1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . , εk . Наконец, исчерпав технические возможности нашего микроскопа, мы приходим к выводу, что всямасса нашего тела сосредоточена в одной точке x = 0. Аналогия сδ-образной последовательностью очевидна.Подобная интерпретация обобщённых функций как плотностей распределения физических величин привела к тому, что на Западе обобщённые функции называют распределениями.ЗадачиДокажите следующие предельные соотношения в D′ (R):4.x2−1√ e 4ε → δ(x)приε → +0.2 πε5.ε1→ ±δ(x)приε → ±0.π x2 + ε2136.εxsin2 → ±δ(x)πx2εприε → ±0.7.1xsin → ±δ(x)приε → ±0.πxε8. Докажите, что функция fε : R → R, заданная формулой1,если |x| ≤ ε,fε (x) = 2ε0,если |x| > ε,стремится в D′ (R) к δ-функции при ε → +0.Докажите следующие предельные соотношения в D′ (R):9.tm eixt → 0приt → +∞(m ≥ 0).10.eixt→x − i011.eixt→x + i0((2πiδ(x), при0,приt → +∞,t → −∞.0,при t → +∞,−2πiδ(x), при t → −∞.12. Найдите пределы в D′ (R) последовательностей функцийf1 , f2 , .
. . , fk , . . . и F1 , F2 , . . . , Fk , . . . , еслиZxk −k2 x2иFk (x) =fk (x) dx.fk (x) = √ eπ−∞13. Докажите, чтоcos kxP→ 0,x k→∞где+∞Zcos kxcos kxP, ϕ = v. p.ϕ(x) dx.xx−∞14. Пусть n ≥ 1. Докажите, что функция fε : Rn → R, заданнаяформулой−1fε (x1 , x2 , . . . , xn ) = √ n e(2 πε)x21 + x22 + · · · + x2n4ε,стремится в D′ (Rn ) к δ-функции при ε → +0.14Трактуя несобственный интеграл как предел в D′ (R) соответствующих собственных интегралов, докажите равенства:15.+∞Z1cos xy dy = δ(x).π016.12π17.+∞ZyJ0 (xy) dy = δ(x),x+∞Zeixy dy = δ(x).−∞1J0 (x) =πгдеZ+1−10cos xz√dz1 − z2—функция Бесселя с нулевым значком, играющая важную роль в математической физике, небесной механике и др.18. Трактуя несобственный интеграл как предел в D′ (Rn ) соответствующих собственных интегралов, докажите равенствоZ1ei(x,y) dy = δ(x),(2π)nRnPnгде (x, y) = j=1 xj yj — скалярное произведение в Rn .19.
Трактуя сумму ряда как предел последовательности его частичных сумм, докажите равенство в D′ (R):+∞1 X −ixke= δ(x).2πk=−∞§ 3. Замена переменных в обобщённых функцияхНачнём с наводящих соображений, относящихся к линейной заменепеременных. Пусть f ∈ L1,loc (Rn ), A : Rn → Rn — невырожденное линейное преобразование и b — фиксированный вектор из Rn .
Используяправило замены переменной в кратном интеграле, можем написатьZ(f (Ax + b), ϕ(x)) = f (Ax + b)ϕ(x) dx ==ZRnRnf (y)ϕ(A−1 (y − b))dy=| det A|15ϕ(A−1 (y − b)).f (y),| det A|Как уже было сказано выше, для произвольной (не обязательно регулярной) обобщённой функции примем полученное равенство за определение. Если A : Rn → Rn — невырожденное линейное преобразованиеи b — фиксированный вектор из Rn , то для произвольной обобщённойфункции F ∈ D′ (Rn ) определим новую обобщённую функцию F (Ax+b),которая действует на произвольную пробную функцию ϕ ∈ D(Rn ) поправилуϕ(A−1 (y − b)).(F (Ax + b), ϕ(x)) = F (y),| det A|При этом будем говорить, что F (Ax + b) получена из F линейной заменой переменных.Пример 1: δ(−x) = δ(x).
