1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Такие неподвижные устойчивые разрывы называются в гидравлике гидравлическими прыжками.В рассматриваемом √примере течение перед прыжком задано сверхкритическим (M1 = u1 /√ H1 > 1), а за прыжком получается докритическое течение (M2 = u2 / H2 < 1), при этом жидкость перетекает черезгидравлический прыжок слева направо, за прыжком полная глубинабольше, чем перед прыжком (H2 > H1 ), а скорость – меньше (u2 < u1 ).8.4. Распад произвольного разрыва. Как мы видели, решениев виде центрированной волны разрежения или устойчивого сильногоразрыва может получиться только при определенном соотношении между величинами H1 , H2 , u1 и u2 из начальных данных (8.20). Если жеэти величины заданы произвольным образом, то происходит распад начального разрыва (8.20) на систему волн, состоящую из центрированных волн и устойчивых сильных разрывов.
Мы не будем касаться общейтеории решения задач о распаде произвольного разрыва (см., например,[17, 18]) и ограничимся лишь одним примером.Пример 8.4. Пусть начальная функция (8.20) задана в виде:{u(x, 0) =u1 = 0,u2 = 0,x ≤ x0 ,x > x0 ,{H(x, 0) =H1 ,H2 ,x ≤ x0 ,x > x0 ,(8.55)при этомH1 > H2 .(8.56)Это означает, что в начальный момент времени жидкость покоилась,а ее уровень менялся в точке x0 скачком с бо́льшего значения на ме́ньшее.
Требуется определить течение при t > 0. Такая задача называетсяв гидравлике задачей о прорыве плотины.Поскольку u(x, 0) ≡ 0, то центрированная волна разрежения не может быть решением нашей задачи. Второе из соотношений (8.43) невыполняется, поэтому сильный разрыв также не может быть решениемзадачи. Следовательно, для рассматриваемых условий (8.55) произойдет распад начального разрыва. В данном случае, задача о распадеразрыва имеет следующее решение. Вправо, по покоящейся жидкостис низким уровнем, движется бор (рис. 29), скорость которого определяется формулой (8.48):√D=H0 H0 + H2·> 0,H22136(8.57)где H0 – полная глубина слева от бора. Скорость потока за бором определяется по формуле (8.47):√H0 + H2U0 = (H0 − H2 ),(8.58)2H0 H2при этом U0 > 0, H0 > H2 , положение бора вычисляется по формуле (8.50), а величины U0 и H0 подлежат определению.x=x1(t)u=U0H=H0u1=0H=H1t=0x=xb(t)x=x2(t)u2=0H=H2x0Рис.
29. Схема течения к задаче о распаде начального разрыва (8.55)Участок постоянного течения u = U0 , H = H0 за бором сопрягаетсяс левым участком постоянного течения u1 = 0, H = H1 посредствомволны разрежения (8.24), (8.26), движение переднего и заднего фронтовкоторой описывается уравнениями (8.22) и (8.27) соответственно:(√√ )3x1 (t) = x0 − H1 t, x2 (t) = x0 +(8.59)U0 − H1 t.2Из последнего равенства (8.28) получаем, что(√)2U0H0 =H1 −< H1 ,2(8.60)√поэтому, с учетом отмеченного выше ограничения U0 < 2 H1 , приходим к следующей связи между величинами U0 и H0 :√√U0 = 2( H1 − H0 ).(8.61)Приравнивая правые части равенств (8.58) и (8.61), получаем уравнениеf (H) = 0(8.62)137для определения полной глубины H0 за бором, где функция f заданаформулой:√√√H + H2f (H) = (H − H2 )+ 2 H − 2 H1 .2H2 HПоскольку f (H2 ) < 0, f (H1 ) > 0 и функция f (H) монотонно возрастаетна отрезке [H2 , H1 ] (f ′ (H) > 0), то уравнение (8.62) имеет единственноерешение H0 ∈ (H2 , H1 ).Найдя H0 , по формуле (8.61) вычисляем U0 и с учетом формул (8.32),(8.33), описывающих волну разрежения, приходим к следующему окончательному виду решения задачи о распаде начального разрыва (8.55):H1 ,еслиx ≤ x1 (t),)2 ( √x − x0 1, если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t), (8.63)2 H1 −H(x, t) =9tH0 ,если x2 (t) ≤ x ≤ xb (t),H2 ,еслиx > xb (t),0,x ≤ x1 (t),() еслиx − x0 2 √H1 +, если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),u(x, t) =(8.64)3tU0 ,если x2 (t) ≤ x ≤ xb (t),0,еслиx > xb (t),при этом границы x1 (t) и x2 (t) волны разрежения вычисляются по формулам (8.59), а положение бора и его скорость – по формулам (8.50)и (8.57) соответственно.
