1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 117
Текст из файла (страница 117)
Однако разница при вычислениях не будет, как мы.указали, слишком значительной. $92. Распространение волн в твердых телах Теория распространения слабых волн, продольных и поперечных, в твердыхтелах развитадостаточно полно. Точно также имеются многочисленные экспериментальные сведения о поведении твердых тел прн сравнительно небольших динамических и статических нагрузках. Изучение поведения твердых тел при больших нагрузках, возникающих при взрывах, начато сравнительно недавно, и в этой области наши сведения, как теорезические, так и практические, еще крайне недостаточны. Я 92) глспеостглнвнив волн в твзгдых теллх 709 Здесь мы делаем попытку развить и углубить некоторые известные результаты теории распространения сильных (нелинейных) волн в твердых телах, возникающих при больших быстро меняющихся взрывных или иных нагрузках.
В отличие от жидкости, которая после снятия любой практически достижимой нагрузки, возвращается в исходное состояние, так что лишь температура конечного состояния может несколько отличаться от температуры начального состояния, твердые тела обладают так называемой остаточной деформацией; кроме того, сама кристаллическая структура твердого тела при достаточно больших давлениях может изменяться или даже исчезнуть.
При этом остаточная деформация при растяжении обычно больше, чем при сжатии. Лаже при распространении слабых волн влияние остаточной деформации может быть значительным. Поэтому теория распространения волн в твердых телах имеет свои трудности по сравнению с теорией распространения волн в жидкостях, однако в ряде случаев малая сжимаемость твердых тел облегчает решение задачи. Известно, что при воздействии какой-либо силы, приложенной к твердому телу, например металлу, в нем возникает бегущая волна деформации (волна нагрузки); в зависимости от величины этой силы, рассчитанной на единицу поверхности, т.
е. в зависимости от приложенного давления, волна имеет различную интенсивность. При отражении волн от свободной поверхности тела или снятия (полного или частичного) нагрузки возникают новые волны — волны разгрузки. В настоящее время для решения ряда принципиальных теоретических и технических задач представляется необходимым исследовать вопрос о воздействии весьма высоких давлений на металлы или иные твердые тела, когда в этих телах возникают сильные волны, и уравнение, связывающее деформации и напряжение, не подчиняется закону Гука.
Зависимость плотности тела от давления или деформации от напряжения лишь при не очень больших давлениях (деформациях) подчиняется закону Гука. При давлениях в десятки и сотни тысяч атмосфер закон Гука уже не действителен. Лля ряда твердых тел наклон кривой о =о(з) в некоторой зоне при сжатии уменьшается. При давлениях порядка миллионов атмосфер твердое тело фактически становится квазижидким и даже газообразным и в этой области давлений р — р", где и — показатель политропы; в пределе при еще больших давлениях этот показатель стремится к значе- 5 нию и = — (рис. 246).
Если закономерности распространения слабых деформаций в пределах применения закона Гука хорошо 710 [гл. Хпг ВЗРЫВ В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ исследованы, то закономерности распространения сильных волн нагрузки и разгрузки, когда тело находится в пластическом состоянии и необходимо учитывать сжимаемость материала, из которого состоит тело, изучены недостаточно подробно н обстоятельно, При детонации бризантных взрывчатых веществ у поверхности какой-либо твердой преграды развиваются давления, способные сильно деформировать некоторый объем вещества, нз которого состоит преграда.
При этом в начальной стадии по материалу преграды пойдет сильная волна сжатия (волна нагрузки). Поскольку давление продуктов взрыва быстро падает я я г г з л д в т л В а рис. 246. Зависимость показателя политропы от давления лля твердого тела н газа (схема). со временем, по материалу преграды пойдет волна разрежения (волна разгрузки). Рассмотрим задачу об одномерном нагружении н разгруже- нин материала преграды. Основные уравнения, учитывающие изменения плотности материала преграды, как известно, в координатах Лагранжа имеют вид ди др ди до дк — + — =О и= —, дг+дв ' да дг' дг где и — скорость, р — давление, и — удельный объем, (92,1) й = ~ рос[ха = ~ р с[хз о о (92,2) (92,3) Ь вЂ” масса материала преграды' (лагранжева координата), ре и р — начальная и текущая плотность материала, кв н х — лагранжева и текущая координата, 7 — время.
Давление и удельный объем должны быть связаны соотношением (уравнением состояния): Р=р( ) 712 (гл х!о взгыв в плотных совдлх что устанавливает связь между напряжениями и деформациями при высоких (до 1О» кг/см') давлениях, действукмцих на металлические нлн «каменные» преграды. Найдем сначала обшие решения для апроксимации уравнения состояния (92,10).
Поскольку др дл до (92,14) да до дл Ал (! — «)л+ ! Введем «эффективную» скорость звука »-! "'!о — «) где о„— а о» в„= с„— ", с„= " г' (р„— ро) (о„— а), (92,16) здесь п„р„, с„в, суть начальные значения о, р, с, в. В резуль- тате уравнения (92,15) примут вид 1 Р~с~( — ) д — — О, л+! ди до (92,17) да — + ди где Р, — начальная плотность. Отсюда, исключая й, придем к уравнению, определяющему (г 2п+ 3 Решение этого уравнения в случае, когда й = „+ 1, при л = — 1, О, 1, 2,..., и общеизвестно (см. 9 25): Ф =, (Р! (У2 (2к + 1) ! + и)+ Р! ® 2 (2п + 1) 1 — и)1, (92,19) от где 1» = — эффективное теплосодержание, Р! и Рт— Д вЂ” 1 произвольные функции. Зная Г =1(!»; и) = 1(в; и), из (92,17) определяем й = =Ь(в; и), что и решает задачу о нахождении обших решений системы (92,1).
