1611690520-2537aa0f719c889b2aeb7ff778509dd3 (826919), страница 46
Текст из файла (страница 46)
27У. Н рачиесаамжй случай (полос«ение Н). Рад 269, Нормальное расположение спаси«« (положение 1). Познакомим читателя с начатками теории этой игры. В полном виде она очень сложна и тесно примыкает к одному нз отделов высшей алгебры («теории определителей»). Мы Премия в 1000 долларов, предложенная за первое правильное решение этой задачи, никем не была заслужена, хотя все без устали решали эту задачу. Рассказы.„,али забавные истории о торговцах, забывавших из-за этого отйрывать свои магазины, о почтенных чиновниках, целые ночи напролет просгаивавшнх под уличным фонарем, отыскивая путь к решеннв. Никто,не желал отказаться от поисков решения, так как все чувствовали уверенность в ожида~ошем нх успехе.
Штурманы, говорят, из-за игры сажали на мель свои суда, машинисты проводили поезда мимо станций, фермеры забрасывали свои плуги». ограничимся лишь некоторыми соображениями, изложенными В. Лренсом. «Задача игры состоит обыкновенно в том, чтобы посредством последовательных передвижений, допускаемых наличием свободного поля, перевести любое начальное расположение 15 шашек в нормальное, то есть в такое, при котором шашки идут в порядке своих чисел: в верхнем левом углу 1, направо 2, затем 3, потом в верхнем правом углу 4; в следующем ряду слева направо: 5, 6, 7, 8 и т. д.
Такое нормалыюе конечное расположенве мы даем здесь на рис. 269. Вообразите теперь расположение, при котором 15 шашек размещены в пестром беспорядке. Рядом передвижений всегда можно привести шашку ! на место, занимаемое ею на рисунке. Точно так же возможно, не трогая шашки 1, привести шашку 2 на соседнее место вправо. Затем, не трогая шашек 1 и 2, можно поместить шашки 3 и 4 на их нормальные места; если они случайно не находятся в двух последних вертикальных рядах, то легко привести их в эту область и затем рядом передвижений достичь желаемого результата. Теперь верхняя строка 1, 2, 3, 4 приведена в порядок, и при дальнейших манипуляциях с шашками мы трогать этого ряда не будем.
Таким же путем стираемся мы привести в порядок и вторую строку: 5, 6, 7, 8; легко убедиться, что это всегда достижимо. Далее, на пространстве двух последних рядов необходимо привести в нормальное положение шашки 9 и 13; это тоже всегда возможно. Из всех приведенных в порядок шашек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 в дальнейшем ии одной не перемещают; остается небольшой участок в шесть полей, в котором одно свободно, а пять остальных запяты шашками 1О, 11, 12, 14, 15 в произвольном порядке.
В пределах этого шестнместного участка всегда можно привести на нормальные места шашки !О„ 11, 12. Когда это достигнуто, то в последнем ряду шашки 14 и !5 окажузся размещенными либо в нормальном порядке, либо в обратном !рис. 270).
Таким путем, который читатели ле~ко могут проверить на деле, мы приходим к следующему результату. Любое на чальное положение может быть приведено к расположению либо рис. 269, положение 7, либо рис. 270, положение П. Если некоторое расположение, которое для краткости обозначим буквой 5, может быть преобразовано в положение 1, то, очевидно, возможно и обратное — перевести положение l в положение 5. Ведь все ходы шашек обратимы если, например, в схеме ! мы можем шашку 12 поместить па свободное 370 поле, то можно ход этот тотчас взять обратно противоположными движениями. Итак, мы имеем две серии расположений таких, что положения одной серии могут быть переведены в нормальное !, а другой серии — в положение П.
И, наоборот, из нормального расположения можно получить любое положение первой серии, а из расположения П вЂ” любое положение второй серии. Наконец, два любых расположения, принадлежащих к одной и той же серии, могут быть переводимы друг в друга. Нельзя ли идти дальше и объединить эти два расположения — ! и П? Можно строго доказать (не станем входить в подробности), что положения эти не превращаются одно и другое никаким числом ходов. Поэтому все огромное число размещений шашек распадается на две разобщенные серии: 1) на те, которые могут быть переведены в нормальное /— э!о положения разрешимые: 2) на те, которые могут быть переведены в положение П н, следовательно, нн при каких обстоятельствах не перевалятся в нормальное расположение, — это положения, за разрешение которых назначались огромные премии.
Как узнать, принадлежит ли заданное расположение к первой или ко второй серии? Пример разъяснит это. Рассмотрим расположение, представленное на рис 271. Первый ряд шашек в порядке, как и второй„за исключением последней шашки (9). Эта шашка занимает место, которое в нормальном расположении принадлежит 8. Шашка 9 стоит, значит, р а н е е шашки 8: такое упреждение нормального порядка называют «беспорядок». О шашке 9 мы скажем: здесь имеет место один беспорядок. Рассматривая дальнейшие шашки, обнаруживаем упреждение для шашки 14; она поставлена на три места (шашек !2, 13, !1» ранее своего нормального положения: здесь у нас трв беспорядка (14 ранее !2, 14 ранее 13, 14 ранее 11).
