1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 113
Текст из файла (страница 113)
а угг(с — 1 (88,64) На линии, описываемой (88,60), частица среды приобретает максимально возможную скорость и, при которой с = с„р =рс. Далее каждая частица разлетается с этой скоростью независимо одна от другой, так как происходит кавитация среды. Определим эту максимальную возможную скорость. Из сравнения (88,60) н (88,64) найдем 4с~с1(8 — с) = (хс — У) !хе+ У+ 2 (с т — а)1. (88,65) Выражение (88,65) дает зависимость между хс и с вдоль линии, на которой происходит кавитация.
Из (88,61) находим сй Зс 1 — а 1= — + —— 2сс 2 2св Подставляя полученную зависимость для ! в (88,65), находим связь между х, и и: (х,— 1) [(хс+1)+2(с,т — а)) = 4Сс 2 + 2 т 2 я + 2 2 . (88,66) Проведем некоторые вычисления. Если в момент подхода к свободной поверхности на фронте ударной волны и=и„ [тл, хгв 680 взвыв в плотных севдлх 1 — а с=с„то и,— с.= — с, н 2с,— с.= —,, откуда 2т св 1 — а. св 1 — а с= — + — ' и= — — + —, в — 2 2с ° в — 2 2, При разлете первая частица получит скорость — 1 — а и = — — с,=2и,. Установим область существования найденного решения.
Очевидно, что при а=О и с=с„ х=а+с,г. Это выражение дает закон движения заднего фронта ударной Грие» и~ ории вис,„„ а,Ух*1 Рис. 237. Система волн у свободной воверхностн жидкости. волны. Скорость движения переднего фронта дх и+с+с, х — а св Р а1 2 21 2 —:+ откуда х = а + с,1+ А 1/ 1, й 89! влспвостглнение свеввческой валеной волны в воде 661 причем константа А определяется из условия, что прн г = т «=1. Окончательно закон движения фронта ударной волны получаем в виде х = а+с,8+(1 — а — с,т) ~~ ГТ (88,67) 9 89. Распространение сферической ударной волны в воде Наиболее просто решается задача о распространении удар.
ной волны в воде, если предположить детонацию заряда мгновенной. В этом случае можно приближенно считать, что для волны разрежения, идущей по продуктам детонации, справедлива зависимость 2 и= а (с.— с). (89,() С еще большей степенью точности можно полагать, что для воды справедлива следующая связь между скоростью частиц среды и местной скоростью звука (с): и= „2 (с — а,).
Точность этой зависимости возрастает по мере увеличения расстояния от центра симметрии. Подставляя выражения (89А) и (89,2) в уравнения движения и уравнения неразрывности, получаем (89,3) (для продуктов детонации) Рис. 237 дает схематическое изображение движения всех фронтов: фронта ударной волны и фронта идущей за ней волны разрежения, фронта отраженной от свободной поверхности волны разрежения, линии движения фронта кавитации, а также траектории частиц жидкости. В металле кавитация может начаться значительно позже достижения нулевого давления', так как в нем будут действовать значительные силы сцепления между частицами, противодействующие растяжению. Разрыв начнется тогда, когда растягивающие усилия, возникающие вследствие градиента скоростей, будут превосходить силы сцепления.
682 1гл. хнг ВЗРЫВ В ПЛОТНЫХ СРВЛЛХ 2 — ! дс л — 1 )дг Са! — =О, 2 ! дс 2с(с — са) л — 1 /дг г са) + (89,4) (для ударной волны в воде). Интегрируя уравнение неразрывности и отбрасывая уравнение Эйлера, которое для цилиндрических исферических простых волн уже не совместно с уравнением неразрывности (что, однако, влечет за собой незначительную погрешность в законе сохранения количества движения), мы, принимая для продуктов детонации конденсированных взрывчатых веществ уравнение изэнтропы в виде р=А,р (й=З), (89,5) а для воды — изэнтропу в виде р=А(р' — р,') (л=З), (89,6) придем к следующим решениям (волнам) по обе стороны гра- ницы раздела: 2с — с„ —, ' г+Ф, 1г'с(са — С)]; и+с=со (89,7) со (для продуктов детонации), 2с — с, — г+Фо(гос(с — с.)]; и=с — с, (89,8) со (для воды).
Произвольная функция Ф~ определяется из условия, что прн 1= 0 г = го. При этом (89,7) перепишется в виде с и го го (89,9) га го (89,10) В случае необходимости можно воспользоваться более точными решениями: к 891 влспвостглнвние свевнческой гаваной волны в воле 683 где и — с с„— 2с — ', — 1 !и — '+2=' +Ф, 2= — 1 г 2с„ са (89,11) где а = и+ с =2с — с,. В этом случае (89,10) с учетом условия, что при 1= 0 г = гс, имеет внд 1 +1+1 + — — 1+ ф — 1 !и с„ г 2с, — — — 1 +1 — 1 +2 (89,12) Правее волны разрежения (89,9) или (89,12) должна находиться волна, отраженная от границы раздела.