то, обрашая в уравнениях (92,1) зависимые и независимые переменные, придем к уравнениям (92,15) 9 921 . рлспрострлнение волн в твердых теллх 713 В случае п = — 1, й= — 1 г= Ре(в+и) +-Ра(в — и) И = раса (Р', (в+ и) — Рл(в — и)1 (92,20) причем в = в„" ', с,:„= — „' )'(р„— Р,) (оа — и). (92,21) а а И Отсюда легко найтн в = Ф, (й + р„с„Р) + Ф, (Ь вЂ” р„с„Р), и = Ф, (й + р„сД вЂ” Фл (й — р„с„Е), (92,22) где Ф~ и Фе — новые произвольные функпии.
В случае и =О, й =3 Р~ рл + и) + га (в — и) а ви причем и„— а (и„— а)2 и„— а в=вв „а =ся „(„а) = „, $' 3(Р» — Ро)(он — и). (92,24) и=и(л, х), в=в(а, х). (92,25) Уравнения (92,1) в координатах Эйлера имеют внд: ди ди 1 др — +и — + — — =О, дт дх р дх д1пр д1пр ди — -+и — + — =О дт дх дх (92,26) илн ди ди а+1 да — +и — = — —, дг дх ра дх ' де+ дх ( + )дх' (92,27) Аналогичные особые и обшие решения можно найти н в случае записи основных уравнений в координатах Эйлера. Укажем сначала, что переход от одних координат к другим /дх х можно легко осу1цествить, зная, что и =1 — ), откуда прн из=~де )л вестном и = и((, й), интегрируя, легко найти х = х(1, Й) н опре- делить //// 714 [гх.
х~т взвыв в плотных сгеахх При этом особыми решениями будут х = (и -+- с) г + )а (и), где с = Рг — есть скорость звука, или Гдр У дР (92,28) х = [и -+- (е + 1) ф/ — ] С + Г(и), (92,29) причем с=(в+1) 1/— Ро д/ Общие решения имеют вид (92,19); при этом и' дф дф где ф= — „[Р,()/2(2и+1)с +и)+с,(Р'2(2и+1)г' — и)1. (9231) й= — ~/ — ф$+Г(р), да= — /[/ — ~Р с~о. (92,32) Зная при и О (хе=О) закон приложения силы р=Щ или С ф(р), определим Г(р) = — ф(р)гу — —, где о=о(р). др Итак, решение примет вид а= ~ — — „[г — ф(р)], и= — Р у — — „„с[т/. (92,33) Г др Г I др Связь между х и а снова может быть найдена, исходя из соот/' дх т ношения и=[ — ) при его интегрировании при заданных на1д/ )х чальных условиях. О некоторых движениях материала нри нагружении и разгрузке.
Пусть столбик материала подвергается нагрузке; при этом по нему пойдет простая волна, описываемая особым решением основных уравнений. Сначала протяженность столбика будем считать неограниченной, далее рассмотрим конечный столбик и учтем отражение простой вол~ны от его конца. Если простая волна идет слева направо, то мы придем к решению ф 92) клспоостолнкник волн в твколых ткллх н решение (92,33) можно написать в виде и= Г кАо '(р — ро) '" +сопз(, о+1 — (Р Ро) (Г т (Р)!. А (92,35) Поскольку при р =р„где р, — начальное давление в мате- риале и=О, то.
о-1 Г г о-1 и = У кА Ц((р — р,) оо — (Р,— Р,) ~. (92,36) Рассмотрим случай приложения взрывной нагрузки, т. е. будем полагать, что к материалу преграды мгновенно прилагается нагрузка (давление), которая постепенно снимается. Из теории и экспериментов известно, что при этом с большой степенью точности можно полагать, что В Р= Р (92,37) где В =сонэ(, г= сопз(, что дает В' т(Р) =к = Р' (92,381 Отсюда решение данной задачи для очень больших давлений в среде, где „вЂ „ ( О, будет иметь вид кр (92,39) Для уравнения состояния Р— ро — — А (о — а) о+1 Р йА (о — а) (~+и ЙА(Р— Ро) (92 34) .
71б 1гл. хнг взоыв в плотных сгеалх и ПосколькУ на гРаиипе пРи и ~~О Р= — то о-1 Отсюда о-1 о-о '1 У ЙА" / й — — р,1 ' — ~р.— р,~ 1 о-~-~ (92,41) в Р=Ро= — ° , о (92,42) Очевидно, что сначала х возрастает, затем при условии, что и=О, т. е. при условии, что Р =Р„ В Ро=Ро Ро 1 или 1 ~ъ)~( ) э (92,43) и значение х начинает убывать. При 1=1, «-1 о-о х=х,= л У АА ~ ~ ~,—,— Ро) ганг — 1Рв — Ро) '" И1 — т) / ~ Го (92,44) Вычислим теперь импульс, который передается среде; очевидно, этот импульс определится соотношением !=Б~РИ= — [~ '" ч — 1 ' о1. (92,45) При 8= 8, оо г (г — По Р» Между х и 7 существует определенная зависимость. причем константа определяется из условия, что при х = О г = т, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
