1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Применяя определение производнойобобщённой функции, можем написать 2 2 2∂ f∂ f∂ f(∆f, ϕ) =,ϕ +,ϕ +,ϕ =∂x2∂y 2∂z 2 ZZZ∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕf ∆ϕ dxdydz. (8)= f, 2 + f, 2 + f, 2 = (f, ∆ϕ) =∂x∂y∂zR3Последний интеграл, конечно, понимается как несобственный: бесконечность является его особой точкой по определению, а начало координат — поскольку функция f неограничена в нуле. Другими словами,последний интеграл понимается как предел собственных интегралов оттой же функции, взятых по шаровому слою ε2 ≤ x2 + y 2 + z 2 ≤ r2 приε → 0 и r → +∞. Учтём, что, с одной стороны, ϕ и все её производныезануляются вне шара x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 , а с другой — что ∆f = 0 вобласти x2 + y 2 + z 2 > 0, и применим формулу Грина к (8)ZZZZZZf ∆ϕ dxdydz =f ∆ϕ dxdydz = limR3ε→0ε2 ≤x2 +y 2 +z 2 ≤R2ZZZ ∆ϕ ∆f dxdydz == lim ϕf ε→0ε≤r≤R27Z Z ∂ϕ ∂n ϕε→0= limr=εZZ dS +f ∂f∂nr=R ∂ϕ ∂n ϕ dS.f ∂f∂n(9)Второй интеграл в (9) равен нулю, поскольку функция ϕ и все её производные тождественно равны нулю на сфере x2 + y 2 + z 2 = R2 .
В первомже интеграле n представляет собой единичную внешнюю нормаль к тойобласти, к которой применялась формула Грина, т. е. к шаровому слоюε2 < x2 + y 2 + z 2 < R2 . Поэтому n представляет собой внутреннююнормаль к сфере x2 + y 2 + z 2 = ε2 , а значит дифференцирование в направлении n даёт тот же результат, что и взятое с противоположнымзнаком дифференцирование по r:∂∂=− .∂n∂rВ частности,∂f 1∂f 1 = 2.=−=∂n r=ε∂r r=εr2 r=εεСледовательно, мы можем продолжить (9) так:Z Z ∂ϕ ∂f ZZZZ1∂ϕ ∂n ∂n dS = lim 1limdS−limϕ dS.(10) ϕε→0 εε→0ε→0 ε2f ∂nr=εr=εr=εКаждое из слагаемых, стоящих в правой части равенства (10), вычислим отдельно.Подынтегральная функция в первом слагаемом допускает оценку ∂ϕ = |∇ϕ · n| ≤ |∇ϕ| · |n| = |∇ϕ| ≤ C = const.
∂n Поэтому само первое слагаемое равно нулю:ZZZZ ZZ ∂ϕ ∂ϕ 1CC lim 1dS ≤ limlimdS = lim 4πε2 = 0. ∂n dS ≤ ε→0ε→0 εε→0 ε∂n ε→0 εεr=εr=εr=εПоскольку ϕ непрерывна, то из теоремы о среднем следует, что насфере r = ε существует точка (xε , yε , zε ) такая, чтоZZZZϕ dS = ϕ(xε , yε , zε )dS = ϕ(xε , yε , zε ) · 4πε2 .r=εr=εУчитывая, что (xε , yε , zε ) → 0 при ε → 0, отсюда заключаем, что второеслагаемое в правой части формулы (10) равно −4πϕ(0, 0, 0) = (−4πδ, ϕ).Суммируя изложенное, получаем, что для любой основной функцииϕ : R3 → R справедливо равенство(∆f, ϕ) = −4π(δ, ϕ).28Следовательно,f1∆ −= δ.=∆ − p4π4π x2 + y 2 + z 2pФункция (x, y, z) 7→ −1/(4π x2 + y 2 + z 2 ) называется фундаментальным решением трёхмерного оператора Лапласа.