Решения (89,10) и (89,11) находятся из уравнений дс да вв — Рв — +а — + =0,~ дС дг 2г (89,13) в которых принимается или 8= и — с=с, — 2с и а =ив =сопз1 или а =и+ с =2с — с, и р = йв =сопз1. Согласно гипотезе А. йс Булгаковой и Н. И. Поляковой волну, отраженную от границы раздела, можно апроксимировать как стационарчую, т. е. описываемую уравнениями вв св А 2 + = —, 2ис "-' = —,, (89,14) В случае й=3 эти уравнения принимают вид ив+с'= А, 2ис= —, В откуда (89,15) ~=$/ А — —, а = )Г А + —, (89,16) Для того чтобы определить произвольные функции Ф, в (89,8) или в 18911), надо знать закон движения границы раздела. 684 (гл. хш ВВРыВ В плотных сРедлх Как показывают вычисления, скорость движения границы раздела сферической волны, как и следовало ожидать, падает быстрее, чем в случае плоской волны, В случае детонации газовых смесей начальные давления на фронте ударной волны будут невелики, и жидкость можно считать несжимаемой.
При детонации конденсированных взрывчатых веществ в случае сферического взрыва на расстоянии около 2гз давление в продуктах взрыва на фронте ударной волны значительно упадет, и при дальнейшем развитии процесса жидкость можно будет считать также несжимаемой. Существенно отметить, что в рассматриваемом (акустическом) приближении для сжимаемой жидкости, в случае сферической волны, мы имеем право использовать соотношение (89,17) При и=3, используя соотношение с =си+иг„, получаем 0г„= с =и,„+с,.
(89,18) При произвольном л 1Р— — л+1 — 3 — л — — л+1 ОР~ э (игл+с+си) 2( — 1) с 2(п — 1) с~ = с + 4 игл. (89,19) Для того чтобы определить закон движения фронта ударной волны, необходимо вычислить произвольную функцию Ф. Закон движения фронта сферической ударной волны будет отличаться от закона движения фронта плоской ударной волны тем, что скорость фронта будет быстрее убывать с расстоянием; поэтому для равных промежутков времени длина сферической ударной волны будет меньше длины плоской ударной волны. Приближенно можно положить, что, начиная с небольших расстояний от места взрыва (прн г = г~ ) 2гз), закон движения фронта сферической ударной волны определяется зависимостью йг п + 1 — л + 1 г1и~ — г~и1 Ог,= — =с,+.— и „=с,+ — '=с, + — ', (89,20) й1 4 4 г г где иг, при и = 3 определяется известным акустическим соотношением (89,21) причем и1 — значение скорости и,„ при г= гь Из (89,20) видно, что с расстояния порядка (8 †: 12)гз скорость фронта ударной волны становится практически равной начальной скорости звука, так как и1 по порядку величины 4 89] Рлспеостганвиив севгнческой Рдлгноя волны в воде 685 равна с,, что непосредственно следует из экспериментальных данных.
Из соотношения (89,20) и уравнения изэнтропы следует, что зависимость давления на фронте волны от расстояния может быть выражена формулой Рта Ра/ Ра 1 а (Рта — Ра) (Уа — 'Рта) = ~! — — ) = Пта = Ра РТА '1 (89,22) Отсюда на малых расстояниях от места взрыва, где жидкость еще сжимаема, или '1 (89,23) На больших расстояниях, где жидкость практически несжимаема, или, точнее, ее сжимаемость подчиняется линейному закону аар = к АР" 'аар, (89,24) давление будет зависеть от расстояния: (89,25) т. е.
будет иметь место акустическая формула. Совершенно аналогичные выводы можно сделать и для цилиндрического взрыва. Более сложным является изучение процесса расширения в жидкости продуктов реальной детонации. Однако так же, как и для нх распространения в воздухе уже на малых расстояниях от места взрыва (порядка (3-+- 5)г,) поле взрыва приближается к полю в случае мгновенной детонации.
Решим задачу о расширении сферы продуктов детонации, считая, что процесс расширения с некоторого расстояния г, ж 2га будет эквивалентен процессу расширения идеального 686 (гл. хш взгыв в плотных средах газа в несжимаемой среде. Здесь и далее, согласно Власову, примем приближенно для продуктов детонации (89,26) где 5 ' р' р"'1 г1) ' р" 8 и допускают следующее общее решение: '=лр)' р — т (Р) д.т Уз (89,28) где 1'(1) и у(Р) — произвольные функции времени, причем сболь- шой точностью можно принять, что у(1) = р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
