1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872)
Текст из файла
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТВ. А. АлександровОБОБЩЁННЫЕ ФУНКЦИИУчебное пособиеНовосибирск2005ББК В.162.12УДК 517.5А465Александров В. А. Обобщённые функции: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2005.
46 с.В пособии изложены начальные сведения об обобщённых функциях вобъёме, соответстующем программе базового курса «Основы функционального анализа», читаемого студентам 2-го курса общефизическогопотока физического факультета НГУ. Приведены задачи, рекомендуемые для решения на практических занятиях по указанному курсу.Предназначено студентам и преподавателям физического факультета.Рецензентканд.
физ.-мат. наук, доц. А. А. Егоровc Новосибирский государственныйуниверситет, 2005ПредисловиеВы держите в руках переработанный конспект лекций одной из девяти тем, читаемых на физическом факультете НГУ в рамках курса«Основы функционального анализа» в середине третьего семестра. Теме «Обобщённые функции» отводится приблизительно три лекции итри семинара. Пособие содержит ту часть обширной теории обобщённыхфункций, которую можно реально изложить и усвоить за отведённыйучебным планом промежуток времени и которая реально необходимастудентам для усвоения физических курсов, читаемых в последующем.Коротко прокомментируем книги, использованные при написании настоящего пособия и рекомендуемые для более глубокого ознакомленияс предметом.Наше изложение наиболее близко ко 2-й главе следующего широкораспространённого учебника:• Владимиров В. С.
Уравнения математической физики. М.: Наука,1976.Ориентированное на физиков систематическое изложение теорииδ-функции и её приложений в классической, т. е. неквантовой, теорииразличных полей и элементарных частиц может быть найдено в книге:• Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля. М.; Л.: ГИТТЛ,1951.Упомянем также книгу, написанную для физиков и инженеров крупным математиком — одним из основателей теории обобщённых функций:• Шварц Л.
Математические методы для физических наук / Пер.с франц. М.: Мир, 1965.Из более современных книг, написанных физиками для физиков исодержащих как достаточно подробное введение в общую теорию обобщённых функций, так и профессиональное обсуждение задач теоретической физики, при решении которых обобщённые функции играют важную роль, можно указать следующие книги:• Рид М., Саймон Б.
Методы современной математической физики /Пер. с англ. М.: Мир, 1977. Т. 1.• Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики /Пер. с англ. М.: Мир, 1982. Т. 1.Более краткое, чем у нас, введение в теорию обобщённых функций,написанное математиками для математиков, можно найти в следующиххорошо известных учебниках:• Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функциональногоанализа. М.: Наука, 1972.3• Зорич В.
А. Математический анализ. М.: Наука, 1984. Ч. 2.Тем же читателям, кто хочет познакомиться с теорией обобщённыхфункций и её приложениями к дифференциальным уравнениям и математической физике глубже, чем это сделано в настоящем пособии, мырекомендуем следующую книгу:• Владимиров В. С. Обобщённые функции в математической физике.М.: Наука, 1979.Наконец, стоит упомянуть чрезвычайно подробное систематическоеизложение теории обобщённых функций и ряда примыкающих к нейвопросов анализа, предпринятое коллективом авторов, возглавляемымИ. М.
Гельфандом. Для краткости укажем только первую книгу этогошеститомного издания:• Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действиянад ними. М.: Физматлит, 1959. Вып. 1.Значительная часть приводимых в настоящем пособии задач позаимствована из следующих сборников:• Сборник задач по уравнениям математической физики / В. С. Владимиров, В. П.
Михайлов, А. А. Вашарин и др. М.: Наука, 1974.• Сборник задач по математическому анализу: Функции несколькихпеременных / Л. Д. Кудрявцев, А. Д. Кутасов, В. И. Чехлов, М. И. Шабунин. СПб.: Кристалл, 1994.В этих же сборниках можно найти дополнительные задачи к теме«Обобщённые функции».Большинство из перечисленных выше книг выдержало много изданий. Читатель может использовать любое из них.4§ 1. Пространства основных и обобщённых функций.Формулы СохоцкогоПонятие функции является исключительно важным в математике.Оно проделало длительную и нетривиальную эволюцию и в настоящеевремя используется в нескольких смыслах. Например, в курсе математического анализа, говоря о функции ϕ : X → Y , вы подразумевали,что каждому элементу множества X с помощью некоторого правилаϕ сопоставлен единственный элемент множества Y .
