1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 111
Текст из файла (страница 111)
Поскольку Т® Р= ф() о (88,6) то с7Е = с„сУТ вЂ” Ф сто. (88,7) Интегрируя уравнение (88,7), будем иметь о Е Ео = с, (Т вЂ” То) — ~ Ф оЫ (88,8) где ао — постоянная интегрирования. Напомним, что в уравнении (88,1) Ф(о) характеризует упругие силы отталкивания, действующие между молекулами среды; Т)(и) дает «тепловую» компоненту давления. Силами притяжения, действуюшими между молекулами среды, мы пренебрегаем,. так как при давлениях, больших, чем внутреннее давление среды, силы отталкивания значительно превышают силы притяжения.
Внутренняя энергия среды может быть написана в виде 666 (гл. хго взоыв о плотных создлх С другой стороны, нз (88,6) и (88,1) получаем с(5 = са оа !п Т +7'(о) с(о (88,9) что после интегрирования даст 5 — ~о †..1.—,+ ~ 1)~, Т то оо В сФ ао — ~ ФаЬ (88,10) (88,11) откуда ля я яо с !и (88,12) уо оо / Фдо а Для малосжимаемой среды ЬЕ = с, Ь Т вЂ” Ф (о), (88,13) где во+о 2 и АЗ=со — — 7'(о)с(о=со! — + ( '1, (88,14) о поскольку с,Р (о! аа — Р(о! о С большой степенью точности можно положить Р (о) = "1о (о ' — ФГ ') = 4о(Р' — Ро) (88,15) тогда оа + — (» — 1+ Ро) (88,16) и уравнение нзэнтропы примет вид р= А(5) (Р— Р,). (88,17) Как показывают эксперименты, например проведенные Шехтером по изучению распространения ударных волн в воде, н расчеты Иенсена (выбирая должным образом А(Я)), при давлениях, превышающих 60000 кг/смо, й можно принять равным 3 (или несколько большим).
При этом тепловая компонента да- а 881 о Р«оп»осто«ненни эд«оных волн в плотных стел«х 667 аления имеет относительно малое значение по сравнению с величиной упругих сил давления. Другими словами, — ((1. у(») Р 1») При этом становится очевидным, что изменение энтропии в твердых и жидких телах при ударном сжатии весьма незначительно. Определим параметры ударной волны, распространяюшейся в плотной среде.
Уравнение энергии (пренебрегаем значениями Ео и ро) дает Е= 2 (»о о) (88,18) Сравнивая его с выражениями (88,8) и (88,1), получим уравнение адиабаты Гюгонио н о со~ / 6) '1о= 2 (оо — п)=со — ~Едо. (88,19) В случае Е(о)= А«('» — оо ) зависимость (88,19) можно написать в виде (оо — о) А « — «[Фо+Аоо(«1 +по ))— Р Р Ао(»»о ) ) — Ао, ~' + Аоо ( — „+ оо «) . (88,20) Отсюда для сильной волны (р-+ сс) 1-« «о+» + -« »о — о Ао « — 1 2 »-« о-« (88,21) к уравнению При л = 3, например, имеем: ( )' — 2( )' —,' — '=' (88,22) откуда Р— 2,3.
Ро что определяет значения — или —. В случае Йо = 0 приходим »о Р о Ро йбе [гл. хе взеыв в плотных сггдлх М ъ/ (Р— Ро) (иа — и) а= р Ф ри (88,23) что для сильной волны дает 2 а — к' при й = — Мв — — 1,9. 7 Для произвольной волны, учитывая, что ии (а+1)р+(а — 1)р, (88,24) и (А — 1) р+ (й+ 1) р найдем Поскольку энергия растет медленно при большом возрастании давлений, то ударную волну можно заменить обычной волной сжатия, считая энтропию постоянной, так как в этом случае значению отношения плотностей — =2,3 даже для воды будет Р Ро соответствовать давление порядка многих миллионов кг/слг (для металлов больше). Лишь при сверхбольших давлениях среда станет приобретать газовые свойства и энтропия начнет резко повышаться, однако при этом газ не будет идеальным, а вырожденным.
Теперь можно установить критерий для сильной ударной волны. В случае распространения ударной волны в атмосфере (влюбой разреженной среде) плотность среды на ее фронте приближается к своему предельному значению уже при отношении давления на фронте к начальному порядку 30 — 50. В случае распространении в плотной среде при огромных давлениях (порядка 100000 кг/см~) ударная волна отождествляется с акустической.
Очевидно, что давление на фронте волны не является критерием того, имеем ли мы сильную волну или слабую. Таким и критерием может быть величина — =М,, где и — скорость потока на фронте ударной волны, г — местная скорость звука. При М,<" 1 волна может считаться слабой; при М,) 1 — сильной. Для ударной волны, распространяюшейся в ргзреженной среде, л тб) о елспеостелнвнин тдлгных волн в плотных севхлх ббй при 1 а(А+ 1) .
