1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Есα|α|≤kли обобщённые функции F1 и F2 удовлетворяют равенству LF1 = F2 ,то говорят, что F1 является решением дифференциального уравненияLF = F2 в пространстве обобщённых функций D′ (G). Обобщённаяфункция E называется фундаментальным решением дифференциального оператора L, если LE = δ.Пример. Из предыдущего параграфа мы знаем, что регулярная обобщённая функцияE(x, y, z) = −1p24π x + y 2 + z 2является фундаментальным решеним трёхмерного оператора ЛапласаL=∂2∂2∂2+ 2 + 2.2∂x∂y∂zТеорема. Если E — фундаментальное решение линейного дифференциального оператора L с постоянными коэффициентами, то обобщённая функция F1 = E ∗ F2 является решением дифференциальногоуравнения LF = F2 .Доказательство немедленно следует из свойств свёртки и определения фундаментального решения:XXaα (Dα E) ∗ F2 =aα Dα (E ∗ F2 ) =LF1 =|α|≤k|α|≤k=X|α|≤kαaα D E∗ F2 = δ ∗ F2 = F2 .Предыдущая теорема показывает, что знание фундаментального решения E оператора L с постоянными коэффициентами (например, оператора Лапласа) позволяет сводить вопрос о нахождении частного решения неоднородного уравнения LF = F2 к проблеме вычисления свёртки E ∗ F2 .
Но как искать само фундаментальное решение? Предыдущийпараграф показывает нетривиальность этой задачи для оператора Лапласа. Общего алгоритма нахождения фундаментального решения нет,хотя для классических операторов, возникших из физических задач(т. е. оператора Лапласа, волнового оператора и оператора теплопроводности), фундаментальные решения известны уже более ста лет. Темценнее для нас следующая теорема, позволяющая находить фундаментальные решения обыкновенных дифференциальных операторов.33Теорема.
ПустьL=kXak−j (x)j=0djdxj—обыкновенный линейный дифференциальный оператор в R, причёмa0 (0) = 1. Пусть функция f0 : R → R ∈ C k (R) является «классическим» решением однородного уравнения Lf = 0, удовлетворяющим(k−2)(k−1)условиям f0 (0) = f0′ (0) = · · · = f0(0) = 0 и f0(0) = 1. Тогда регулярная обобщённая функция E = H(x)f0 (x) является фундаментальным решением оператора L, т. е. удовлетворяет уравнению LE = δ.Доказательство. Пользуясь теоремой о связи классической и обобщённой производной, последовательно получаем E ′ (x) = H(x)f0′ (x),(k−1)(k).
. . , E (k−1) (x) = H(x)f0(x), E (k) (x) = δ(x) + H(x)f0 (x). ПоэтомуLE = H(x)Lf0 (x) + δ(x) = δ(x), что и доказывает теорему.Как известно, общее решение F любого линейного уравнения LF = F1(не обязательно дифференциального) может быть записано в виде суммы F = Fчн + Fоо частного решения Fчн неоднородного уравненияLF = F1 и общего решения Fоо соответствующего однородного уравнения LF = 0. Действительно, каковы бы ни были F и Fчн — решения уравнения LF = F1 , функция Fоо = F − Fчн удовлетворяетоднородному уравнению LFоо = 0 в силу линейности оператора L:LFоо = LF −LFчн = F1 −F1 = 0.
И обратно, каковы бы ни были решениеFчн неоднородного уравнения LF = F1 и решение Fоо соответствующегооднородного уравнения LF = 0, функция F = Fчн + Fоо удовлетворяетнеоднородному уравнению LF = F1 : LF = LFчн + LFоо = F1 + 0 = F1 .Выше мы видели, что знание фундаментального решения операторав некоторых случаях облегчает нахождение частного решения неоднородного уравнения.
По поводу же нахождения общего решения однородного уравнения ограничимся следующими краткими замечаниями.1) Если функция является «классическим» решением однородногодифференциального уравнения с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, то она, очевидно, удовлетворяет этому уравнению и всмысле теории обобщённых функций. Поэтому для нахождения общегорешения однородного дифференциального уравнения можно применятьлюбые методы нахождения «классических» решений, известные вам изкурса дифференциальных уравнений.2) При решении уравнений в обобщённых функциях «неклассические» решения могут возникнуть, даже если все коэффициенты и праваячасть бесконечно дифференцируемы. В самом деле, общим решениемуравнения первого порядка xF ′ (x) = 0 служит регулярная обобщённая34функция F (x) = c1 +c2 H(x), содержащая две произвольные постоянныеc1 , c2 и не являющаяся его «классическим» решением при c2 6= 0.3) Обобщённые решения дифференциальных уравнений не менее важны, чем «классические».
Стремление ограничиться только «классическими» решениями приблизительно так же неестественно, как и стремление найти решение обязательно среди элементарных функций. Тем неменее представляют интерес операторы (11) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами, для которых при любой бесконечно дифференцируемой правой части g уравнение LF = g имеет только «классические» решения, т. е. всякая обобщённая функция F , удовлетворяющаяуравнению LF = g, является регулярной обобщённой функцией, порождённой некоторой бесконечно дифференцируемой функцией. Такиеоператоры называются гипоэллиптическими. Им посвящена обширнаяматематическая литература.
