1611690520-2537aa0f719c889b2aeb7ff778509dd3 (826919), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ззв Квадраты с матнагм чг)слолт Флггг!а!т Для составления магических квадратов с четным числом клеток еще пе найдено общего н удобного правила. Сравнительно простой прием существует лишь для таких четных квадратов, число клеток которых делится без остатка на )6; число клеток в стороне этих квадратов кратно 4, то есть сторона их состоит нз 4, нз 8, из )2 н т.
д. клеток. Условимся, какие клетки мы будем называть «противолежащими» друг другу. На рис. 260 показаны для примера две пары противолежащих клеток: одна пара обозначена крестиками, другая — кружочками. Мы видим, что если клетка находится во втором сверху ряду на четвертом слева месте, то противолежащая ей клетка находится во втором спи зу ряду на четвертом си р аз а месте. (Чнтател|о полезно поупражняться в нахождении еще нескольких пар противолежащих клеток.) Заметим, что для клеток, взятых в диагональном ряду, противолежащие расположены на этой же диагонали.
Способ составления квадратов с указанным числом клеток в стороне объясним на примере квадрата из 8 Х 8 клеток. Начинают с того„что вписывают в клетки по порядку все числа от 1 до 64 (рнс. 26!), В полученном квадрате диагональные ряды дают одинако. вую сумму — 260, как раз такую, какая и должна быть в ма- Зав 6 7 16 10 14 16 19 16 17 20 27 Зо З1 40 36 З9 36 зз 37 46 47 49 62 63 61 64 Рис 2бп гическом квадрате из 8 М 8 клеток. (Проверьте это!) Но строки и стгеибцы этого квадрата имеют другие суммы. Так, пер.вая верхняя строка дает и сумме всего 36, то есть иа 224 меньше, чем требуется (260- — 36); восьмая, самая нижняя, строка дает в сумме 484, то есть па 224 больше, чем требуется (484— 260).
Замечая. что каждое число восьмой строки иа 56 больше находящегося пад пим числа первой строки и это 224 = . — — 4 Х 56, приходим к выводу, что можно уравнять суммы этих строк, если половину чисел первой строки обменять местами с находящимися под ними числами восьмой строки; например, числа ), 2, 3, 4 оомепять местами с числами 57, 58„ 59 60 Сказанное о первой и восьмой строках верно так же для строк второй и седьмой, третьей и шестой, вообще для каждой пары строк, равноотстоящих от крайних. Производя обмен чисел во всех строках, получим квадрат с одинаковыми суммами строк. Необходимо, однако, ччобы и столбцы давали ту же сумму. При первопачалыюм расположении чисел мы могли бы до< тигиуть этого путем такого же обмена чисел, какой мы произвели сейчас с числами строк.
Но теперь, после перестановок в строках, дело осложнилось. Цтобы быстро отыскать числа, подлежащие обмену, существует следующий прием, которым можно пользоваться с самого начала; вместо двояких нерестановок — в строках и в столбцах — обменивают местами те числа, которые противолежат друг другу (какие числа называются противолежа:цими, было объяснено на стр.
359). Одного этого правила все же недостаточно — ведь мы установили. ято обмену подлежат не все числа ряда, а только п о л о в и н а; остальные числа остаются на прежних местах. Какие же нз противолежащих пар надо обменивать? На этот вопрос отвечают следующие четыре правила: !. Надо магический квадрат разделить на четыре квадрата, как показано на прилагаемой фигуре (рис. 2б2). Рис 262. 2. В левом верхнем квадрате отметить крестиками половину всех клеток так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке этого квадрата была отмечена ровно половина входящих и ннх клеток. Это можно сделать различными способами — например, так, как показано на приведенной выше фигуре (рис. 2б2).
3, В правом верхнем квадрате отметить крестиками клетки, с им метр н ч н не тем, которые были отмечены в левом верхнем квадрате. 4. Теперь остается числа, паходящнеся в отмеченных клетках, поменять местами с числамн, находящимися в протнволежа!них клетках. В результате всех проделанных перестановок получается магический квадрат из 64 клеток, который здесь приведен (рис. 263), 60 3 61 50 !4 13 11 12 17 43 46 20 21 38 37 35 31 26 ЗЗ 29 22 44 19 1О 51 52 Рис Жг. Мы могли бы, однако, и многими другими способами отметить клетки в левом верхнем квадрате, причем правило 2 было бы соблюдено. Это можно сделать, например, так, как показано на помещенном здесь рисунке 264. "1итатель несомненно сам найдет еще очень много способов расстановки крестиков в клетках левого верхнего кваарата.
Пользуясь затем правилами 3 и 4, можно будет получить еще несколько магических квадратов из 64 клеток. Таким же способом можно построить магические квадраты, состоящие из 12 Х 12, 16 Х 16 н т. д. клеток. Предлагаем читателю самостоятельно проделать зто. 362 х х х х х х х х х х х х х х Рис. гб4. Отнуда магичесние нвадратвг получили свое название Первое упоминание о магическом квадрате встречается в древней китайской книге, относящейся к эпохе за 4000— 5000 лет до нашего времени. Глубже были знакомы с магическими квадратами в древней Индии. Из Индии увлечение магическими квадратами перешло к арабам, которые приписывали этим числовым сочет аннам таинственные свойства. В Западной Европе в средние века магические квадраты были достоянием представителей мнимых наук — алхимии и астрологии.
От старинных суеверных представлений эти числовые квадраты и получили свое необыиное в математике название — «магические», то есть волшебные„Астрологи и алхимики верили, что дощечка с изображенным на ней магическим квадратом способна отвратить беду от человека, который носит на себе такой талисман, Составление магических квадратов не является только аа. баной. Теорию их разрабатывали многие выдающиеся математики. Она находит применение в некоторых важных математических вопросах.
