно, λ1 = −c1 , λ2 = c1 и характеристики являются прямыми. На рис. 27 r-характеристики dx/dt = λ1 изображены сплошными линиями, а s-характеристики dx/dt = λ2 – штриховыми. При этомr-характеристика, выходящая из точки x0 , обозначена как AB. Она описывается уравнениемx = x1 (t) = x0 − c1 t.(8.22)В силу формул (8.16), в области, лежащей левее r-характеристики AB,выполняются равенстваu(x, t) = 0,H(x, t) = H1 ,Bt ≥ 0, x ≤ x1 (t).(8.23)Ct=0AРис. 27.

Характеристики в центрированной r-волне разрежения, сопряженной с участками постоянного теченияПравее r-характеристики AB решение будем искать в виде центрированной r-волны разрежения BAC, т. е. в предположении, что функция r постоянна на r-характеристиках и они являются лучами, выходящими из одной и той же точки x0 :dxx − x0= λ1 =.dttВ области BAC функция r постоянна на каждой отдельно взятой характеристике, но на разных характеристиках она принимает разные значения. Напротив, функция s принимает одно и то же значение s = 2c1 вовсей волне разрежения BAC, поскольку это значение приносится всеми s-характеристиками из левой области постоянного течения. Таким129образом, в области BACλ1 =3r + s3r + 2c1x − x0==,44tпоэтомуr(x, t) =23()x − x02− c1 .tТогда на основе выражений (8.16) получаются следующие формулы длярешения в r-волне разрежения BAC:()r + 2c12 x − x0u==+ c1 ,(8.24)23t()2c1 − r1x − x0c==2c1 −,(8.25)43t()21x − x0H = c2 =2c1 −.(8.26)9tМы определили решение в волне разрежения, но пока не указалидля нее крайнюю r-характеристику AC.

Эта характеристика однозначно определяется заданным при x > x0 значением скорости u2 . В самомделе, из формулы (8.24) следует, что в точках луча AC выполняетсяравенство()2 x − x0u2 =+ c1 ,3tпоэтому характеристика AC описывается уравнением()3x = x2 (t) = x0 +u2 − c1 t,2и на ней выполняются равенстваu2u= u 2 , c= c2 = c1 − ,2ACACHAC(8.27)(u2 )2. (8.28)= H2 = c1 −2Полученное значение H2 и следует задать в начальных условиях(8.20). Тогда из формул (8.14) будет следовать, что в начальный моментвремени величины r и s принимают следующие постоянные значениясправа от точки x0 :r(x, 0)x>x0 = u2 − 2c2 = 2 (u2 − c1 ) , s(x, 0)x>x0 = u2 + 2c2 = 2c1 .130Отсюда следует, что в области, лежащей правее луча AC, все характеристики являются прямыми, инвариант s принимает одно и то же значение 2c1 как на s-характеристиках, выходящих из точек оси абсциссс координатами x > x0 , так и на s-характеристиках, приходящих черезAC из волны разрежения, инвариант r принимает одно и то же значение, равное 2 (u2 − c1 ), на всех r-характеристиках, выходящих с осиабсцисс при x > x0 .

Согласно формулам (8.16) получаем, что правеехарактеристики AC течение является постоянным:u = u2 ,c = c2 ,H = H2 .(8.29)Таким образом, если в качестве начальных данных (8.20) выбраныразрывные функции{0,x ≤ x0 ,u(x, 0) =(8.30)u2 > 0, x > x0 ,{H1 > 0,x ≤ x0 ,(√H(x, 0) =(8.31)u2 )2, x > x0 ,H2 =H1 −2то задача Коши для системы уравнений (8.1) с правой частью G ≡ 0имеет непрерывное при t > 0 решениеH1 ,еслиx ≤ x1 (t),( √)2 1x − x02 H1 −, если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t), (8.32)H(x, t) =9t()√2u2H2 =H1 −,еслиx ≥ x2 (t),20,x ≤ x1 (t),) если 2 (√x − x0u(x, t) =H1 +, если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),(8.33)3tu2 ,еслиx ≥ x2 (t),где(√√ )3x1 (t) = x0 − t H1 , x2 (t) = x0 + t(8.34)u2 − H1 .2Приведем также формулу для величины c:√x ≤ x1 (t),c1 (= H1 ,) если 1x − x02c1 −, если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),c(x, t) =(8.35)3tu2 c2 = c1 − ,еслиx ≥ x2 (t).2131Из этой формулы следует, в частности, что величина√ скорости u2 неможет задаваться произвольно: неравенство c2 = H2 > 0 влечет засобой ограничение u2 < 2c1 .На рис.

28, а показан график точного решения (8.32) для значенияu2 = 0.5c1 при значениях H1 = 1, x0 = 5, t = 3. Для этих параметровполучаются значения u2 = 0.5, c2 = 0.75, т. е. справа от характеристики AC выполняется неравенство u2 /c2 = 2/3 < 1. В гидравлике числоM = |u|/c называется числом Фруда. Течения с числом Фруда меньшеединицы называются докритическими. Если M > 1, то такие теченияназываются сверхкритическими. Таким образом, в рассматриваем случае справа от характеристики AC получается докритическое течениес числом Фруда M = 2/3.HH1.01.00.50.50.002468x0.010а02468x10бРис.

