1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Мы заменили рутинное обоснование,скажем, законности дифференцирования интеграла по параметру принципиально новой точкой зрения и выиграли: теперь мы понимаем, чтонадо лишь интерпретировать изучаемую функцию как обобщённую, тогда пробразование Фурье от неё наверняка есть и нам остаётся лишьинтерпретировать его как «обычную» функцию; если же в ответе мыполучили сингулярную обобщённую функцию, то ничего не поделаешь:каков вопрос, таков ответ.ЗадачиДокажите следующие равенства в S′ (Rn ):75. F± [δ(x)] = (2π)−n/2 .76. F± [1] = (2π)n/2 δ(x).77. F± [δ(x − x0 )](y) = (2π)−n/2 e∓i(x0 ,y) .78. F± [ei(x0 ,x) ](y) = (2π)n/2 δ(y − x0 ).79. F± [Dα δ(x)](y) = (2π)−n/2 (±iy)α .80.
F± [xα ](y) = (2π)n/2 (±i)|α| Dα δ(y).81. F± [F (−x)](y) = F∓ [F (x)](y) = F± [F (x)](−y).42Найдите прямое и обратное преобразования Фурье следующих функций из S′ (R):82. δ (k) (x).83. xk .84. H(x)e−ax , где a > 0.85. H(x).86. H(−x).87. sign x.88. |x|.89. sin x.90. sin |x|.43Ответы и указания7. Указ.: Обратите внимание, что для обоснования законности предельного перехода в возникающем условно сходящемся интеграле теоремы о мажорированной сходимости недостаточно. Найдите подходящуютеорему у Г. М. Фихтенгольца.
10. Указ.: Используйте формулы Сохоцкого. 11. Указ.: Используйте формулы Сохоцкого. 12. δ-Функцияи функция Хевисайда соответственно. 28. Указ.: Фиксируйте пробнуюфункцию ϕ0 такую, что ϕ0 (0) = 1, и представьте произвольную пробную функцию ϕ в виде ϕ(x) = cϕ0 (x)+ϕ1 (x), где c — некоторая постоянная, а ϕ1 — некоторая пробная функция такая, что ϕ1 (0) = 0. 31. δ ′ (x).32. δ ′′ (x). 36. δ (k−1) (x). 37.
sign (x) при k = 1 и 2δ (k−2) (x) при k ≥ 2.P+∞P+∞38. 2 j=−∞ (−1)j δ k−1 (x − πj). 39. 2 j=−∞ (−1)j+1 δ k−1 (x − π/2 − πj).42. f ′ (x) = H(x) и f (k) (x) = δ (k−2) (x) при k ≥ 2. 43. f ′ (x) = H(x) cos xP[k/2]и f (k) (x)= j=1 (−1)j−1 δ (k−2j) (x)+H(x)(sin x)(j) при k ≥ 2, где [k/2] —целая часть числа k/2. 44. f ′ (x) = δ(x) − H(x) sin x и f (k) (x) =P[(k+1)/2]= j=1(−1)j−1 δ (k−2j+1) (x) + H(x)(cos x)(j) при k ≥ 2. 45. f ′ (x) =2= 2xH(1−x )+δ(x−1)−δ(x+1), f ′′ (x) = 2H(1−x2 )−2δ(x+1)−2δ(x−1)+P32[(−1)j−1 δ (k−j) (x+1)−δ (k−j) (x−+δ ′ (x+1)−δ ′′ (x−1), f (k) (x) = j=1 (3−j)!−1)] при k≥3. 58.
F (x−a). 59. δ(x−a−b). 60. F (m) . 61. 2δ(x). 64. xH(x).65. x3 H(x)/3. 66. H(x)(x2 −4 sin2 x/2). 67. H(x)(sh x−sin x)/2). 68. (2a−−|x|)H(2a − |x|). 69. H(x)eλx . 70. H(x)(sin λx)/λ. 71. H(x)eλx xk−1 /(k−2−1)!. 72. H(x)e−x /2 . 73. H(x) sin x. 74. (а) Скачок равен 1. (г) f (x) =RxR +∞= cos x 0 g(y) sin y dy + sin x x g(y) cos y dy, G(x, y) = sin x cos y, ес√ли 0 < x√< y и G(x, y) = siny cos x, если 0 < y < x. 82. ±(iy)k / 2π.√i83. (∓i)k 2πδ (k) (y).
84. 1/[ 2π(a±iy)]. 85. F+ [H(x)](y) = − √2π(y−i0)=pπp1π1iii= 2 δ(y)− √2π P y и F− [H(x)](y) = √2π(y+i0) = 2 δ(y)+ √2π P y . Указ.:Воспользуйтесь непрерывностью преобразования Фурье, результатамипредыдущей задачи=p и формулами Сохоцкого. 86. F+ [H(−x)](y)ii= − π2 δ(y) + √i2π P y1 и F− [H(−x)](y) = − √2π(y−i0)== √2π(y+i0)p= π2 δ(y) − √i2π P y1 . 87. F± [sign x](y) = ∓ π2 P y1 . Указ.: Воспользуйтесьравенством sign (x)− 1 или sign (x) = H(x) − H(−x).q = 2H(x) q112 d288. F± [|x|](y) =π dy P y = −π P x2 . Указ.: Воспользуйтесь равенством |x| = xsign x и результатами предыдущейзадачи. 89. F± [sin x](y)== ±i π2 [δ(y ±1)−δ(y ∓1)].
90.√√2π311P y±1. Указ.: Воспользуйтесь−P y∓1равенством sin |x| = (sin x)(sign x).44Предметный указательδ-Функция 8— сдвинутая 16Решение фундаментальное, трёхмерного оператора Лапласа 29Диполь электрический 23— —, точечный 24Свёртка обобщённых функций 30Скачок функции 22Ступенька единичная 21Сходимость в S(Rn ) 40— основных функций 6— последовательности обобщённых функций 11Замена переменной, нелинейная 16— переменных, линейная 16Метод функции Грина 37Момент дипольный 23Теорема вложения 36— о связи классической и обобщённойпроизводных кусочно-гладкойфункции 22Носитель функции 5Оператор гипоэллиптический 35— импульса 36— Лапласа 26— линейный дифференциальный 32Умножение обобщённых функций 20Формула Грина 27Формулы Сохоцкого 9Функционал 6— линейный 6— непрерывный 6Функция Бесселя 15— Грина 37— обобщённая 6— —, регулярная 8— —, сингулярная 8— —, медленного роста 40— основная 5— пробная 5— Хевисайда 21Плотность заряда точечного электрического диполя 23Последовательность функцийδ-образная 12Производная классическая 22— обобщённая 22— обобщённой функции 21Пространство Соболева 35— Lp (G) 35— Wpl (G) 36Решение фундаментальное, дифференциального оператора 3345ОглавлениеПредисловие .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 1. Пространства основных и обобщённых функций.Формулы Сохоцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. Сходимость обобщённых функций.Дельта-образные последовательности . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. Замена переменных в обобщённых функциях . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. Умножение обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 5. Дифференцирование обобщённых функций.Плотность заряда электрического диполя. Теорема о связиклассической и обобщённой производных . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .§ 6. Вычисление фундаментального решениятрёхмерного оператора Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 7. Свёртка обобщённых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 8. Решение дифференциальных уравнений в пространствеобобщённых функций. Теорема о фундаментальном решениилинейного обыкновенного дифференциального оператора. . . . .§ 9. Преобразование Фурье обобщённых функциймедленного роста . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ответы и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .463511151921263032384445.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
