1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 112
Текст из файла (страница 112)
(88,36) Отсюда на границе раздела РВ ЗЛ (чс)' = с — с, где =4 вв 88) о распространении рдленых волн в плотных среллк 673 Из уравнений (88,34), (88,32) и (88,33) следует, что х — — л — 1 . С= — — Х, С=Св+ 2 Х, где вх х=и=— и'2' ' откуда ч'( — — х) = ~си+ х) — св . (88,37) Мы получили дифференциальное уравнение, определяюшее закон движения границы раздела двух сред. Очевидно, что начальными условиями являются по-преж- нему а — х=а; 0' при этом — = 73 = ив+ св.
х Таким образом, 22 22 ч' (Π— и,)' = (св+ ' и,) — св, (88,38) что определяет начальное значение и, скорости границы раздела. Начальное значение давления определяем формулой где н с = — Р 3 в 4 Р202 Р = х = х (Р), и = и (Е). Ъ Для продуктов детонации можно вычислить С=Р2(и — с), х=х,(и — с), где индекс 2 относится к волне (разрежения или сжатия), идущей по продуктам детонации от границы раздела. Переменные х, и Р2, а также с2 есть функции (и — с), что определяет С2 в уравнении (88,32). 43 Физика взрыва являются значениями р и с на фронте детонационной волны, рв — начальная плотность ВВ. Решая уравнение (88,38), для границы раздела можно опре- делить 674 (гл. х~ч ВЗРЫВ В ПЛОТНЫХ СРЕЛАХ Определение гд(и — с) приводит к результату х — х =и — с.
(88,39) Для произвольной среды можно вычислить д = С, (и), х = хд (и)г Эти функции определяют Р~(и) в уравнении (88,27). В результате получим х' =и+с. (88,40) Остается определить закон движения фронта ударной волны, возникающей в произвольной среде. В рассматриваемом (акустическом) приближении, учитывая уравнения (88,32), будем иметь Их 1 — — — — В+1 —  — 3 Рдд — „= 2 (и+с+иВ+сВ)= 21 1)с+ 2(В 1 с„, (8841) что дает Вх сд 1 х — хд Р,„= — = — +— «1 2 2 (88,43) Решая это уравнение, определяем Ф(х; 8) =О, (88,44) т. е. закон движения фронта ударной волны.
В случае открытого левого конца заряда (истечение продук. тов детонации в пустоту или воздух) найденные решения практически будут иметь место при любых й В случае детонации у стенки волна разрежения (88,31), образующаяся в момент 3 а 3 времени 1=- —, в точке х = 4 а (при Й = 3 для продуктов детонации), дойдет до точки слабого разрыва в самой детонационной волне, поскольку в этом случае решение уравнения (88,27) х 0 3 а определяется лишь на интервале — > —, .
Значение 1= —— 2 2 О определяется из условия, что в точке слабого разрыва и=О и О 2 ' где и,— скорость среды перед фронтом ударной волны, обычно равная нулю, х — координата фронта ударной волны. Из уравнений (88,40) и (88,4!) имеем — 2 — х — хд  — 1 с=„с,+ (88,42) 88) О РАСПРОСТРАНЕННН УДАРНЫХ ВОЛН В ПЛОТНЫХ СРЕДАХ 675 Х А1 Прн — ( — возникает новая волна (римановская), идущая к стенке и описываемая уравнениями (см. главу Ч) Х вЂ” И= (И вЂ” С)(8 — — ); И+С= —. а '1 0 (88,45) Эта волна догонит точку слабого разрыва между волнами (88,35) и (88,32), после чего вновь образованная волна, распространяясь в обе стороны, догонит границу раздела двух сред и изменит параметры ударной волны.
За Далее, при (= — (это следует из выражения (88,45), если () А) положить, что 'у стенки при х=О и=О и с = ~ ), произойдет отражение волны (88,45) от стенки, что приведет к образованию новых и новых волн при встречах различных точек слабых и сильных разрывов. Рассмотрим конкретные случаи. Положим для произвольной среды Н=З; тогда основная формула (88,37) примет вид: Ч'( — — х) =(с, +х)' — со, (88,46) ПРИЧЕМ И = С вЂ” Со.
х ПолагаЯ вЂ” = А), опРеделим хо — — ио в момент УдаРа детона. ционной волны о вторую среду. Уравнение (88,37) допускает аналитическое решение. Поскольку х = и1+ — [(й+ с,)' — со[, (88,47) то, дифференцируя уравнение (88,47) по 1 и затем интегрируя, получим 1 + )" ( [(й+ со)о — со[' = сопз(, [(и+ оо)з оо) а что дает 1= 1о о (и -(- о) ооо о и + оо — [(и + со) — со[1 1 — Х оо со — 1111Е— о о оо У'Г Х а ("+НУ- [( о+Во) — оГ (88,48) а го опРеделЯетсЯ из УсловнЯ, что пРи к=а и=по, 1= —, ФОР- мулы (88,42) н (88,48) дают решение задачи в параметрической 676 [ГЛ. К>Ч ВВРыВ В плотнык срвдох форме. Исключая из них и, можно найти закон движения границы раздела.