Однако при изучении теории функций комплексного переменного вы познакомились смногозначными функциями, когда одному элементу из X может соответствовать несколько элементов из Y .Мы приступаем к изучению совершенно новой для вас точки зрения на понятие функциональной зависимости — теории обобщённыхфункций. С прагматической точки зрения можно считать, что нашейцелью является освоение тех многочисленных симпатичных формул,в которых участвует δ-функция Дирака и которые играют столь важную роль, например в электродинамике, или нахождение наиболее общего класса функций, для которых справедливы свойства преобразования Фурье, установленные нами для быстро убывающих функций.Начнём с определений.Пусть G — открытое множество в Rn и пусть ϕ : G → C.
Носителемфункции ϕ называется замыкание в Rn множества тех точек x ∈ G,в которых ϕ(x) 6= 0. Другими словами, точка x ∈ G принадлежит носителю функции ϕ, если найдётся последовательность x1 , x2 , . . . , xn , . . .точек из G, сходящаяся к x и такая, что ϕ(xn ) 6= 0 для всех n = 1, 2, . . . .Носитель функции ϕ обозначается через supp ϕ (от англ. support).Функция ϕ : G → C называется основной, или пробной, если ϕ бесконечно дифференцируема и supp ϕ является ограниченным подмножеством в G. Другими словами, основными мы называем те бесконечнодифференцируемые функции, которые зануляются в некоторой окрестности границы области определения.Согласно теореме Лебега, известной вам из курса математическогоанализа, множество в Rn компактно, если и только если оно замкнутои ограничено.
Поэтому можно сказать, что носитель основной функцииявляется компактным подмножеством её области определения G. Отметим также, что носитель основной функции не пересекается с границейобласти G.Контрпример. Пусть G ⊂ R является открытым интервалом (0, 1)и пусть ϕ : G → C тождественно равна единице: ϕ(x) = 1 для всех50 < x < 1.
Конечно, так определённая функция ϕ бесконечно дифференцируема, но её носитель, очевидно, совпадает с замкнутым отрезком [0, 1] и, тем самым, не содержится в множестве G. Поэтому ϕ неявляется основной функцией.Пример. Изучая тему «Преобразование Фурье», мы построили бесконечно дифференцируемую функцию ωx0 ,ε : Rn → R, которая строгоположительна в открытом шаре |x− x0 | < ε и тождественно равна нулювне этого шара. Здесь ε — любое положительное число, а x0 — любаяточка пространства Rn .Для данной области G ⊂ Rn и произвольной её точки x0 найдёмстоль малое положительное число ε, чтобы замкнутый шар |x − x0 | ≤ εсодержался в G. Тогда сужение функции ωx0 ,ε на G будет основнойфункцией для области G.Легко понять, что сумма двух основных функций и произведениеосновной функции на число снова являются основными функциями.Поэтому совокупность всех основных функций, определённых в даннойобласти G, является векторным пространством, которое обозначают через D(G).Говорят, что последовательность основных функций ϕ1 , ϕ2 , .
. . , ϕn , . . .сходится к функции ϕ ∈ D(G), если (i) существует ограниченное в Rnзамкнутое подмножество M множества G, содержащее носитель каждой функции ϕn , и (ii) для каждого мультииндекса α последовательность производных Dα ϕ1 , Dα ϕ2 , . . . , Dα ϕn , . . .
равномерно в G сходится к Dα ϕ. Другими словами, последовательность основных функцийϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . . сходится к функции ϕ ∈ D(G), если (i) существуетограниченное в Rn замкнутое подмножество M множества G такое, чтоsupp ϕn ⊂ M для каждого n, и (ii) для каждого мультииндекса αsup |Dα ϕn (x) − Dα ϕ(x)| → 0x∈Gпри n → ∞.Всякое отображение F : D(G) → C пространства основных функцийво множество комплексных чисел называется функционалом.
Функционал F называется линейным, если для любых a, b ∈ C и любых основныхфункций ϕ1 и ϕ2 выполняется равенство F (aϕ1 +bϕ2 ) = aF (ϕ1 )+bF (ϕ2 ),и называется непрерывным, если для любой последовательности основных функций ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn , . . . , сходящейся к какой-нибудь функцииϕ ∈ D(G), числовая последовательность F (ϕ1 ), F (ϕ2 ), . . . , F (ϕn ), .
. . сходится к числу F (ϕ).Теперь мы готовы сформулировать центральное определение данной темы: обобщённой функцией называется линейный непрерывныйфункционал на пространстве основных функций. Совокупность всех6обобщённых функций на G образует линейное пространство и обозначается через D′ (G). Значение обобщённой функции F на основной функции ϕ мы будем обозначать либо через F (ϕ), либо через (F, ϕ).Приведём примеры обобщённых функций.Пример 1 (регулярные обобщённые функции).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