Это непосредственно следует из вычисления (δ(−x), ϕ(x)) = (δ(x), ϕ(−x)) = ϕ(0) = (δ(x), ϕ(x)).Пример 2 (сдвинутая δ-функция):(δ(x − x0 ), ϕ(x)) = (δ(y), ϕ(y + x0 )) = ϕ(x0 ).Словами эту формулу читают так: δ-функция, сдвинутая на x0 , сопоставляет всякой пробной функции её значение в точке x0 .Нелинейная замена переменных в обобщённых функциях есть понятие значительно более деликатное, чем линейная замена переменных.Мы рассмотрим его только применительно к одномерной δ-функции.Пусть a : R → R «обычная» (т. е. не обобщённая) функция и h1 ,h2 , .
. . , hk , . . . — произвольная δ-образная последовательность в R. Символом δ(a(x)) обозначают обобщённую функцию, действующую на произвольную пробную функцию ϕ по правилу+∞Z(δ(a(x)), ϕ(x)) = lim (hk (a(x)), ϕ(x)) = limhk (a(x))ϕ(x) dx.k→∞k→∞−∞При этом говорят, что δ(a(x)) получена из δ(y) заменой переменнойy = a(x).Отметим, что корректность этого определения нуждается в обосновании: надо убедиться, что использованный в определении предел существует для любой δ-образной последовательности h1 , h2 , .
. . , hk , . . . ине зависит от выбора этой последовательности. Мы, однако, не будемуглубляться в вопросы обоснования, а посмотрим, к каким выводамприводит это определение.Теорема. Пусть функция a : R → R непрерывно дифференцируема иимеет только простые нули x1 , x2 , . . . (напомним, что число y называется простым нулём функции a, если a(y) = 0, но a′ (y) 6= 0). Тогда16справедливо равенствоδ(a(x)) =X δ(x − xk )k|a′ (xk )|.Доказательство. Фиксируем основную функцию ϕ. Пусть R — положительное число, такое что ϕ(x) = 0 для всех |x| > R. Тогда(δ(a(x)), ϕ(x)) = lim (hk (a(x)), ϕ(x)) =k→∞+∞ZZR= limhk (a(x))ϕ(x) dx = limhk (a(x))ϕ(x) dx.k→∞−∞k→∞−R(4)Замкнутый отрезок [−R, R] содержит лишь конечное число нулейфункции a. В самом деле, в противном случае нашлась бы бесконечнаяограниченная последовательность нулей функции a. Как известно, изтакой последовательности всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Обозначив предел этой подпоследовательности черезx0 , мы видим, что x0 является нулём функции a и в любой окрестности точки x0 содержится бесконечно много нулей a. Однако по условию теоремы все нули функции a, в том числе x0 , являются простыми,а значит у x0 есть окрестность, не содержащая других нулей функции a. Полученное противоречие доказывает, что в замкнутом отрезке[−R, R] содержится лишь конечное число нулей функции a.
Обозначимих через x1 , x2 , . . . , xN .Для каждого j = 1, 2, . . . , N обозначим через Ij открытый интервал,содержащий точку xj и такой маленький, что функция a строго монотонна на Ij и никакие два интервала Ij не пересекаются.Поскольку h1 , h2 , . . . , hk , .
. . — δ-образная последовательность, то длякаждого k существует положительное число εk такое, что hk (y) = 0 длявсех |y| > εk . Более того, εk → 0 при k → ∞. Из последнего вытекает, что существует номер k0 такой, что для всех k ≥ k0 и любой концевой точки x интервала Ij (j = 1, 2, . . . , N ) справедливо неравенство|a(x)| > εk .Заменим интервал Ij содержащимся в нём меньшим замкнутым отрезком Ij,k таким, что в любой концевой точке x отрезка Ij,k справедливо равенство a(x) = ±εk .Тогда вне ∪Nj=1 Ij,k имеет место неравенство |a(x)| > εk , а значитhk (a(x)) = 0. Вместе с тем сужение функции a на каждый из отрезковIj,k является диффеоморфизмом. В частности, на каждом из отрезковIj,k у функции a есть обратная функция, дифференцируемым образом17отображающая отрезок [−εk , εk ] на Ij,k .