Всего мы насчитали уже 1 + 3 = 4 беспорядка. Далее, шашка 12 помещена ранее шашки 11, и точно так же шашка 13 ранее шашки 11. Это дает еще два беспорядка. Итого имеем шесть беспорядков. Подобным образом для каждого расположения устанавливают общее число беспорядков, освободив предварительно последнее место в правом нижнем углу.
Если общее число беспорядков, как в рассмотренном случае, четное, то заданное расположение может быть приведено к нормальному конечному; другими словами, оно принадлежит к разрешимым. Если же число беспорядков н еч ет н о е„то расположение ь к неразрешимым (нуль исло их).
зту игру математикой, увлечении сейчас соверла исчерпываюшую теони одного сомнительноаких-либо случайностей, х, а от чисто математичес безусловной достовер- приналлежит ко второй серии, то ест беспорялков принимается за четное ч Благодаря ясности, внесенной в прежняя лихорадочная страстность в шенио немыслима. Математика созда рюо игры, — теорию, не оставляюшую го пункта. Исход игры зависит не от к не от находчивости, как в яругнх игра ских факторов, предопределяюших его ностыо». Обратимся теперь к головоломкам Вот несколько р а з р е ш и и ы х за ретателем игры Лойпом. в атой области. дач, придуманных изоб- ча го на рис. 270, привести бодным полем в левом Первая зада Ис шашки верхне ходя из расположе в правильный по м углу (рис.
272). ния, показанно рядок, но со сво Рис. 272. Вторая залача Рис 273. Исхоля из расположения рис. 270, поверните коробку на четверть оборота вправо и перелвигайтс шашки до тех пор, пока они не примут расположения рис. 273, Т р е т ь я з а д а ч а (рнс, 270), Передвигая шашки согласно правилам игры, превратите коробку в магический квадрат, а именно: разместите шашки так, чтобы сумма чисел была во всех направлениях равна 30, „Игра в 11" В эту игру играют двое. Кладут на стол 11 спичек (или семечек и т. и.). Первый игрок берет из них одну„две или три спички, сколько пожелает. Затем второй берет тоже одну, две или три спички, по своему желанию.
Потом опять берет первый н т. д. Брать больше трех спичек сразу нельзя. Кто возьмет последнюю спичку, тот проигрывает. Как вы должны играть, чтобы наверное выиграть? „Игра в 1б" Это не та «игра в !5», которая состоит в передвижении квадратных перенумерованных шашек в небольшой коробке. Предлагаемая игра иного рода и больше похожа на общеизвестную игру в нули и единицы. Играют двое, по очереди. Первый партнер пишет какую-нибудь цифру, от 1 до 9, в одной из клеток изображенной здесь решетки. Второй пишет другую цифру, выбирая квадратик так, чтобы первый игрок очередным ходом не мог закончить ряда из трех цифр (ряд может быть поперечный илн диагональный), сумма которых равна 15.
Выигрывает тот, который заканчивает своим ходом ряд с суммой 15 или же заполняет последнюю клетку всей решетки Как вы думаете: существует лн способ наверняка выиграть в эту игру? ,Игра в 32" Играют вдвоем. Кладут на стол 32 спички. Тот, кто начинает играть. берет себе одну, две, три или четыре спички. Затем и другой берет себе сколько хочет спичек, но тоже не бо- 373 у, тот и вынгпытна тем, что если только '..'1!~~ но брать. ь, чтобы вынг- То же, но наоборот рет последн1ою ет.
выиграть? „Игра в 27" ведет играю ец игр игры ожет чем нее четырех. Потом опять первый берет не свыше чек. И так далее. Кто возьмет последнюю спнчк рвет. Игра очень проста, как видите. Но она любо тот, кто начинает игру, всегда может выигратгь правильно рассчитает, сколько спичек ему нуж Можете ли вы указать, как должен он нграт рать? «Игру в 32» можно видоизменить: тот, кто бе спичку, не выигрывает, а, наоборот, проигрыва Как следует здесь играть, чтобы наверняка Эта игра похожа на предыдущие.
Она также ду двумя партнерами и тоже состоит в том, что очередно берут не более четырех спичек. Но кон выи~равшим считается тот, у кого по окончании ся четное число спичек. И тут начинающий имеет преимушество. Он м считать свои ходы, что наверняка выиграет. В здесь секрет беспроигрышной игры? -М четырех спи- ся межшие по- ' ",'.:,'7 ы иной: окажет- состоит Иа иной лад ие: ется ам , жел !ОХ показ рати ифра кам 374 Прн «игре в 27> можно поставить н обратное услов бы считался выигравшим тот, у кого после игры окаж четное число спичек. Каков в этом случае способ беспроигрышной игры? Арифметическое путешествие В этой игре могут участвовать несколько человек.
В до изготовить для нее: 1) игральну1о доску (из картона); 2) кубик (из дерева); 3) несколько фишек по числу играющих. Лоску вырезают в виде квадрата из листа картона тельно большого размера. Квадрат надо разграфить на клеток. В клетках расставлшот числа от 1 до 100, как но на нашем уменьшенном рис. 274. Кубик примерно в 1 см высоты отпиливают от квад брусочка„грани сглаживают шкуркой и обозначают ц от! до 6 (лучше обозначать этн числа точками, как на домино). что- не.'".'Х на- а10 а- 1!~! ого ми нях фишками могут служить разноцветные кружочки, квадратики нли что-нибудь другое. Игру начинают с того, что участники, взяв по фишке, поочередно бросают кубик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