Важность последнегопонятия будет выяснена ниже.ЗадачиДокажите следующие равенства в D′ (R2 ):53. p 2∂2∂+ 2 ln x2 + y 2 = 2πδ(x, y).∂x2∂yДругими словами, докажите, что функция (2π)−1 ln r является фундаментальным решением двумерного оператора Лапласа.54.∂2F(x, y) = δ(x, y),∂x∂yгде F (x, y) = H(x)H(y) является произведением функций Хевисайда.Другими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением дифференциального оператора ∂ 2 /∂x∂y.55.1 ∂2F∂2F−= δ(x, y),a2 ∂x2∂y 2где a — некоторая положительная постоянная, а(a/2, если a2 x2 − y 2 ≥ 0 и x ≥ 0,F (x, y) =0,в противном случае.Другими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением одномерного волнового оператора a−2 ∂ 2 /∂x2 − ∂ 2 /∂y 2 .56.∂2F∂2F−= δ(x − 1, y) − δ(x, y − 1) + δ(x + 1, y) − δ(x, y + 1),∂x2∂y 2где F (x, y) = 1, если |x| + |y| ≤ 1 и F (x, y) = 0 в противном случае.57.2H(t)∂F∂2F= δ(t, x), где F (x, y) = √ e−x /4t .−2∂t∂x2 πtДругими словами, докажите, что функция F является фундаментальным решением одномерного оператора теплопроводности ∂/∂t−∂ 2/∂x2 .29§ 7.
Свёртка обобщённых функцийНаводящие соображения, относящеся к свёртке обобщённых функций, выглядят так. Пусть f и g — быстро убывающие функции в Rnи ϕ — пробная функция. Тогда, последовательно используя известныйвам факт коммутативности свёртки быстро убывающих функций, определение свёртки быстро убывающих функций, законность перемены интегрирования в интеграле от быстро убывающих функций и линейнуюзамену переменных x − y = z, можем написать так:Z ZZ(f ∗g, ϕ) = (g∗f, ϕ) = (g∗f )(x)ϕ(x) dx =g(x−y)f (y) dy ϕ(x) dx =Rn RnRn=ZRnZZZf (y)g(x − y)ϕ(x) dx dy = f (y)g(z)ϕ(y + z) dz dy =RnRnRn= (f (y), (g(z), ϕ(y+z))).То есть мы видим, что для вычисления действия свёртки f ∗ g на пробную функцию, необходимо подействовать функцией f на результат действия функцией g на сдвинутую пробную функцию.Как обычно, мы примем это установленое нами для «хороших» функций свойство в качестве определения, справедливого для всех обобщённых функций.
А именно: пусть F и G — обобщённые функции в Rn ,причём для любой пробной функции ϕ ∈ D(Rn ) функцияy 7→ (G(z), ϕ(y + z)) также является пробной. В этом случае свёрткойфункций F и G называют новую обобщённую функцию F ∗ G, которая действует на любую основную функцию ϕ ∈ D(Rn ) по правилу(F ∗ G, ϕ) = (F (y), (G(z), ϕ(y + z))).Отметим, что если функция y 7→ (G(z), ϕ(y + z)) не является пробной, то свёртка F ∗ G не может быть определена для любой обобщённойфункции F . Вместе с тем для некоторых «удачно подобранных» F может оказаться, что свёртка определена корректно даже в этом случае.Свойства свёртки обобщённых функций.1) Для любой обобщённой функции F определена её свёрткас δ-функцией.
При этом F ∗ δ = F .Доказательство вытекает непосредственно из определения:(F ∗ δ, ϕ) = (F (y), (δ(z), ϕ(y + z))) = (F (z), ϕ(z)).2) Свёртка линейна по первому аргументу, т. е. для любых чисел a1 ,a2 и обобщённых функций F1 , F2 и G, таких, что определены свёрткиF1 ∗ G и F2 ∗ G, определена также свёртка (a1 F1 + a2 F2 ) ∗ G, причёмимеет место равенство (a1 F1 + a2 F2 ) ∗ G = a1 (F1 ∗ G) + a2 (F2 ∗ G).30Доказательство получается прямым вычислением:((a1 F1 +a2 F2 )∗G, ϕ) = ((a1 F1 +a2 F2 )(y), (G(z), ϕ(y+z))) == a1 (F1 (y), (G(z), ϕ(y + z))) + a2 (F2 (y), (G(z), ϕ(y + z))) == a1 ((F1 ∗ G), ϕ) + a2 ((F2 ∗ G), ϕ) = (a1 (F1 ∗ G) + a2 (F2 ∗ G), ϕ).3) Свёртка коммутативна, т.
