1611690520-2537aa0f719c889b2aeb7ff778509dd3 (826919), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Возвышение в квадрат й 25. Чтобы возвысить в квадрат число, окаичиваюшееся цифрой 5 (напрнмер, 85), умно>кают число десятков (8) на него же, плюс единица (8 Х 9 = 72) и приписывают 25 (в нашем примере получается 7225). Еше примеры: 25',2ХЗ=6; 625. 45т; 4 Х 5 = 20; 2025. 14У; 14 Х 15 = 210; 21 025. Прием этот вытекает из формулы (!Ох+5)т = 100х'+100х+25=100х (х+1)+25. 8 26. Указанный сейчас прием приложим и к десятичным дробям, оканчиваюшимся цифрой 5: 8,5т =- 72,25; 14,5' = 210,25; 0,35' = 0,1225; и т. п.
9 27. Так как 0,5 = '/ы а 0,25 = '/о то приемом $25 можно пользоваться также и для возвышения в квадрат чисел, оканчиваюшихся дробью /т. (8'//) ' = 72'/4. (! 4'/з) т = 2101/4, и т. и. 9 28, При устном возвышении в квадрат часто удобно бывает пользоваться формулой (а + в) т = ат + в~ .+. 2ав 349 Например: 412 = 402 + 1 + 2 Х 40 = 160! + 80 = 1681. 692 = 702 + 1 — 2 Х 70 = 490! — 140 = 476!. 362 = (35 + 1)2 = 1225+ 1+ 2 Х 35 = 1296„ Прием удобби и для чисел, оканчивающихся на 1, 4, 6 н 9. Вычисления по формуле (а + в) (а — в) = а2 — вз НИТЬ УСТН множит денную = 50'— выпал ем зги приве — 2) 4 пост обно зност4 — 1) + 3) — 2) — !) ас пр его ро + /2) /4) уется авля наем Х (50 разов ль уд де ра = (70 = (ЗО = (55 = (85 сейч ДУЮ4Ц = (7 = (12 о ум елн в в заг 2' = всех ть в исел ) = 4 ) = 8 ) =3 ) =7 обно '/2) = /4) Полезно запомнить 37 Х 3 = 1! 1.
Запомнив это, ле~ко выполнять устно умножение числа 37 па6,9,12ит.п, 3? Х 6 = 37 Х 3 Х 2 = 222. 37 Х 9 =- 37 Х 3 Х 3 =- 333. З? Х 12 = 37 Х 3 Х 4 = 444. 3? Х 15 = 37 Х 3 Х 5 = 555, и т. д. 7 Х !1 Х !3 = !001. Запомнив зто, легко вьполнять устно умножения следующего рода: 7? Х 13 = 1001. 91 Х! 1 =- 100!. 77 Х 26 = 2002. 91 Х 22 = 2002. 77 Х 39 = 3003 9! Х 33 = 3003 ит д.
и т. д. 8 29. Пусть треб Мысленно предст Х (50 — 2) и приме (50 + 2) Подобным же об когда олин множите чисел, другой — в вн 69 Х 7! ЗЗ Х 27 53 Х 57 84 Х 86 Д ЗО. Указанным для вычислений еле !'/2 Х 6'/2 Х 12/4 упают во представи 4 тех же ч Х (70+ 1 Х (30 — 3 Х (55+2 Х (85+ 1 немом уд да: Х (?— Х (12+ =фФ,,',.=...~ ножение 52 Х 48. виде (50+ 2) Х оловке формулу: 2496. вообще случаях, виде суммы двух ' вй?1 899. 91. 02!. 224. пользоваться и 482/4. /м. 143 Х 7 = 1001. 143 Х 14 = 2002. 143 Х 21 = 3003 и т.д.
Здесь указаны только простейшие, наиболее удобоприменнмые способы устного выполнения действий умножения, деления н возаьпцеиня в квадрат. Практикуясь, 'вдумчивый читатель выработает для себя ряд еще н других приемов, облегчающих вычислительную работу. Наименьший мааический квадрат Составление магических, или волшебных, квадратов — старинный и еше сейчас весьма распространенный вид математических развлечений. Задача состоит в отыскании такого расположения последовательных чисел (начиная с 1) по клеткам разграфленного квадрата, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы. Наименьший магический квадрат — 9-клеточный; легко убедиться испытанием, что магический квадрат из четырех клеток существовать не может. Вот образчик 9-клеточного маГического квадрата: Рис.