28. Графики решения (8.32) при u2 = 0.5c1 (а) и u2 = 1.5c1 (б)Если же u2 = 1.5c1 , то формулы (8.32), (8.35) дают значения u2 = 1.5,c2 = 0.25, поэтому правее точки x2 (t) течение является сверхкритическим с числом Фруда M = 6. В этом случае точка x0 начального разрыва (ее положение показано штриховой линией на рис. 28) попадаетв область волны разрежения. Интересной особенностью сверхкритического режима, возникающего при u2 > 2c1 /3, является независимостьполной глубины и скорости в точке x0 от времени и заданных значений u2 :42√H(x0 , t) = H1 , u(x0 , t) =H1 = c(x0 , t).(8.36)938.3.

Течения с сильными разрывами. Функции (8.32), (8.33) являются дифференцируемыми всюду, за исключением точек x = x1 (t)132и x = x2 (t), в которых первые производные от u терпят разрыв. Такиенепрерывные при t > 0 решения задачи Коши (8.1), (8.20) называютсярешениями со слабыми разрывами. Но системы нелинейных уравнениймогут иметь и разрывные решения, относящиеся к классу обобщенныхрешений. Вектор-функцию u будем называть обобщенным решениемсистемы уравнений (8.1), если эта функция удовлетворяет интегральному соотношениюI∫∫udx − f dt =Gdxdt,(8.37)CDгде D – произвольная ограниченная область с кусочно-гладкой границейC = ∂D, лежащая в полуплоскости t ≥ 0.Если в области определения обобщенного решения существует кривая x = x(t), на которой вектор u имеет разрыв первого рода и вне которой он непрерывен, то соответствующее этому решению течение жидкости называется течением с сильным разрывом [17].

Чтобы получитьсоотношения, связывающие значения решения u1 и u2 слева и справа от линии разрыва, используется тот же прием, который применялсядля получения уравнения сильного разрыва (4.20) для нелинейного скалярного уравнения (4.1). В качестве контура C берется контур криволинейного четырехугольника D, охватывающий некоторый участок efкривой разрыва (см. рис. 11).

В результате вместо (8.37) получаетсяравенствоI∫∫()uD − f dt =Gdxdt,(8.38)Dabcdaгде dx/dt = D – скорость движения разрыва. Стягивая отрезки ab и cdв точки e и f , в пределе получаем∫ ()[u]D − [f ] dt = 0,(8.39)efгде символ скачка [ ] для некоторой величины означает разность предельных значений этой величины на линии x = x(t), которые предполагаются существующими с каждой стороны линии разрыва. Из интегрального соотношения (8.39), ввиду произвольности дуги ef , получаемсоотношение на сильном разрыве[u]D = [f ],133(8.40)которое должно выполняться в любой точке линии разрыва и котороезаписывается в виде следующей системы уравнений сильного разрывадля компонент векторов u и f :[H]D = [Hu],[Hu]D = [Hu2 + H 2 /2],или(H2 − H1 ) D = H2 u2 − H1 u1 ,(H2 u2 − H1 u1 ) D =H2 u22+H22 /2−(H1 u21+)H12 /2(8.41).(8.42)Из уравнений (8.41), (8.42) следует, что на сильном разрыве обе величины H и u изменяются скачком, т.

е.H2 ̸= H1 ,u2 ̸= u1 ,(8.43)поэтому уравнение (8.41) можно использовать для определения скорости движения точки разрываD=H2 u2 − H1 u1.H2 − H1(8.44)Подставив выражение для D в уравнение (8.42), получаем соотношение,связывающее параметры потока по разные стороны от линии разрыва:2(H2 u2 − H1 u1 )H1 + H2= H2 u22 − H1 u21 + (H2 − H1 ),H2 − H12или22(u2 − u1 ) = (H2 − H1 )H1 + H2.2H1 H2(8.45)Три из пяти величин H1 , H2 , u1 , u2 и D задаются, а две оставшиесяопределяются из двух уравнений (8.44) и (8.45), при этом необходимоучитывать, что физический смысл имеют лишь устойчивые разрывныерешения (см. [17, 18], а также пп. 4.2).Пример 8.2. В случае устойчивого разрыва, соответствующего параметрамH1 > H2 > 0, u2 = 0,(8.46)134скорость u1 за скачком должна быть положительной.

Тогда из соотношения (8.45) получаем√H1 + H2u1 = (H1 − H2 )> 0,(8.47)2H1 H2поэтому√H1 H1 + H2> 0.(8.48)H22Если дно горизонтальное и кусочно-постоянная начальная функция(8.20) задана с использованием величин (8.46), (8.47), то функции{{u1 , x ≤ xb (t),H1 , x ≤ xb (t),u(x, t) =H(x, t) =(8.49)0, x > xb (t),H2 , x > xb (t),D=гдеxb (t) = x0 + Dt,(8.50)представляют обобщенное решение задачи Коши (8.1), (8.20), описывающее движение устойчивого разрыва с постоянной скоростью (8.48).Устойчивый разрыв, скорость движения которого отлична от нуля,называется в гидравлике бором.

Таким образом, функции (8.49) описывают распространение бора по покоящейся перед ним жидкости.Пример 8.3. Пусть величины u1 , H1 и D заданы такими, что√u1 > H1 > 0, D = 0.(8.51)Тогда из соотношения (8.44) следует, что H1 u1 = H2 u2 , поэтомуu2 = u1H1.H2(8.52)Учитывая это равенство, решим уравнение (8.45) относительно неизвестной H2√H12 + 8H1 u21 − H1H2 =>0(8.53)2и по формуле (8.52) найдем u2 .Если дно горизонтальное, то задача Коши (8.1), (8.20), (8.51)–(8.53)имеет обобщенное решение{{u1 , x ≤ x0 ,H1 , x ≤ x0 ,u(x, t) =H(x, t) =(8.54)u2 , x > x0 ,H2 , x > x0 ,135которое описывает «стоячий» бор.

Характеристики

Список файлов книги