1612725465-542b3179b36a4849700e0b2ecf7da111 (828844), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для уравнений газовой динамики такого не получается: левые части уравнений(9.18)–(9.20) не представляют собой полных производных от некоторыхфункций вдоль характеристик. Однако некоторые течения газа все жеописываются уравнениями для инвариантов Римана. Это – класс изэнтропических течений [17, 18].9.3. Изэнтропические течения характеризуются тем, что энтропия S постоянна всюду в области течения. Тогда из первого началатермодинамики [17]( )1T dS = de + p dρс учетом равенства (9.4) получаем, что( )( )1p1d+pd=0γ−1ρρилиγpdρ = 0.(9.21)ρТаким образом, для изэнтропических течений выполняется равенствоdp = c2 dρ,(9.22)dp −поэтомуpt = c2 ρt ,px = c2 ρx(9.23)и уравнение (9.19) превращается в тождество, а уравнения (9.18), (9.20)принимают вид()−ρc ut + c2 ρt + λ1 −ρc ux + c2 ρx = 0,(9.24)()ρc ut + c2 ρt + λ3 ρc ux + c2 ρx = 0.(9.25)Для изэнтропических течений плотность и давление выражаютсячерез скорость звука.
В самом деле, из равенства (9.21) следует уравнениеdpdρ=γ ,pρрешением которого является функцияp = Aργ ,159(9.26)при этом постоянная A определяется из условияp0 = Aργ0 ,(9.27)где p0 , ρ0 – известные значения давления и плотности, заданные в некоторой точке потока. Следовательно,c2 =γp= γAργ−1 ,ρпоэтому(ρ=2cγA)1γ−1,ρt =2 ρct ,γ−1 cρx =2 ρcx .γ−1 c(9.28)Подставляя выражения для производных ρt , ρx в уравнения (9.24), (9.25),записываем эти уравнения в виде()()22c + λ1 u −c= 0,u−γ−1 tγ−1 x)()(22u+c + λ3 u +c= 0,γ−1 tγ−1 xилиrt + λ1 rx = 0,st + λ3 sx = 0,(9.29)2c.γ−1(9.30)гдеr =u−2c,γ−1s=u+Таким образом, величина r сохраняется на r-характеристикеdx/dt = λ1 , а s – на s-характеристике dx/dt = λ3 , т.
е. величины rи s являются инвариантами Римана. Подчеркнем еще раз, что уравнения газовой динамики нам удалось записать в виде системы уравнений (9.29) для инвариантов Римана в предположении, что течениеявляется изэнтропическим.Интересно отметить, что в случае γ = 3 инварианты Римана приобретают особенно простой вид и совпадают с λ1 и λ3 соответственно.В случае γ = 2 инварианты Римана (9.30) для течения идеального газаполностью совпадают с инвариантами Римана (8.14) для течения идеальной несжимаемой жидкости, описываемого в рамках модели мелкой воды. Такое совпадение не случайно.
Оно обусловлено тем, что для160изэнтропических течений газа с показателем адиабаты γ = 2 уравнения газовой динамики (9.1) совпадают с уравнениями теории мелкойводы (8.1) для ровного дна (G ≡ 0). В самом деле, для изэнтропического течения давление выражается через плотность по формуле (9.26),и уравнение (9.13) совпадает с уравнением неразрывности (9.11), поэтому изэнтропические течения газа описываются системой из двух уравнений, которая при γ = 2 записывается в видеρt + (ρu)x = 0,()(ρu)t + ρu2 + Aρ2 x = 0.(9.31)Сравнивая системы (8.1) и (9.31), видим, что они совпадают, приэтом в системе (8.1) роль плотности ρ играет полная глубина H,а в качестве постоянной A берется 1/2. Таким образом, можно сказать,что в случае ровного дна уравнения мелкой воды описывают течениеидеального газа с показателем адиабаты γ = 2, и для такого течениягаза разностные схемы уже построены в § 8.
В силу этого, в настоящем параграфе нам только остается обобщить эти схемы на случайнеизэнтропического течения газа с произвольным значением показателя адиабаты γ > 1.9.4. Волна разрежения. Укажем некоторые точные решения системы (9.1), которые могут оказаться полезными при тестировании численных алгоритмов. Начнем с примера изэнтропического течения,в котором два постоянных потока сопрягаются между собой через центрированную волну разрежения.Пример 9.1.