Г! (А+ 1)* Ра й (й — 1) 2 М,=1. ~*-(дх) -зле- =и( т е г 1 грл(л поэтому = Г" "" "' [ -®"1=~-'(-,'.- Н -('-;)"1 (88,25) откуда даже для среды, имеющей предельное значение о, на фронте М.(уГ,„~ „ что при й=3 дает Мл~(0,52, т. е. Мл всегда значительно меньше единицы и всегда ударная волна в этой среде может быть рассмотрена в акустическом приближении. Распространение волны в плотной среде. Для бегущей ударной волны можно воспользоваться римановским решением основных уравнений газовой динамики, написанным для одномерного движения ди ди 1 др 57+и~— „+ — х-,-=0 др др ди у+и д--)-Р 5- 0 (88,28) Например, при й= — значение М,=1 достигается при 1 Р =3.
Для детонационной волны М,= —, т. е. М, всегда Ра — а меньше единицы. Дальше воспользуемся тем обстоятельством, что при отра- жении детонационной волны от твердой стенки энтропия на фронте отраженной ударной волны возрастает весьма незначи- тельно, а следовательно, эта задача рассматривается в акусти- ческом приближении. Это очевидно и из сказанного выше, поскольку число М для детонационной волны всегда меньше единицы. Для плотной среды, где справедливо уравнение изэн- тропы (88,17), 670 )гл. хгн ВВРыВ э плотных сгвллх Это решение имеет вид + (и) и = а 1 (с — со) (88.27) В некоторых случаях в среде могут возникнуть и произволь-, ные волны.
В частности, такие волны (волны двух направлений) возникают в разлетающихся продуктах детонации при их взаимодействии со средой. Эти волны, как известно, могут быть описаны общими решениями уравнений газовой динамики (см. главу Ч). Для показателя изэнтропы й = 3 общие решения, как мы уже знаем, имеют вид х=(и+с)Е+Р,(и+с), $ х=(и — с) Е+Р,(и — с). ) (88,28) Уравнения (88,26) и (88,27) являются основными в тех задачах, которые мы будем рассматривать. Пусть в точке х = 0 в момент времени 8 = 0 детонирует слева направо линейный заряд ВВ, длина которого а. Рассмоттрим два важных для практики случая: 1) левый конец заряда открыт и ничем не загружен; 2) весь процесс симметрично распространяется в обе стороны, что сводится к задаче детонации у стенки.
Система волн, возникающих в этих случаях, показана на рис. 235 и 236. В начале процесса первые два случая могут рассматриваться одновременно. Бегущая детонационная волна в случае изэитропического закона расширения продуктов детонации р= Арь = Арл (88,29) будет описываться уравнениями х=(и+с) 1, и — с= —. В (88,30) а В момент времени 1= — в точке х= а детонационная волна Е) доходит до границы раздела двух сред.
При этом возникает следующая система волн. В продуктах детонации возникают или две волны разрежения (при истечении их в воздух, воду и т. п.), или волны сжатия и разрежения, отделенные слабыми разрывами (при истечении продуктов детонации в малосжимаемые среды). Первая волна сопрягается с волной (88,28) и описывается уравнениями х=(и+с)~, х=а+(и — с)('т — Д-). (883!) яйй~ о елспеосттанвнии тдапных воли в плотных сеидах 67! Рнс.
235. Систеиа волн в плотной среде и в продуктах детона- ции (левый конец заряда открыт). Рис. 236. Система волне плотной среде (симметрпчиаа задача). 672 1гл. хв ВЗРЫВ В ПЛОТНЫХ СРВДЛХ Это следует из условия, что при 1 =— а р,(и+с)=0 и г з(и — с) = и — (и,— с) ~~. Правее начального положения границы раздела расположена вторая волна х = (и+ с) ~, х = (и — с) Е+ г'з (и — с), (88,32) которая справа отделена особым сильным разрывом от произ. вольной среды, причем Рз(и — с) в уравнении (88,32) будет определена ниже из условий совместности на границе раздела продукты детонации — среда.
Аналогичные, но более сложные зависимости имеют место 2п+ 3 для произвольного й = В произвольной среде возникает бегущая ударная волна, описываемая уравнениями (88,27): и=, (с — с,), х=(й+с)~+Р,(й) (88,33) (здесь черта над и и с обозначает, что эти величины относятся к данной произвольной среде). Очевидно, что слева и справа от границы раздела р=р, и=й= —,, (88,34) Исходя из этих условий, .определим закон движения границы раздела, а также значения р1 и рв Для продуктов детонации имеем р=лр =ВК (88,35) Для произвольной среды, для которой справедливо уравнение изэнтропы (88,17), поскольку р — с"-', имеем Р=В(с' ' — са ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