Отметим, что в данном примере решение задачи о прорыве плотины при условии H1 > H2 содержит волну разрежения, которая в гидравлике называется волной понижения.8.5. Течение над неровным дном. Мы привели несколько решений системы уравнений (8.1) в предположении, что дно является плоским и горизонтальным (G ≡ 0). Рассмотрим один пример течения наднеровным дном, но для сокращения изложения выпишем точное решение задачи лишь для установившегося течения жидкости, т. е. течения,параметры которого не зависят от времени.
В этом случае уравнения(8.1) примут следующий вид:(Hu)x = 0,(Hu2 + H 2 /2)x = Hhx .138(8.65)(8.66)Из уравнения (8.65) следует, чтоHu = const.Тогда уравнение (8.66) можно переписать как( 2)u+ (H − h)x = 0,2 xилиu2+ H − h = const.2Пусть на левой границе x = 0 отрезка [0, l] известны скорость u0и полная глубина H0 . Тогда имеют место равенстваHu = H0 u0 ,(8.67)u2u2+ H − h = 0 + H0 − h0 ,22(8.68)где h0 = h(0).С одной стороны, из равенства (8.68) получается следующая зависимость полной глубины H(x) от числа Фруда M (x):()M2H0 1 + 0 + h − h02H=M21+2илиH=H02(h − h0 )H0,2 + M22 + M02 +(8.69)где M = u/c – числоточке x, M0 = u0 /c0 – число Фруда на√ Фруда в √входе√x = 0, c = H, c0 = H0 .
С другой стороны, учитывая, чтоu0 = H0 M0 ,√(8.70)u = HM ,равенство (8.67) можно переписать в следующем видеH=H0(M0M139)2/3.(8.71)Приравнивая правые части равенств (8.69) и (8.71), получаем уравнениедля определения числа Фруда в произвольной точке x ∈ [0, l]:F (M ) ≡M02 (2()32(h(x) − h0 )2+ z) − 2 + M0 +z = 0,H03(8.72)где z = M 2 .
Найдя положительный корень z(x)√ кубического уравнения (8.72) и вычислив число Фруда M (x) =z(x), точное решениеH(x) и u(x) задачи о стационарном течении жидкости над неровнымдном находим по формулам (8.71) и (8.70).Заметим, однако, что уравнение (8.72) может и не иметь положительных корней или иметь их несколько. Это зависит от заданных навходе значений u0 и H0 , а также от функции h(x), описывающей дно.Мы не будем проводить полный анализ всех возможных ситуаций, ограничившись рассмотрением лишь одного простого примера.Пример 8.5.
Пусть l = 20, H0 = 1, h0 = 1 и дно описываетсяформулой y = −h(x), где 1, y () при x < 8,π∗1 + cos (x − 10) , при x ∈ [8, 12],1−h(x) =(8.73)221,при x > 12.Наибольшее возвышение дна в точке x∗ = 10 положим равным()31y∗ = 1 − √−≈ 0, 1800592126.332 8На рис. 30 изображено поведение функции F (M ) при фиксированном значении x = x∗ и различных значениях M0 .
Видно, что для значений M0 < 0, 5 уравнение (8.72) имеет два положительных корня, одинменьше единицы, другой – больше. Первый корень соответствует докритическому течению, второй – сверхкритическому. При M0 = 0, 5уравнение (8.72) имеет один корень M = 1. В этом случае скорость течения над возвышением становится критической.
