1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Преобразование Фурье обобщённых функциймедленного ростаКак обычно, начнём с наводящих соображений: посмотрим как преобразование Фурье «обычной» функции действует на пробную функцию.Пусть f — быстро убывающая функция в Rn , а ϕ — пробная (а значит, тоже быстро убывающая) функция. Напомним, что прямое F+ иобратное F− преобразования Фурье быстро убывающих функций в Rnв своё время были определены формуламиZ−n/2F± [f (x)](y) = (2π)f (x)e∓i(x,y) dx,Rnгде (x, y) обозначает скалярное произведение векторов x и y в Rn . Напомним также свойства преобразования Фурье быстро убывающих функций.1) Равенство Парсеваля:ZZF± [f ](y)F± [ϕ](y) dy = f (x)ϕ(x) dx,RnRnгде черта означает комплексное сопряжение.2) F± [ϕ] = F∓ [ϕ].3) Преобразование Фурье отображает пространство быстро убывающих функций на себя, в частности для любой пробной функции ϕнайдётся быстро убывающая функция ψ такая, что ϕ = F± [ψ]. (Чтобыубедиться в этом, достаточно положить ψ = F∓ [ϕ].) Но тогдаψ = F∓ [ϕ] = F± [ϕ] = F± [ϕ].38Учитывая сказанное, можем написатьZZ(F± [f ], ϕ) = F± [f ](y)ϕ(y) dy = F± [f ](y)ϕ(y) dy =RnRn=ZRnF± [f ](y)F± [ψ](y) dy =Zf (x)ψ(x) dx =RnZf (x)F± [ϕ](x) dx =(f, F± [ϕ]).RnТо есть результат действия преобразования Фурье от быстро убывающей функции на пробную совпадает с результатом действия этой быстро убывающей функции на преобразование Фурье от пробной.Как обычно, примем это свойство, установленное нами для «обычных» функций, в качестве определения, пригодного для всех обобщённых функций: преобразованием Фурье (прямым или обратным) обобщённой функции F ∈ D′ (Rn ) называется новая обобщённая функцияF± [F ], которая действует на произвольную пробную функцию ϕ ∈D(Rn )по правилу (F± [F ], ϕ) = (F, F± [ϕ]).Пример.
Вычислим преобразование Фурье δ-функции: (F± [δ], ϕ) =Z−n/2= (δ, F± [ϕ]) = F± [ϕ](0) = (2π)ϕ(x)e∓(x,0) dx = ((2π)−n/2 , ϕ).RnТаким образом, обобщённые функции F± [δ] действуют на любую пробную функцию так же, как постоянная (2π)−n/2 . Значит F± [δ] = (2π)−n/2 .Приведённое выше определение (F± [F ], ϕ) = (F, F± [ϕ]) имеет одинсущественный недостаток: мы не проверили, что функция F± [ϕ] является пробной. Однако если это не так, то данное определение будет«работать» не для всех обобщённых функций F , а только для тех, длякоторых имеет смысл величина (F, F± [ϕ]).Поэтому очень важно выяснить, каковы те пробные функции, преобразование Фурье которых также является пробной функцией.
Ответна этот вопрос шокирует: такая функция всего одна — тождественныйнуль! Не ставя перед собой задачи доказать этот факт строго, укажем,однако, идею доказательства для случая n = 1.Пусть обе функции ϕ и F+ [ϕ] являются пробными, т. е. обе бесконечно дифференцируемы и зануляются вне некоторого конечного интервала, например вне |x| < a. Тогда теорема Котельникова–Шеннонапозволяет утверждать, что равенство +∞Xπkπksinc a x −(13)ϕ(x) =ϕaak=−∞39имеет место для всех x ∈ R. Принимая во внимание, что ϕ(x) = 0, если|x| > a, видим, что, во-первых, суммирование по k можно вести в (13)лишь в конечных пределах, и во-вторых, возникающая конечная сумматождественно равна нулю для |x| > a:NXk=−N πk sin(ax − πk)ϕ≡ 0.aax − πk(14)Отсюда уже можно непосредственно вывести, что все коэффициентыϕ(πk/a) в (14) равны нулю (тем не менее мы опускаем это рассуждение,как не относящееся непосредственно к теории обобщённых функций).Однако тогда все коэффициенты ϕ(πk/a) в (13) равны нулю и ϕ равнанулю тождественно.Неужели нам придётся смириться с тем, что далеко не всякая обобщённая функция имеет преобразование Фурье? Оказывается, в такойжертве нет необходимости: надо лишь сменить точку зрения, точнее —сменить класс основных функций.
А именно, работая с преобразованием Фурье, в качестве основных функций принимают быстро убывающиефункции, знакомые вам по теме «Преобразование Фурье», т. е. бесконечно дифференцируемые функции ϕ : Rn → C, убывающие на бесконечности быстрее любого многочлена. В пространстве S(Rn ) быстроубывающих функций вводят следующее понятие сходимости: последовательность функций ϕ1 , ϕ2 , .
