1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 115
Текст из файла (страница 115)
В случае сильной волны, пренебрегая величинами р, и с„ будем иметь йл (90,16) [гл. хгт 694 взеыв в плотных стелах си зги М вЂ” =Ми — =р, сх (90,18) принимая уравнение состояния в виде р = А (рз — рз) = В (сз — с,'), (90,19) где с=~'ЗАР, В= ., (а=З), )Г27А мы (90,18) перепишем в виде М вЂ” = Ми — „= В (с' — с,'). си аи дг згх (90,20) Поскольку и=с,— с, иги= — с[с, то из (90,20) получим М ~~ =М(с,— с) — с= — В(сз сз) (9021) Интегрируя вто уравнение, будем иметь м с гс й= В сз — сз а М Г1 (с — с,) )гз = — з~ — [п, ', — )г Загс[д 1+сопз1; ЗВс~ 2 с +сс +се с+ 2с,) (рис. 242); сечение трубы равно единице.
Перед жидкостью находится тело, масса которого М. Плотность жидкости р„, давление р„, масса жидкости гп=[р,. Выберем начало координат на границе жидкость †метаем тело и будем полагать, что движение начинается в момент времени г = О. Движение жидкости определяется уравнениями. х = (и — с) ~+ ге (С), Рис. 242. Метание тела сжатой и = — (с, — с).
(90,17) 2 Согласно закону сохранения импульса на поверхности тела будет выполняться соотношение $90) нвкотоеыв вопеосы теоеии взеывь в жидкости 695 М / (с„— е) ес х= —— В с — с е з Мс„г 1 (с — с )с — уезс 1 М р сне ЗВе~~ ( 2 ее+ сс -(-с~ с+ 2с,| В с' — с,' Мс„г 1 (с — с )з у Зс = — ", ~ — 1п с ', — $~ Загс1а . ~+. ЗВсе ~ 2 ее+ сс + сс с+2с ~ М 11 (е — с.)с у3 у Зс + — ~ — )п, ', + — агс1и ЗВе ~ 2 е~+ сс +се 2 ' с+2с откуда ~З е. ~ УЗе1 с+2с, 1 ( ° 1 1 2 —," — 1 агс(и — +сопз1. (90,22) Поскольку при 1=0 х =О, и=О, с =с„то М ~ (с — с ~с с~+с„е +с~~ — уе З уе Зс, х=х(с)= — )п ' ", " ',' " +1 ~Зс, 1 Зная с=с(с), х=х(с), мы определим Р(с) =х(с)— (и — с)г(с).
Волна разрежения в жидкости будет определяться зависимостью. х — х (с) = (и — с) (1 — Е(с) ), и + с = с,. (90,25) Закон движения метаемого тела описывается соотношениями (90,23) и (90,24), где с входит как параметр. 1 В момент времени Г=т= — фронт волны разрежения дойсн дет до стенки, поставленной в сечении х = — с, и возникнет новая отраженная волна разрежения, 896 (гю хш ВВРыВ В плотных сРВдьх Эта волна будет характеризоваться уравнениями х — х = (и — с) (1 — 1), х=(и+с)1+Р(и+с). (90,26) Произвольную функцию г(п+ с) определим следующим образом. В сечении х= — 1 и= — 0 при любом 1. Поэтому Р(0+с) = — [1+(О+ с) 1[1 поскольку — (1+х)=(0 — с)(1 — 1), то 1=1+ + н Г(0+с)= — [1+(О+с)р+ ~+ )1 или Р(0+с) = — [21+х+(О+с)1[.
При этом надо иметь в виду, что теперь 1=1(с) =1(0+с). х=х(с) =х(0+с). Так как для определения 1(с) и х(с) мы имеем еще соотноше- ние и — с= — с~, то +с — ~, си+с †Л) У~ т ) ~)".) ). Таким образом, при иФО имеем т". (и+ с) = — [21+ (и+ с) 1(и+ с) + х(и+с)] (9027) и х=(и+с)1 — 21 — х — (и+с) 1. (90,28) Окончательно уравнения для отраженной волны напишем в виде х — х=(и — с)(1 — 1), ~ (90,29) х — х+21= (и+с)(1 — 1),! + где 1 = 1(и+ с). Х = х (и + с), причем с -Р Складывая н вычитая уравнения (90,29), получим: х +1 и (1 1) (90 30) 1= с(1 — 1).
При и Р 0 действительно х = — 1, что является доказательством правильности определения с(и+с). Отраженная от стеики з 90) некОтОРые ВОНРОсы теОРЕИ ВВРыВА В жнлкостн 697 волна будет распространяться направо по закону ех — =и+с. ззт Из второго уравнения (90,29) получим с(х= "+ зз(и+с)+зз(и+с)($ — з)+ +(и+с)ззг — (и+с) и. зу(и+с). (90,32) Сравнивая (90,31) и (90,32), найдем 1=У+(и+с) е — х', где производные берутся по (и+с). Из (90,32) следует, что х=) (и+с)[27 +(и+с)7 — х (з7(и+с). (90,34) (90,33) Уравнения (90,33) и (90,34) определяют в параметрическом виде фронт отраженной волны разрежения.
