1612727554-7422b28b59adffe5b22446310d759047 (828458), страница 119
Текст из файла (страница 119)
Соотношение (93,8) является следствием закона сохранения массы. Из этого соотношения, поскольку расширение продуктов взрыва изэнтропично, для давления на границе раздела получим (93,9) Рвв~~ где р, = а — начальное давление продуктов детонации, Р— скорость детонацнонной волны.
Допуская далее, что грунт после ликвидации его порястости несжямаем, мы сумеем непосредственно проинтегрировать 46 Физика азрыва где рр — давление в продуктах взрыва, р~ †давлен в грунте, из — скорость в продуктах взрыва, и~ — скорость в грунте. На фронте ударной волны, которую вблизи от источника взрыва можно считать сильной и пренебречь поэтому р, по сравнению с давлением ргх, будут выполняться следующие условия: 722 [гл. хзт взрыв в плотных средзх систему уравнений (93,5). Решение имеет вид пгз = р'(Ф), р — т00 У У' (93,10) Общее решение (93,10) зависит от двух произвольных функций )(з) и у(з); эти произвольные функции могут быть определены нз условий на границе раздела (93,6) н на фронте ударной волны (93,7).
йг Поскольку на границе раздела и = — =г, то, преобразуя решение (93,10) и учитывая, что 1=гзг, р=.гзг+2ггз, будем иметь р — т - 3 йи 3 — =гг+ — гз= ги — + — из. ро Подставляя значение давления на границе раздела из (%,9), мы окончательно придем к следующему уравнению, определяющему закон движения границы раздела: йиз из 2рз ! го 1 зз+' 2~р го (93,12) йг г рго г рого г Это уравнение можно было бы проинтегрировать, если бы нам был известен вид произвольной функции у = р(з); однако можно заранее утверждать, что поскольку процесс сжатия грунта, связанный с ликвидацией его пористости, является необратимым, то с течением времени или с увеличением расстояния, проходимого границей раздела, эта функция убывает н в пределе (при г-+со) стремится к нулю. Напишем решение уравнения (93,12) в виде го 3 2 р„зго~ 2 го — зз з из=А —— — — — —,— 1 р(Р)г'дг; (93,13) гз 3(й — 1) ро г / Зр„г константа А определяется из условия г = го, и = и„ (и„ вЂ” начальная скорость движения грунта).
Анализ этого решения . показывает, что при достаточно быстром убывании функции р(р) скорость границы раздела и стремится к нулю лишь при г-+со. Более точное решение задачи с одновременным использованием обоих граничных условий, позволяющих дать совместное определение функций р(з) и )(з), не имеет 'смысла.
поскольку на больших расстояниях от места взрыва, как мы указывали, значительная часть энергии взрыва необратимо теряется на нагрев % 93! элементы теоеия взгывл з гггяте 723 (93,14) "г 3(а — 1) Ро г Отсюда определяем 1а<а-и а а а 2 р а 1 /го1 у' = и,гог+ 31а 11 р, ~ ~ ° ( где г=)/ 3 ) у(1)И, что после исключения г н решения уравнения дает вид функции 7(Р). Далее определяем давления и скорости в зоне ударной волны, распространяющейся в грунте: р у уа у и= —. Ро г 2га га Поскольку на фронте ударной волны Ргд Ро 1 — а (93,17) и, кроме того, Ю ига — (1 — а) Огд, Е)ад = щ ~ то на основании (93,16) будем иметь при г=)т — — 2, =(' — ")Ь) ° ~И (1 — и) — = — . оа га ' (93,18) (93,19) н деформацию частиц грунта и основное уравнение, а именно уравнение, определяющее закон сохранения импульса, перестает быть справедливым, поскольку мы в нем не учитываем соответствующие диссипативные силы.
Продолжим решение задачи при сделанных выше допущениях. Определим закон движения фронта ударной волны. Для втой цели, прежде всего, полагая просто, что 4а(Р) = О, определим вид произвольной функции 1(г). Допущение о том, что ф(8) = О, достаточно справедливо, поскольку эта произвольная функция мала, по сравнению с давлением вблизи от источника взрыва, и резко убывает с увеличением расстояния. о'г Так как и = — „, то Зу(Р) ауР = йгз.
Из (93,13) имеем при р(Р) = 0 124 [гл. хш взвыв в плотных сеедах Несоответствие в виде обоих уравнений объясняется тем, что мы пренебрегли р(Р). Эти уравнения и определяют закон движения фронта ударной волны. Решение любого из этих уравнений может быть произведено численно. Прежде чем заняться анализом полученных результатов„ рассмотрим влияние диссипативных сил, приводящих к необратимым потерям энергии. Будем предполагать, что величина необратимо теряющейся энергии для единицы массы вещества, из которого состоит грунт, пропорциональна плотности энергии в данной точке среды, т.