Если рассматривать первую схему, т. е. истечение налево, ! в пустоту, то при 1 — «оо и-«О. В окрестностях точки — = 0 имеем 1 (и+ с)в — св 1 в — а>см —" о (88,49) при этом 1 ~ 1[ где Хо = Сосо. Отсюда, поскольку хо — — со!, получим (88,52) — = х= 3[с в+ Чв — ~ Интегрируя это выражение, находим, что х' [21(в ~ +8сч = а'[2>[101+Зев]. — аа Вычисления дают для в[~=0,1, со = ~ (88,53) ! — р= 1 — — 106 ио 2 — = — = 0,22 1:р 9 — = 1,12, Ро Ра (что приблизительно соответствует случаю распространения волны в алюминии). Аналогичные вычисления по точным формулам для случая — 0 в[' = 1>О; со — — 5 — ассм— л = — а сова 'с в в вр ч Из (88,51) следует„что при 1-+со х,р стремится к положительной константе, а это означает, что граница раздела перемешается на конечное расстояние. Решим задачу для случая, когда >! мало. Как это следует из (88,46), х также мало; (88,46) при этом дает >гх св в яв х» 88) О РлспеостРАненнн УЛАРных ВОлн В плотных с»зллх 877 (это приблизительно соответствует случаю распространения ударной волны в воде) приводят к результатам — "=2,5.
в — =0,4, — =0,51, Рабочими формулами являются (88,47) и (88,48) и для приближенных решений (88,53). Пользуясь ими, мы определяем и,~ хпр — после чего из обычных формул определяем се и ры 0" ' а «Кавитация» плотной среды у свободной поверхности. Когда какая-либо плотная среда, расширение которой' описывается уравнением р= АЬ' — 4 движется таким образом, что головные ее части имеют большую скорость и давление, чем тыловые, то прн ее расширении возможны явления, аналогичные кавитации, т.
е. может произойти разрыв среды. Поскольку различные части среды при расширении движутся с различными скоростями, то происходит интенсивное растяжение среды. В случае жидкости это приведет к распаду на ряд отдельных капель. В случае твердого (металлического) тела кавитация может развиться только при достаточно большом градиенте скорости.
Рассмотрим сначала кавитацию в какой-либо жидкости. Из (88,27) следует, что с большой достоверностью можно ожидать следующего распределения скоростей в среде и скоростей звука в ударной волне, подходящей к свободной поверхности жидкости: и+с=, и — с= — с, для й=3, (88,55) х — а х — Г и+с=; и — с= (88,56) где ) — координата свободной поверхности, т — время подхода к ней ударной волны, где и — скорость среды, с — местная скорость звука в среде, с — скорость звука в невозмущенной среде, а — константа, определяющая протяженность ударной волны. Главный интерес для нас представляет качественное решение задачи о кавитацин. Возникающая при подходе ударной волны к свободной поверхности жидкости волна разрежения, как это следует из уравнений (88,28) и (88,40), характеризуется соотношениями (гл.
хш взвыв в плотных сеедлх 678 Фронт волны разрежения, как это вытекает из уравнений (88,55) и (88,56), будет двигаться по закону х — с = — с,(й — с). (88,57) Координата х =х, при которой с = — с„определится из соот. ношений (88,56): При этом — 1/х — а х — 11 х — а 21. с +с — с/ (88,58) (88,59) Решая эти уравнения, находим а х=) — — — (г — с)+2с,— (~ — с) с (88,60) — закон движения фронта начала кавитации. Скорость на фронте кавитации равна 1 — а с и= — — Зс, +2с,—. (88,6'1) Для дальнейших вычислений перейдем к координатам Лассх гранжа, для чего положим и = — и определим связь между х и хв (хв — лагранжева координата). Для исходной ударной волны ах х — а с, (88,62) Интегрируя (88,62), найдем х = а — с,1+ Ау'с . откуда Г с х = а — с,с+ с, Ус с — (х, — а)~/ —,.
(88,63) Для волны разрежения аналогично будем иметь Для определения константы А положим х =хе в момент вре. мени т, соответствующий приходу ударной волны к свободной поверхности. Тогда А=с,к'с + а 881 о елспеостслнении тдлсных волн л плотнчх сееллх ать Интегрирование дает х = — г — — (1 — т) + А1 3I ~(г — т). а Константа А1 определяется из условия Гг х= ! — с, (с — т) = а+(хс — а)у — +с,У ст — с,~, х, = ! ф~ — ' + (а — с,С) (1 — ~/ — '), что дает Х с= дат Отсюда А, = —, Ух', — 1'+ 2(х, — !) (с,т — а) 1 н х= —,Ю вЂ” —,(г — )+, У(хс — !)!Хс+!+2(с, — а)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