Укажем лишь два свойства, каждое из которых гарантирует гипоэллиптичность оператора (11) с постояннымикоэффициентами:(i) у оператора есть фундаментальное решение, являющееся регулярной обобщённой функцией, порождённой «обычной» функцией, котораябесконечно дифференцируемавсюду в Rn , кроме точки 0;Pα(ii) сумма |α|=k aα y отлична от нуля для любого ненулевого вектора y ∈ Rn .Отметим, что каждое из свойств i и ii выполняется для оператораЛапласа, так что неоднородное уравнение ∆F = g не имеет «неклассических» решений ни при какой бесконечно дифференцируемой правойчасти g.В заключение вкратце обсудим еще одну проблему, связанную с решением дифференциальных уравнений в обобщённых функциях.
Как вызнаете, обычно требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определённым граничным или начальным условиям. Однако обобщённые функции не имеют значения в точке. Как жеследует понимать граничные или начальные условия?Развитие математики предлагает такой выход из создавшейся ситуации: решение дифференциального уравнения надо искать не во всёмпространстве обобщённых функций, а в некотором подпространстве,специально подобранном для данного уравнения.
Чаще всего в этойроли выступают пространства Соболева, обозначаемые через Wpl (G)и определяемые следующим образом.Пусть G ⊂ Rn — область с гладкой границей и 1 ≤ p < ∞ — вещественное число. Говорят, что обобщённая функция F ∈ D′ (G) принадлежит пространству Lp (G), если F является регулярной обобщённой35функцией, порождённой «обычной» функцией f , модуль которой интегрируем по G в степени p, т.
е. если для всех пробных функций ϕсправедливо равенствоZZ(F, ϕ) =f (x)ϕ(x) dx,причём|f (x)|p dx < +∞.(12)GG′Говорят, что обобщённая функция F ∈ D (G) принадлежит пространству Соболева Wpl (G), если она является регулярной обобщённой функцией (т. е. принадлежит пространству L1,loc (G)) и при этом для любого мультииндекса α, |α| = l, обобщённая функция Dα F принадлежитLp (G).Ключевую роль в понимании того, что же является граничными значениями функций из пространства Wpl (G) играют так называемые теоремы вложения, впервые доказанные С.
Л. Соболевым и часто называемые его именем. Приведём формулировку простейшей из них.Теорема (вложения). Пусть G — область в Rn с гладкой границейи F ∈ Wpl (G), причём lp > n. Тогда в G существует непрерывнаяфункция fe, которая действует на любую пробную функцию ϕ так же,как F :Z(F, ϕ) =Gfe(x)ϕ(x) dx.Другими словами, если обобщённые производные достаточно высокогопорядка l у обобщённой функции являются «обычными» функциями,суммируемыми в достаточно высокой степени p так, что произведениеlp больше размерности пространства n, то эта обобщённая функция порождается некоторой «обычной» непрерывной функцией fe, т.
е. «обычную» функцию f в формуле (12) можно подправить так, что она станетнепрерывной функцией fe, а функционал F при этом не изменится.Основная идея состоит в том, чтобы требовать соблюдения граничных или начальных условий именно от соответствующей непрерывнойфункции fe.Пример.
Линейный дифференциальный операторL=1 d,i dxx ∈ R,называется опертором импульса и играет важную роль в квантовой механике. Теорема вложения показывает, что его целесообразно изучатьв пространстве W21 (R), т. е. пространстве таких обобщённых функций,которые лежат в L2 (R) вместе со своей первой производной. Действительно, здесь l = 1, p = 2, n = 1 и lp = 2 > 1 = n.36ЗадачиНайдите фундаментальные решения следующих обыкновенных дифференциальных операторов:69.dL=− λ.dx70.d2L = 2 + λ2 .dx71.kdL=−λ .dx72.L=d+ 2x.dx73.d− cos x.dx74. Следуя данным ниже указаниям решите дифференциальноеуравнение второго порядка 2d2+ k f (x) = g(x),dx2L=где g : (0, +∞) → R — интегрируемая функция.Предлагаемый метод решения называется методом функции Грина.При этом функцией Грина называется непрерывное решение уравнения 2∂2G(x, y) = δ(x − y), где y ≥ 0.+k∂x2∂а) Покажите, что функция ∂xG(x, y) имеет в точке x = y скачок ивычислите этот скачок. (Это свойство часто принимается за определение функции Грина.)б) Пусть f1 (x) и f2 (x) — два линейно независимых решения однородного уравнения 2d2+ k f (x) = 0.dx2Покажите, что можно так выбрать постоянную c 6= 0, что функция(cf1 (x)f2 (y), если 0 < x < y,G(x, y) =cf1 (y)f2 (x), если 0 < y < x,37будет функцией Грина.
(Тем самым вы докажете существование функции Грина.)в) Покажите, что если f (x) и G(x, y) подчиняются одним и тем жеграничным условиям, то+∞Zf (x) =G(x, y)g(y) dy.0(Тем самым вы выразите решение уравнения в терминах функции Грина.)г) Найдите f (x) и G(x, y), отвечающие краевому условию f (0) = 0.Более подробно вы познакомитесь с методом функции Грина в курсах«Дифференциальные уравнения» и «Методы математической физики».§ 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