. . , ϕk , . . . из S(Rn ) сходится в S(Rn ), еслидля любых мультииндексов α и β последовательность функций xα Dβ ϕ1 ,xα Dβ ϕ2 , . . . , xα Dβ ϕk , . . . сходится к функции xα Dβ ϕ при k → ∞ равномерно в Rn . Наконец, обобщённой функцией медленного роста называют линейный непрерывный функционал на пространстве S(Rn ) основных функций, принимающий значения во множестве комплексных чисел C. Пространство обобщённых функций медленного роста обозначают через S′ (Rn ).Поскольку из темы «Преобразование Фурье» известно, что «классическое» преобразование Фурье переводит любую быстро убывающуюфункцию в быстро убывающую, то правило (F± [F ], ϕ) = (F, F± [ϕ]) действительно определяет новую обобщённую функцию F± [F ] ∈ S′ (Rn )для любой обобщённой функции медленного роста F ∈ S′ (Rn ).
Другими словами, теперь мы знаем наверняка, что преобразование Фурьеможно применять к любой обобщённой функции медленного роста.Отметим ещё, что идея менять класс основных функций в зависимости от решаемой задачи — стандарный приём теории обобщённыхфункций. Выше мы уже обсудили, что именно вынудило нас перейтиот основных функций D(Rn ) к основным функциям S(Rn ). Однако если40бы мы с самого начала стали развивать теорию обобщённых функциймедленного роста, то все обобщённые функции у нас были бы всегдаопределены во всём пространстве Rn и мы не могли бы, например, решать дифференциальное уравнение в «данной области», а не во всёмпространстве. Другой пример плодотворности смены класса основныхфункций доставляют гиперфункции, играющие важную роль в квантовой теории поля и представляющие собой непрерывные линейные функционалы на пространстве комплексно-аналитических функций.Строго говоря, сейчас мы должны были бы начать изложение теорииобобщённых функций медленного роста с самого начала и последовательно определить для них операции дифференцирования, умножения,свёртки и т.
д. Однако это было бы дословным повторением уже сказанного в предыдущих параграфах. Поэтому мы сосредоточим вниманиелишь на преобразовании Фурье.Свойства преобразования Фурье обобщённых функций медленногороста:1) преобразование Фурье линейно, т. е. для любых a, b ∈ C и любыхF, G ∈ S′ (Rn ) справедливы равенства F± [aF + bG] = aF± [F ] + bF± [G];2) для любого мультииндекса α и любой F ∈ S′ (Rn ) справедливыравенстваF± [xα F (x)] = (±i)|α| Dα (F± [F ]);3) для любого мультииндекса α и любой F ∈ S′ (Rn ) справедливыравенстваF± [Dα F (x)](y) = (±iy)α (F± [F ])(y);4) как прямое, так и обратное преобразование Фурье являются непрерывными отображениями пространства обобщённых функций медленного роста в себя;5) для любой F ∈ S ′ (Rn ) справедливы равенства F+ [F− [F ]] = F иF− [F+ [F ]] = F , называемые формулами обращения.Если обобщённые функции медленного роста F и G таковы, что имеют смысл участвующие в соответствующих формулах операции свёрткии умножения для F , G, F± [F ] и F± [G], то справедливы ещё и такие соотношения:6) F± [F ∗ G] = (2π)n/2 F± [F ] · F± [G];7) F± [F · G] = (2π)−n/2 F± [F ] ∗ F± [G].Другими словами, все свойства преобразования Фурье, которые мыранее доказали для быстро убывающих функций, справедливы такжеи для обобщённых функций медленного роста.
Более того, все перечисленные свойства могут быть доказаны по одной схеме, суть которойсостоит в том, чтобы, подействовав на пробную функцию одной частью41формулы, перенести все выполняемые операции с обобщённой функциина пробную, воспользоваться известными свойствами преобразованияФурье быстро убывающих функций и опять перенести все операции теперь уже с пробной функции на обобщённую.
Для примера приведёмдоказательство лишь одного из перечисленных выше свойств.Доказательство свойства 2. Пусть ϕ — быстро убывающая функция. Тогда, применяя свойство 3 к ϕ, справедливость которого в этомслучае была установлена нами ранее, получаем(F± [xα F (x)], ϕ) = (xα F (x), F± [ϕ]) = (F, xα F± [ϕ]) == (F, (∓i)|α| F± [Dα ϕ]) = (∓i)|α| (F± [F ], Dα ϕ]) == (∓i)|α| (−1)|α| (Dα (F± [F ]), ϕ]) = ((±i)|α| Dα (F± [F ]), ϕ]).Значит, обобщённые функции F± [xα F (x)] и (±i)|α| Dα (F± [F ]) одинаководействуют на любую пробную функцию. Следовательно, они совпадают.Свойство 2 доказано.Заканчивая изучение теории обобщённых функций, вспомним, чтоодним из побудительных мотивов для нас было стремление найти наиболее общий класс функций, к которым можно применять свойства преобразования Фурье, ранее выведенные нами только для быстро убывающих функций. Теперь мы знаем ответ — этот класс состоит из обобщённых функций медленного роста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