Пусть в начальный момент времени скорость газа является разрывной в некоторой точке x0{u(x, 0) =0,x ≤ x0 ,u2 > 0, x > x0(9.32)и в покоящемся газе (слева от точки x0 ) известны давление p1 и плотность ρ1 . Тогда непрерывное при t > 0 решение можно найти методомхарактеристик аналогично тому, как это делалось в примере 8.1. Отличие будет заключаться лишь в том, что равенства (8.16) примут длягаза видr+ss−ru=,c = (γ − 1),(9.33)24161а равенства (8.17) запишутся как(γ + 1)r + (3 − γ)s(3 − γ)r + (γ + 1)s,λ2 =.(9.34)44√Кроме того, теперь c1 = γp1 /ρ1 , и в волне разрежения инвариантыпринимают значения()1x − x02r(x, t) =4− (3 − γ)s1 , s(x, t) ≡ s1 =c1 .γ+1tγ−1λ1 =В результате, получаем следующее непрерывное при t > 0 решение,содержащее r-волну разрежения0,() если x ≤ x1 (t),2x − x0u(x, t) =c1 +, если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t),(9.35)γ+1tu2 ,если x ≥ x2 (t),√γp1,если x ≤ x1 (t),c=1ρ1()1x − x0c(x, t)=2c1 − (γ − 1), если x1 (t) ≤ x ≤ x2 (t), (9.36)γ+1t c2 = c1 − γ − 1 u2 ,если x ≥ x2 (t),2где()γ+1x1 (t) = x0 − c1 t, x2 (t) = x0 +u2 − c1 t.(9.37)2Плотность и давление определяются по формулам (9.28) и (9.26),в которых постоянная A находится из равенства вида (9.27)p1 = Aργ1 .Таким образом,) 2c γ−1ρ = ρ1,c1( )γρρc2p = p1=.ρ1γ((9.38)(9.39)Как и ожидалось, полученное решение (ρ, u) полностью совпадаетпри γ = 2 с решением (H, u) аналогичной задачи для уравнений мелкой162воды (ср.
формулу (9.38) с (8.32) и формулу (9.35) с (8.32)). В частности, при γ = 2 график плотности будет такой же, как изображенный нарис. 28 график полной глубины.9.5. Течения газа с сильными разрывами. В случае уравненийгазовой динамики уравнение сильного разрыва имеет в точности такойже вид (8.40), как для уравнений мелкой воды:(u2 − u1 ) D = f (u2 ) − f (u1 ) ,(9.40)где u1 и u2 значения обобщенного решения слева и справа от линии разрыва, D – скорость движения разрыва. Но теперь векторное уравнение(9.40) содержит три скалярных уравнения сильного разрыва относительно компонент векторов u и f :(ρ2 − ρ1 ) D = ρ2 u2 − ρ1 u1 ,()(ρ2 u2 − ρ1 u1 ) D =+ p2 −+ p1 ,()p2 − p1ρ2 u22 − ρ1 u21+D=γ−12γρ2 u32 − ρ1 u31=(u2 p2 − u1 p1 ) +.γ−12ρ2 u22ρ1 u21(9.41)(9.42)(9.43)Более существенным отличием от уравнений мелкой воды является возможность существования в течениях газа двух разновидностейсильного разрыва.
Пусть u1 = u2 = U , т. е. скорость не претерпеваетразрыва при переходе с одной стороны линии разрыва на другую. Еслибы плотность также была непрерывна на линии разрыва (ρ1 = ρ2 ), тоиз уравнения (9.42) следовало бы, что p2 = p1 , т. е. все параметры газабыли бы непрерывны на линии разрыва, что противоречит определению линии разрыва. Таким образом, ρ1 ̸= ρ2 . Тогда из уравнения (9.41)следует, что D = U , а из уравнения (9.43) получаем, что p1 = p2 . Итак,возможен разрыв, на котором выполняются условияu1 = u2 = D,p1 = p2 ,ρ1 ̸= ρ2 ,(9.44)т.