При M0 > 0, 5 уравнение (8.72) не имеет положительных корней, что интерпретируется какневозможность стационарного течения с заданными на входе числомФруда M0 > 0, 5 и полной глубиной H0 = 1.Пусть M0 < 0, 5, т. е. на неровность дна набегает поток с докритической скоростью. Число Фруда начинает возрастать над возвышениемдна, но остается меньшим единицы для значений x < x∗ . В точке x = x∗140достигается наибольшее значение числа Фруда, причем для заданного значения M0 < 0, 5 получается значение M (x∗ ) < 1. Правее точкиx = x∗ докритический поток начинает замедляться, и число Фруда убывает вместе с ростом глубины дна.
Таким образом, в рассматриваемомслучае поток всюду является докритическим, поэтому при вычисленииточного решения по формулам (8.71), (8.70) следует использовать тоткорень уравнения (8.72), который меньше единицы. Из рис. 31, а видно, что при докритических скоростях потока полная глубина принимаетсвое минимальное значение над вершиной возвышения дна.32.04F(M)21.00.00.00.51.01.5M2.0-1.0-2.01Рис. 30. График функции F (M ) при M0 = 0.2 (1); 0.45 (2); 0.5 (3);0.55 (4)Если задано M0 = 0, 5, то над вершиной возвышения достигаетсякритическая скорость, и значение M (x∗ ) = 1.
Тогда правее вершинывозвышения жидкость продолжает разгоняться, а число Фруда – расти, принимая значения, бо́льшие единицы. Таким образом, при x > x∗течение жидкости становится сверхкритическим. В этом случае точное решение вычисляется по тем же формулам (8.71), (8.70), но с использованием при x > x∗ корня уравнения (8.72), бо́льшего единицы.В отличие от докритических течений, теперь полная глубина над неровной частью дна при x > x∗ уменьшается вместе с ростом глубины дна(рис. 31, б).
Правее неровности, там где дно является горизонтальным,полная глубина постоянна и принимает значение H∞ ≈ 0, 4215352.Отметим, что в случае M0 = 0, 5, когда над вершиной возвышениядна происходит переход от докритического течения к сверхкритическому, кроме непрерывного решения стационарной задачи может существо141вать и разрывное решение: до некоторой точки xjump > x∗ решениесовпадает с приведенным выше, а в точке x = xjump сверхкритическийпоток скачком переходит в докритический – образуется гидравлическийпрыжок с меньшей глубины H1 на бо́льшую H2 (рис. 32). В примере 8.3было показано, что если слева от гидравлического прыжка параметрыжидкости H1 > 0, u1 > 0 известны, то справа от него они определяютсяпо формулам (8.53), (8.52).ηη20.00.02-0.5-0.511-1.0051015x-1.0200510а15x20бРис. 31. Графики функций: 1 – профиль дна; 2 – профиль свободнойграницы η при числе Фруда M0 , равном 0.495 (а) и 0.5 (б)ηη0.00.022-0.5-0.51-1.00511015x-1.020а051015x20бРис.
32. Графики функций: 1 – профиль дна; 2 – профиль свободнойграницы η. а – xjump = 11; б – xjump = 11, 5142Итак, для поиска разрывного решения при значении M0 = 0, 5 поступаем так. Точное решение в точках x < x∗ = 10 вычисляется по формулам (8.71), (8.70), при этом используется корень уравнения (8.72) меньше единицы. В критической точке x∗ = 10 число Фруда M становитсяравным единице. При x > x∗ течение жидкости является сверхкритическим до гидравлического прыжка, и при вычислении точного решенияберется корень уравнения (8.72) больше единицы.
Тем самым слева отточки xjump будут известны параметры жидкости u1 и H1 . Далее поформулам (8.53), (8.52) находятся полнаяглубина H2 , скорость u2 и вы√числяется число Фруда M2 = u2 / H2 < 1 за гидравлическим прыжком. После этого рассчитываются параметры докритического теченияжидкости справа от точки xjump . Для этого при каждом x ∈ (xjump , l]вначале находится корень M < 1 уравнения (8.72), в котором вместоM0 и h0 следует подставить найденные значения M2 и h(xjump ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