Решая совместно уравнения (90,23), (90,24) и (90,33), (90,34), мы определим момент времени г и координату х, когда отраженная волна догонит метаемое тело. Далее задачу можно рассматривать в обычном термодинамическом приближении, считая, что давление не зависит от расстояния, а только от времени. Другими словами, р А( з,з) где 4 (рз рз) Йи ззи l=з х М вЂ” =Ми — = А ~р — — р ). Вз' ЙХ ~ ХЗ З) (90,36) Отсюда — и'= — и +р х+2р'х — ~р — +2р'х). М з М =з =з = т=з хз А А Это решение имеет смысл пока р> р,. При р = р, р,х, =рх, А 3 ! х (90,37) (90,38) (90,39) рх=рх (90,35) (р — плотность в момент времени 7 при х=х, т. е.
у метаемого тела). Следовательно, 698 1гл. хгр ВВРыВ В плотных средах Дальше движение тела будет инерцнальным, если не учитывать внешнего сопротивления. Поскольку расширение жидкости может происходить лишь при значениях р) р,, то предельная скорость, которую может получить жидкость при свободном расширении в пустоту, не может превышать значения а =с,— с„ или в более общем случае 2 Имая = 1 (Ся Са)' (90,40) Таким образом (90,39), справедливо лишь в том случае, когда и р (и ...
что выполняется. После того как и достигнет значения и „дальнейшее расширение уже невозможно и движение будет происходить ннерциально. В отраженной от метаемого тела волне Х = Хиля = Хар и = инат = ивр, при этом р х Х Рр (90,41) Очевидно, что должно также выполняться условие рх=т. Однако из-за того, что прн г =7 плотность при различных х различна, это условие точно не выполняется. Поэтому имеет смысл Рис. 243. Система волн в жидкости, возникающих нри метании тела.
определить р именно из условия (90,41). Разница в определении р будет являться мерой точности «термодинамического» приближения. Система волн, возникающих при метании тела, показана на рис. 243. 699 6 91) система глв — жидкость — мктавмое тило $9!. Задача Лагранжа для системы газ — жидкость — метаемое тело Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть в трубе, плошадь сечения которой з = 1, в объеме 1 взрывается ВВ, масса которого и; правее находится жидкость, объем которой Х, масса р. Жидкость соприкасается с метаемым телом, массой М (рис.
244). Начало координат поместим на границе раздела ВВ— жидкость. Детонация, котоРУю бУдем считать мгновен- рис. 244. Метание тела системой газ— ной, происходит в момент жидкость. времени 1= О. Система возникающих прн этом волн, показана на рис. 245. Первая волна разрежения (отраженная), идущая по продуктам Рис. 245.
Система волн, возникающих в газе и жидкости при метаиии тела. взрыва, описывается уравнениями х=(и — с)1, и=с,— с (91,1) в интервале с,й ( х ((и — с ) 1, где 1 / 3 с. = — зг —,О. Я л)/ 7ОО [гл. х1т взныв з плотных сгвдлх Правее будет распространяться стационарная волна и=и, с=с, р=р (91,2) в интервале (и — с )1(х(и с, причем и и р определяются из уравнения 1 ии= с.
! — — ~ = с~ ' 1+ —, — 1, (913) где р, и с,— начальные плотность и скорость звука в жидкости, уравнение состояния которой определяется (90,19). По жидкости пойдет стационарная ударная волна и=и„, с=с„, (91,4) х Ударная волна в момент времени 1~ = — дойдет до метаемого тела. Скорость ударной волны и +с +с 2 поскольку ии = сгл — с„ то Р„„=сг„=и„+с, и т,=== .
(91,5) сд и+с, При отражении ударной волны от метаемого тела возникнет отраженная ударная волна, которая пойдет налево. Эта волна характеризуется уравнениями: х=(и — с)1+Ф(и — с), 1 (91,6) и+с=и +схи где Ф(и — с) находится так же, как в предыдущей задаче (см. $90). Здесь и дальше для параметров, характеризующих жидкость, мы будем везде ставить наверху черту, за исключением скорости и давления р. ! В момент времени уз== волна разрежения, идущая по сн продуктам взрыва, отразится от стенки и возникнет волна и — с= —, и+с= х+ 2г (91,7) в 911 систвмл глз — жидкость — мзтлвмоз тело то1 с В момент времени 1а= — в сечении с„ ха= — С+им>а=)~ — м — 1) > возникнет простая волна х+ 2> и — с=и„— с, и+с= а (91,8) (91,9) Волна разрежения (91,6), идущая в жидкости, в момент вре- 2г мени са= — в сечении х,=21 —, (91,10) границе раздела и возникает волна — с) 1+4(и — с), х=(и+с)1+Р(и+с), (91,11) + с) может быть найдена из очевидных условий, что раздела слева и справа скорость и давление равны приходит к х=(и причем Р(и на границе и при этом (91,12) при этом возможно и=ху(г)+ р(С) (91,13) и и = и, = сопз1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