е. для любых обобщённых функций Fи G таких, что определены свёртки F ∗ G и G∗ F , имеет место равенствоF ∗ G и G ∗ F.Доказательство требует введения новых понятий — таких, например, как носитель обобщённой функции. Для первого знакомства с теорией обобщённых функций представляется более разумным не углубляться в этом месте в детали, а принять свойство 3 без доказательства,что мы и делаем.4) Для того чтобы продифференцировать свёртку, достаточно продифференцировать любой из сомножителей. Другими словами, еслидля обобщенных функций F и G определена свёртка F ∗ G, то для любого мультииндекса α определены также свёртки (Dα F )∗ G и F ∗ (Dα G)и имеет место равенство Dα (F ∗ G) = (Dα F ) ∗ G = F ∗ (Dα G).Доказательство вновь вытекает из прямого вычисления:(Dα (F ∗G), ϕ) = (−1)|α| (F ∗G, Dα ϕ) = (−1)|α| (F (y), (G(z), Dα ϕ(y+z))) == (F (y), (Dα G(z), ϕ(y + z))) = ((F ∗ Dα G), ϕ).Следовательно, Dα (F ∗G) = F ∗(Dα G) и мы доказали одно из равентствсвойства 4.
Другое равенство вытекает из уже доказанного с учётомкоммутативности свёртки.Замечание. Свёртка обобщённых функций, вообще говоря, не ассоциативна, т. е. равенство (F1 ∗ F2 ) ∗ F3 = F1 ∗ (F2 ∗ F3 ) выполняетсяне всегда. В качестве примера можно взять F1 = 1 (функция, тождественно равная единице), F2 = δ ′ (производная δ-функции) и F3 = H(функция Хевисайда).Тогда, с одной стороны, (F1 ∗F2 , ϕ)=(1, (δ ′ (z), ϕ(y +z)))=−(1, ϕ′ (y)) == (1′ , ϕ) = (0, ϕ), а значит свёртка F1 ∗ F2 определена и равна нулю.Следовательно, (F1 ∗ F2 ) ∗ F3 = 0 ∗ H = 0.С другой стороны, (F2 ∗ F3 , ϕ) = (δ ′ ∗ H, ϕ) = (H ∗ δ ′ , ϕ) == (H(y), (δ ′ (z), ϕ(y + z))) = −(H(y), ϕ′ (y)) = (H ′ , ϕ) = (δ, ϕ), значит свёртка F2 ∗ F3 также определена и равна δ-функции.
При этомF1 ∗ (F2 ∗ F3 ) = 1 ∗ δ = 1.Наконец, поскольку 0 6= 1, то (F1 ∗ F2 ) ∗ F3 6= F1 ∗ (F2 ∗ F3 ).31ЗадачиВычислите следующие свёртки в D′ (R):58. δ(x − a) ∗ F (x), где F ∈ D′ (R).59. δ(x − a) ∗ δ(x − b).60. δ (m) ∗ F , где F ∈ D′ (R).61. δ ′′ (x) ∗ |x|.62. Докажите, что свёртка инвариантна относительно сдвига, т. е.F (x + h) ∗ G(x) = (F ∗ G)(x + h) для любых F, G ∈ D′ (Rn ) и h ∈ Rn .63.
Пусть f и g локально интегрируемы в R, причём f (x) = g(x) = 0для всех x < 0. Докажите, что свёртка f ∗ g определена и задаётсяформулойZx(f ∗ g)(x) = H(x) f (y)g(x − y) dy.0Вычислите следующие свёртки в D′ (R):64. H ∗ H.65. H(x) ∗ (xH(x)).66. (x2 H(x)) ∗ (H(x) sin x).67. (H(x) sin x) ∗ (H(x)sh x).68. H(a − |x|) ∗ H(a − |x|).§ 8. Решение дифференциальных уравнений в пространствеобобщённых функций. Теорема о фундаментальном решениилинейного обыкновенного дифференциального оператораЛинейным дифференциальным оператором порядка k с бесконечнодифференцируемыми коэффициентами в области G ⊂ Rn называетсявыражениеdef Xaα (x)Dα ,(11)L =|α|≤kгде суммирование ведётся по всем мультииндексам порядка ≤ k,aα : G → R — бесконечно дифференцируемая функция, причём хотябы для одного мультииндекса α порядка k функция aα не равняетсянулю тождественно и Dα — производная порядка α.32Линейный дифференциальный оператор (11) действуетна обобщёнPαную функцию F ∈ D′ (G) по правилу LF =a(x)DF .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