Так, например, имеется способ решения систем уравнений со многими неизвестными, который использует выводы теории магических квадратов. ДОМИЯО Цепь из 28 костей Почему 28 костей домино можно выложить с соблюдением правил игры в одну непрерывную цепь? Начало и конец цепи Когда 28 костей домино выложены в цепь, на одном ее конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце? Фокус с домино Ваш товарищ берет одну из костей до~ ино и предлагает вам из остальных 27 составить непрерывную цепь, утверждая, что это всегда возможно, какая бы кость ни была взята. Сам же он удаляется в соседнюю комнату, чтобы не видеть вашей цепи. Вы приступаете к работе и убеждаетесь, что товарищ ваш прав: 27 костей выложились в одну цепь. Еще удивительнее Магические кв адр аты из домино На рис.
267 показан квадрат из 18 костбчек домино, замечательный тем, что сумма очков любого его ряда— продольного, поперечного или диагонального — одна и та же: 13. Подобные квадраты издавна называются магическими'. Вам предлагается составить несколько таких же 18-косточковых ма; Рис. 26?. гических квадратов, но с другой суммой очков в ряду. 13 — наименьшая сумма в рядах магического квадрата, составленного из 18 костей. Наибольшая сумма— 23. Прогрессия из домино Вы видите на рис. 268 шесть косточек домино, выложенных по правилам игры и отличающихся тем, что число очков на косточках (на двух половинах каждой косточки) возрастает на единицу: начинаясь с 4, ряд состоит из следующих чисел очков: 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Такой ряд чисел, которые возрастают (или убывают) на одну и ту.4ке величину, называется «арифметическая Рис. 268. прогрессия». В нашем ряду каждое число больше предыдущего на единицу; но в прогрессии может быть и любая другая разность. Задача состоит в том, чтобы составить еще несколько 6-косточ ко в ых п рог р ессий. Общеизвестная коробочка с 15 нумерованными квадратными шашками имеет любопытную историю, о которой мало кто из игроков подозревает. Расскажем о ней словами немецкого исследователя игр — математика В. Аренса.
«Около полувека назад — в конце 70-х годов — вынырнула в Соединенных Штатах «игра в 15>; она быстро распространилась и благодаря несчетному числу усердных игроков, которых она заполонила, превратилась в настоящее общественное бедствие. То же наблюдалось по эту сторону океана, в Европе. Здесь можно было даже в конках видеть в руках пассажиров ю<робопки с 15 шашками. В ко<порах и магазинах хозяева приходили в отчаяние от увлечения своих служащих и вынужлены были воспретить им игру в часы занятий и торговли. Содержатели увеселитель«ых заведений ловко использовали эту манию и ус<раивалн большие игорные турниры. Игра проникла даже в торжественные залы германского рейхстага.
«Как сейчас вижу в рейхстаге седовласых людей, сосредоточенно рассматрива<ощих в своих руках квадратную коробочку»,— вспоминает известный географ и математик Зигмунд Гюнтер, бывший депутатом в годы игорной эпидемии. В Париже игра эта нашла себе приют под открытым небом, на бульварах, и быстро распространилясь нз столицы по всея провинции.
«Не было такого уединенного сельского домика, где не гнездился бы этот паук, подстерегая жертву, готовуюю запутаться в его сетях», — писал одпп французский автор. В 1880 году игорная <шхорадка достигла, по-видимому. своей высшей точки. Но вскоре после мого тиран был поверх<он и побежден оружием математики. «""втек<аз ическая теория игры обнаружила, что из многочисленных задач, которые могут быть предложены, разрешима только половина; другая не разрешима никакими ухйшрениями. Стало ясно, почему иные задачи не поддавались самым упорным усилиям и почему устроители турниров отваживались назначать огромные премии за разрешения задач.
В этом отношении всех превзошел изобретатель игры, предложивший издатсл<о ньк<-йоркской газеты для воскресного прибавления неразрешимую задачу с премией в !ООО долларов за ее разрешение; так как издатель колебался, то изобретатель выразил полную готовность внести нязвапнук< сумму из собственного кармана. Имя изобретатепя Самуэль (Сам) Лойд. Он приобрел шнроку<о известность как составитель остроумных задач и миох<ествя головоломок. Любопытно, что получить в Америке патент на придуманпу<о игру ему не удалось.
Согласно инструкции, он должен был представить «рабочую модель» для исполнения пробной партии; он предложил чиновнику пате<много бюро задачу, и, когда последний осведомился, разрешима лн она, изобретатель должен был ответить: «Нет, это матом а< нческн невозможно», «В таком случае, — последовало возражение, — пе може~ быть и рабочей модели, а без модели нет н патента>.
Лойд удовлетворился этой резолюцией, по, вероятно, был бы более пастоячив, если бы предвидел неслыханный успех своего изобретения» '. ' Этот эпизод использован Марком Твеном в его романе «Американкий претендент> зоз Приведем собственный рассказ изобретателя игры о некоторых фактах из ее истории: «Давнишние обитатели царства смекалки,— пишет Лойд,— помнят, как в начале 70-х годов я заставил весь мир ломать голову над коробкой с подвижными шашками, получившей известность под именем «игры в 15». 15 шашек были размещепы в квадратной коробочке в правильном порядке, и только шаенки 14 и 15 были переставлены, как показано на прилагаемой илл1острации (рис. 270). Задача состояла в том, чтобы, последовательно передвигая шашки, привести их в нормалыюе положение, причем, однако„порядок шашек 14 и 15 должен быть исправлен. 1З 14 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