249. Сложим ли мы в этом квадрате числа 4 + 3 + 8, или 2 + 7 + б, или 3 + 5 + 7, или 4 + 5 + б, или любой другой ряд из трех чясел, мы во всех случаях получим одну и ту же сумму 15. Итог этот можно предвидеть, ие составляя еше самого квадрата: три строки квадрата — верхняя, средняя и нижняя — должны заключать все его 9 чисел, составлявшие в сумме 1 + 2+ 3+ 4 + 5+ 6+ 7 + 8+ 9 = 45.
С другой стороны, сумма эта должна быть равиа, очевидно. утроеииому итогу одной строки. Отсюда для каждой строки имеем итог: 45: 3 = 15. Подобным же образом можно заранее определить сумму чисел строки или столбца любого магического квадрата, состояшего из какого угодно числа клеток. Для этого нужно сумму всех чисел квадрата разделить на число его строк. Повороты и отражения Составив один магический квадрат, легко получить его видоизмеиеиия, то есть найти ряд новых магических квадратов. Если, например, мы составили квадрат (рис.
250), то, повериув его мыслеипо иа четверть полного оборота (па 90'), получим другой магический квадрат (рис. 25!): Рис. тнтО. Рис 23Л Дальнейшие повороты — иа 180' (половицу полного оборота) и па 270' (три четверти полпого оборота) — дадут еще два видоизменения иачальиого квадрата. Каждый из вновь получеииых магических квадратов можио, в свою очередь, видоизмепить, если представить себе, что оп как бы отражен в зеркале. На рис.
252 показаны иачальиый квадрат и одно из его зеркальных отражеиий. зеннынтененые енннчн н опыты 333 Проделав с 9-клеточным квадратом все повороты н отра жепнн, получаем следующие его видоизменения (рис. 253): 9 б 1 3 ф 3 3 3 з 1 6 Рис, 253. Это полный набор всех магических квадратов, какие вооб. ше могут быть составлены из первых девяти чисел. Саогоб Баше Познакомимся со старинным приемом составления н еч ет н ы х магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3 Х 3, 5 Х 5, 7 Х 7 и т. п. Прием этот предложен в ХИ1 веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден, мехсду прочим, в для 9-клеточного квадрата, то удобнее всего начать описание способа именно с этого наиболее простого примера. Итак, приступим к составлению 9-клеточиого магического квадрата по способу Баше.
Начертив квадрат, разграфленный па девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядамн по три в ряд, как показано на рис. 254. 4 8 Ряс. 2Ы Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что" и раньше). В результате получаем квадрат: Рис 2аа 14 !9 16 !11 ! 117 23 16 ':22 21 Рис. 256. Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его.
Для этого нужно фигуры, образованные числами, стояшими вне квадрата («террасы»), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к проти в ол еж ащ и м сторонам квадрата. Получится магический 25-клеточный квадрат (рис. 257). Обоснование этого простого приема довольно сложно; 8 21 14 2 1 19 24 12 16 6 11 4 17 10 23 Рис. 2Б7. Применим правило Баше к составлению квадрата из 5 Х 5 клеток. Начинаеы с расположения: читатели могут удостовериться на практике, что способ правилен Составив один магический квадрат нз 25 клеток, вы путем поворотов и отражений можете получить его видоизмененна. Индийский способ Способ Ваше, илн, как его иначе называют, аспособ террас», — ие единственный для составления квадратов с нечетным числом клеток.
Из других существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный, как полагают, в Индии еще до начала нашего летосчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Внимательно про:тнте все правила, а затем проследите нх применение на примере магического квадрата из 49 клеток (рис. 2581. 23', 30 го 2В ! 47 27 37 34 36 4б 33 44 4 13 сн ~23 22 ~ 31 41 3 12 43 32 ао 43 11 2Э Рнс. 7, а 337 !. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца — 2. 2. Следующие числа пишут по порядку в диагональном на- ! правлении вправо вверх.
3. Дойдя до правого края квадрата, переходят к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки. 4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца. П р и м е ч а н и е. Дойдя до правой верхней угловой клет. ки, переходят к левой нижней. 5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой. 6.
Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце. Руководствуясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток. Если число клеток квадрата н е д ел и т с я на 3, можно начинать составление магического квадрата пе по правилу 1, а по друтому правилу. Единицу можно написать в любой клетке дна~онального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата.
Все последу1о. щие числа вписываются согласно правилам 2 — 5. Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов. Как пример даем следующий магический квадрат из 49 клеток (рис. 259). 12 21 32 4! 31 40 49 28 30 10 29 38 18 37 46 36 4 13 24 33 44 Г«. гад У п р а ж н е н и е. Составьте по индийскому способу несколько магических квадратов из 25 и из 45 клеток. Из полученных квадратов составьте еще несколько с помощью поворотов п отражений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