е. будем полагать, что (93,20) где е — есть плотность энергии на единицу массы грунта, $ — коэффициент пропорциональности. При этом закон сохранения энергии можно написать в виде Е= Ео — $~о4ет'Розг, о (93,21) причем 4 о ° ог Ро з Таким образом — =3$ —, что дает Е ( го)м (93,22) 2 о и'= —, А„ го Здесь Е в основном определяет энергию движения среды, поскольку при адиабатическом процессе внутренней энергией малосжимаемого грунта можно пренебречь.
Очевидно, что при данном законе потери энергии кинетическая энергия с увеличением массы движущегося грунта будет убывать. Для окончательного решения задачи о движении грунта сделаем еще одно упрощение, которое, однако, почти не скажется иа точности получаемого результата, а именно, напишем выражение для скорости границы раздела в виде 4 931 725 элементы теОРии ВВРыВА в гетите где 2 .Ао = ив+ з( — 11 р,' (93,23) откуда 1 ТТ и=В— Г1 (93,24) где ! В= гои,т При этом, как нетрудно видеть, закон движения границы раздела будет определяться соотношением — 2 l з г=)l ~ Вг +сопз1, (93,25) где постоянная определяется из условия, что при г гВ г = т.
Закон движения фронта ударной волны определяется соотношением 77 = )l — — Р+сопз1. (93,26) Здесь постоянная определяется из условия, что при 1т = гВ 1=В. Используя (92,25), найдем 77 = — + го(1 — — ) ° (93 27) С другой стороны, 4 1 й~ 1 Г ' РЗ 1ГГ Г к 2Р~ ' откуда тт 'Вг + сопз1. (93,28) Зависимость (93,27) мы получаем, исходя из формулы, определяющей скорость среды, а (92,28) — из формулы, определяющей давление; неувязка между этими двумя выражениями, как мы и предположили выше, незначительна, что дает возможность полагать р(1) = О. т. е.
пренебрежем в Легко убедиться времени 7(1) может 1Г выражении (93,15) величиной ~ — ') г в том, что при этом произвольная функция быть записана как 1 ( ) В1 726 (гл. хш взгыв в плотных сгвдлх Учтем теперь то обстоятельство, что на значительных расстояниях от места взрыва фронт волны сжатия будет распространяться со скоростью звука в данной среде. Скорость распространения волны сжатия можно записать в виде "гл ~И~ П„= +с,= —, 1 — а Л1 где 1 15 и = —, и является более точным, чем соответствующее выражение в формуле (93,3), где мы не учитывали упругих свойств среды.. При этом закон движения фронта волны сжатия будет приближенно выражаться соотношением Й= ~/ — — Р +с,1+сопз1.
(93,30) Существенно отметить, что длина ударной волны или волны сжатия иа больших расстояниях от места взрыва значительно возрастает с расстоянием. Под длиной волны следует понимать интервал между фронтом волны и границей раздела между волной и продуктами взрыва. Длина волны г ог Л=й — г=(г — го)~ф/ — 1~+с,(1 — т). (93,31) Заметим теперь, что движение ударной волны при сделанном приближении имеет автомодельный (самоподобный) характер; закон движений фронта волны вблизи источника взрыва в точности соответствует закону движения фронта сильной воздушной ударной волны при точечном источнике взрыва, теория которого была в свое время развита Л.
И. Седовым и К. П. Станюковичем. Найденные нами зависимости для скорости н давления окончательно можно представить следующим образом: о 4 о вР р вг' воР (93,32) 5 г о Эти зависимости можно легко интерпретировать физически. В самом деле, пренебрегая адиабатическим сжатием грунта, уже потерявшего свою пористость, можно считать, что вся энергия взрыва расходуется на сообщение грунту кинетической энергии и на его необратимые деформации. Пренебрегая пока потерямн энергии на необратимые деформации, на основании 728 (гл. хш ВЭРыВ В плотных сРВЛАх Поскольку ет = а( (г — г9) +с3 (3 — т) + г = (а( + 1) г + с, 1, ВО Р .,=ф,'.
— 1, то (93,40) Это отношение уменьшается по мере увеличения расстояния от места взрыва. Соотношением (93,37) можно пользоваться лишь при условии достаточно полного расширения продуктов детонации, когда остаточная энергия продуктов взрыва мала по сравнению с начальной энергией, а это будет соответствовать расстояниям большим, чем 8 †начальных радиусов заряда. При меньших расстояниях энергия, переданная движущемуся грунту, определяется соотношением  — ! 1 Е, Е,[1 — (=) ~=Е,[( — (~) ). (93411 При этом количество движения самих продуктов детонации 1= 4~/2М Е( —",) . (93,42( 4 где Мвз= — яр г,'— масса заряда ВВ, Ее = МввЯЯ вЂ” энергия единицы массы ВВ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