Обозначим эту обратную функцию через a−1j .Учитывая сказанное, мы можем продолжить равенство (4) следующим образом:limZRk→∞−Rhk (a(x))ϕ(x) dx = limk→∞N ZXhk (a(x))ϕ(x) dx =j=1Ij,kНа каждом из отрезков Ij,k делаем замену переменной x = a−1j (y):= limk→∞N ZεkXhk (y)ϕ(a−1j (y))j=1−εkdy|a′ (a−1j (y))|=Поскольку hk (y) = 0 для |y| > εk , то распространим интегрирование на всю числовую прямую и воспользуемся теоремой о сходимостиδ-образной последовательности:+∞ZN Xϕ(a−1j (y))dy == limhk (y)k→∞|a′ (a−1j (y))|j=1−∞ NNXXϕ(a−1ϕ(a−1j (y))j (y))hk (y),=δ(y),=k→∞|a′ (a−1|a′ (a−1j (y))|k (y))|j=1j=1= limИспользуем определение δ-функции и тот факт, что a−1j (0) = xj :=NXϕ(xj )=′ (x )||ajj=1Поскольку все нули функции a, кроме x1 , x2 , .
. . , xN , лежат вне отрезка[−R, R], то в каждом из них ϕ обращается в нуль; поэтому мы можемраспространить суммирование на все нули функции a. Воспользовавшись ещё определением сдвинутой δ-функции, получим:Xδ(x − xj ), ϕ(x) .=|a′ (xj )|jP δ(x−xj )Тем самым мы видим, что функции δ(a(x)) и j |a′ (xj )|одинаководействуют на любую пробную функцию, а значит совпадают. Теоремадоказана.18ЗадачиСчитая a вещественным числом, отличным от нуля, докажите следующие равенства в D′ (R):20.δ(x)δ(ax) =.|a|21.δ(x − a) + δ(x + a)δ(x2 − a2 ) =.2|a|22.+∞Xδ(sin ax) =δ(x + πk/a).k=−∞23. Докажите равенство+∞X+∞Xe2πikx =k=−∞k=−∞δ(x − k).24.
Докажите предельное соотношение в D′ (R)+∞X1 − r21→δ(x + 2πk)·2π 1 − 2r cos x + r2k=−∞при r → 1 − 0.Обратите внимание, что это предельное соотношение соответствует тому факту, известному вам из темы «Ряды Фурье», что интеграл Пуассона принимает заранее предписанные значения на границе единичногокруга. Сумма ряда из обобщённых функций понимается, конечно, какпредел последовательности частичных сумм этого ряда.§ 4. Умножение обобщённых функцийНаводящие соображения таковы: если f ∈ L1,loc (G) и a : G → C —бесконечно дифференцируемая функция, то результат действия регулярной обобщённой функции af на произвольную пробную функцию ϕможет быть представлен в видеZZ(af, ϕ) = a(x)f (x)ϕ(x) dx = f (x)[a(x)ϕ(x)] dx = (f, aϕ),GGт. е.
как результат действия f на пробную функцию aϕ. (То, что aϕ является пробной, почти очевидно: она бесконечно дифференцируема изануляется вне носителя функции ϕ, а значит — вне некоторого замкнутого ограниченного подмножества в G.)19Эти наводящие соображения делают естественным следующее определение.
Пусть F ∈ D′ (G) и a : G → C — бесконечно дифференцируемая функция. Произведением обобщённой функции F на бесконечнодифференцируемую функцию a называется новая обобщённая функцияaF , действующая на произвольную основную функцию ϕ по правилу(aF, ϕ) = (F, aϕ).Пример 1: a(x)δ(x) = a(0)δ(x). В самом деле, для любой основной функции ϕ ∈ D(G) мы имеем (a(x)δ(x), ϕ(x)) = (δ(x), a(x)ϕ(x)) == a(0)ϕ(0) = a(0)(δ(x), ϕ(x)) = (a(0)δ(x), ϕ(x)).Пример 2: xP x1 = 1. В самом деле, для любой основной функцииϕ ∈ D(G) имеем+∞+∞ ZZxϕ(x)11xP , ϕ(x) = P , xϕ(x) = v. p.dx =1·ϕ(x) dx = (1, ϕ).xxx−∞−∞Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