е. давление и скорость на нем непрерывны, а разрывной являетсятолько плотность газа, при этом скорость движения разрыва совпадает со скоростью газа. В газовой динамике такие разрывы называютсяконтактными. Уравнения мелкой воды не допускают подобного типаразрывов (см. формулу (8.43)).163Пусть теперь u1 ̸= u2 . Тогда из уравнения (9.41) следует, что ρ1 ̸= ρ2 ,поэтому скорость такого разрыва определяется формулой, аналогичной (8.44):ρ2 u2 − ρ1 u1D=,(9.45)ρ2 − ρ1из которой, в частности, вытекает, чтоu1 ̸= D,u2 ̸= D,(9.46)т.
е. газ перетекает через разрыв. В газовой динамике такой сильныйразрыв называется ударной волной. Он является аналогом бора дляуравнений мелкой воды.Подставив выражение для D в уравнение (9.42), получаем соотношение, связывающее параметры потока по разные стороны от ударнойволны:ρ2 − ρ12(u2 − u1 ) = (p2 − p1 ),(9.47)ρ1 ρ2̸ p2 . Таким образом, на удариз которого, в частности, следует, что p1 =ной волне все три параметра ρ, u и p изменяются скачком, т. е.ρ2 ̸= ρ1 ,u2 ̸= u1 ,p2 ̸= p1 .(9.48)Аналогичным свойством характеризуется и бор (см. формулу (8.43)).Выведем еще одно следствие уравнений сильного разрыва.
Из соотношений (9.41), (9.42) получаем, что2(u1 − D) =ρ2 p2 − p1·,ρ1 ρ2 − ρ12(u2 − D) =ρ1 p2 − p1·.ρ2 ρ2 − ρ1(9.49)Подставив эти выражения в соотношение (9.43), записанное в виде22(u2 − D)γp1(u1 − D)γp2+=+,(γ − 1)ρ22(γ − 1)ρ12получаем следствие уравнений сильного разрыва, в котором участвуюттолько термодинамические величины:илиp1(γ + 1)ρ1 − (γ − 1)ρ2=p2(γ + 1)ρ2 − (γ − 1)ρ1(9.50)(γ + 1)p1 + (γ − 1)p2ρ1=.ρ2(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1(9.51)164Для определения обобщенного решения, соответствующего ударнойволне, четыре из семи величин ρ1 , u1 , p1 , ρ2 , u2 , p2 , D должны бытьзаданы. Тогда три оставшиеся определяются из трех уравнений (9.41)–(9.43) или их следствий. Как и для уравнений мелкой воды, необходимо учитывать, что в газовой динамике физический смысл имеют лишьустойчивые разрывные решения [17, 18].Пример 9.2 (аналог примера 8.2).
Пусть справа от некоторой точкиx0 находится покоящийся газ с известными параметрами ρ2 , p2 , u2 = 0, адля газа слева от этой точки известно давление p1 > p2 (рис. 34). Определим остальные параметры газа так, чтобы выполнялись соотношенияна ударной волне. Плотность ρ1 слева от точки x0 найдем с помощьюравенства (9.51):(γ + 1)p1 + (γ − 1)p2ρ1 = ρ2.(9.52)(γ + 1)p2 + (γ − 1)p1Тогда ρ1 > ρ2 .
Скорость газа u1 определим, используя равенство (9.47):√ρ1 − ρ2> 0.(9.53)u1 = (p1 − p2 )ρ1 ρ2x=xs(t)ρ1 > ρ2u1>0p1>p2t=0ρ2u2=0p2x0Рис. 34. Параметры газа по разные стороны от ударной волныx = xs (t), движущейся вправо по покоящемуся газуТаким образом, если в начальный момент времени задан вектор{v 1 при x ≤ x0 ,v(x, 0) =(9.54)v 2 при x > x0 ,гдеρ1v 1 = u1 ,p1ρ2v 2 = u2 ,p2165(9.55)то вектор-функция{v(x, t) =при x ≤ xs (t) = x0 + Dt,при x > xs (t)v1v2(9.56)является обобщенным решением задачи Коши (9.1), (9.54), описывающим движение ударной волны по покоящемуся газу с постоянной скоростью D, определяемой по формуле (9.45):D=ρ1 u1.ρ1 − ρ2(9.57)Пример 9.3 (аналог примера 8.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
