1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Выше мы научились умножать любую обобщённуюфункцию на бесконечно дифференцируемую. Может случиться, что результат действия данной конкретной обобщённой функции F на произведение aϕ корректно определён для любой основной функции ϕ, хотяa и не является бесконечно дифференцируемой (это верно, например,в отношении δ-функции и произвольной непрерывной функции a).Тогда говорят, что формула (aF, ϕ) = (F, aϕ) всё равно определяет умножение F на a.
Однако значительно более важным является следующее наблюдение: во всём пространстве обобщённых функций нельзяопределить операцию умножения двух функций так, чтобы она былакоммутативна, ассоциативна и совпадала с ранее введённой операциейумножения для бесконечно дифференцируемых функций. Действительно, если бы такая операция существовала, то на основании примера 1мы бы получили (xδ(x))P 1x = 0 · P x1 = 0. С другой стороны, пользуясьпоследовательно коммутативностью и ассоциативностью умножения ипримером 2, мы бы получили (xδ(x))P 1x = (δ(x)x)P x1 = δ(x)(xP 1x ) == δ(x) · 1 = δ(x). Тем самым мы бы пришли к противоречию, посколькуδ(x) 6= 0.Задачи25.
Докажите равенства1= 1.x ± i026. Докажите, что для любого натурального m в D′ (R) справедливоравенство xm P x1 = xm−1 .x·2027. PДокажите, что при любом выборе постоянных ck функция+∞F (x) = k=−∞ ck δ(x−πk) является решением уравнения (sin x)F (x) = 0.28. Докажите, что для того, чтобы обобщённая функция F ∈ D′ (R)удовлетворяла соотношению xF = 0, необходимо и достаточно, чтобыF была пропорциональна δ-функции, т. е. чтобы нашлась постояннаяC такая, что F = Cδ.§ 5. Дифференцирование обобщённых функций.Плотность заряда электрического диполя.
Теорема о связиклассической и обобщённой производныхВновь начнём с наводящих соображений: если функция f : R → Cнепрерывно дифференцируема, а функция ϕ : R → C пробная, то наосновании формулы интегрирования по частям получаем+∞+∞+∞ ZZ′(f , ϕ) =f (x)ϕ(x) dx = f (x)ϕ(x)−f (x)ϕ′ (x) dx = −(f, ϕ′ ).′−∞−∞−∞Внеинтегральный член здесь равен нулю, поскольку функция ϕ тождественно зануляется вне некоторого конечного промежутка.Указанные наводящие соображения придают смысл следующемуопределению. Пусть G — область в Rn и α — некоторый мультииндекс.Производной порядка α обобщённой функции F ∈ D′ (G) называется новая обобщённая функция Dα F , которая действует на любую основнуюфункцию ϕ ∈ D(G) по правилу (Dα F, ϕ) = (−1)|α| (F, Dα ϕ).Пример 1: производная одномерной δ-функции сопоставляет пробной функции минус значение её производной в нуле.
В самом деле,(δ ′ , ϕ) = −(δ, ϕ′ ) = −ϕ′ (0).Аналогично (δ (k) , ϕ) = (−1)k ϕ(k) (0).Функция Хевисайда, или единичная ступенька, определяется равенством(0, если x < 0,H(x) =1, если x > 0.Обратите внимание, что мы вообще никак не определяем эту функциюв нуле. Дело в том, что мы намерены трактовать функцию Хевисайда как регулярную обобщённую функцию, т. е. нас будет интересоватьзначение интеграла от произведения функции Хевисайда на основнуюфункцию. Значение же интеграла не зависит от того, как именно мыопределим подынтегральную функцию в одной точке (и даже — на множестве меры нуль).21Пример 2: производная функции Хевисайда равна δ-функции, т.
е.H ′ = δ. Действительно,+∞+∞ZZ′ϕ′ (x) dx =(H , ϕ) = −(H, ϕ ) = −H(x)ϕ (x) dx = −′′−∞0+∞= −ϕ(x)= ϕ(0) = (δ, ϕ).0Основная идея последнего примера может быть без особых проблемраспространена на все кусочно-гладкие функции, с которыми вы знакомы по темам «Ряды Фурье» и «Преобразование Фурье». Отсылая читателя к этим темам за формальным определением, напомним, что функция f : R → C называется кусочно-гладкой, если найдётся конечноеили счётное множество точек x1 , x2 , .
. . , xk , . . . , не имеющее конечныхпредельных точек в R и такое, что на каждом из открытых интервалов (xk , xk+1 ) функция f непрерывно дифференцируема, а в каждойконцевой точке xk имеет не только конечные пределы как слева, так исправа, но и некоторые специальные пределы, похожие на производныеслева и справа (что, впрочем, сейчас нам не потребуется).Каждую кусочно-гладкую функцию f : R → C можно, конечно,трактовать как регулярную обобщённую функцию. Производную этойобобщённой функции будем для ясности называть обобщённой произ′. Помимо этого, свяжем с f иводной функции f и обозначать через fоб′её классическую производную fкл , полагая во всех точках x 6= xk′fкл(x) = limh→0f (x + h) − f (x)h′и считая, что функция fклвообще никак не определена в точках x = xk .Наконец, в каждой точке x = xk определим скачок функции f какразность пределов функции справа и слева в этой точке, т.
е. положим[f ]xk = f (xk + 0) − f (xk − 0) = lim f (xk + h) − lim f (xk − h).h→+0h→+0Теорема (о связи классической и обобщённой производных кусочногладкой функции). Для всякой кусочно-гладкой функции f : R → Cсправедливо равенствоX′′fоб(x) = fкл(x) +[f ]xk δ(x − xk ).(5)k22Доказательство. Пусть ϕ ∈ D(R).
Тогдаxk+1+∞ZX Z′(fоб, ϕ) = −(f, ϕ′ ) = −f (x)ϕ′ (x) dx = −f (x)ϕ′ (x) dx.k−∞(6)xkСуммирование по k в формуле (6) достаточно вести лишь для интервалов (xk , xk+1 ), пересекающихся с отрезком [−R, R], вне которогофункция ϕ обращается в тождественный нуль. Но таких интервалов(xk , xk+1 ) может быть лишь конечное число (иначе последовательностьx1 , x2 , . . . , xk , . . .
имела бы конечную предельную точку, что невозможно). Поэтому вопроса сходимости в формуле (6) не возникает.Вместе с тем ясно, что если мы расширим список x1 , x2 , . . . , xk , . . . ,добавив к нему «дополнительную» точку xp (не являющуюся ни точкой разрыва f , ни точкой её излома), то формула (5) не изменится(поскольку [f ]xp = 0). Следовательно, мы можем заранее добавить две«далёкие» дополнительные точки xp так, чтобы те замкнутые отрезки[xk , xk+1 ], по которым ведётся интегрирование в (6), покрывали отрезок[−R, R].Применив к каждому из интервалов (xk , xk+1 ) формулу интегрирования по частям и перегруппировав внеинтегральные слагаемые, можемпродолжить равенство (6) следующим образом:xk+1xk+1 −0 xZk+1X ZX′′−f (x)ϕ (x) dx = −f (x)ϕ(x)fкл (x)ϕ(x) dx =−kxk +0kxkxk+∞ZX′=fкл(x)ϕ(x) dx +[f (xk + 0) − f (xk − 0)]ϕ(xk ) =−∞kX′= fкл (x) +[f ]xk δ(x − xk ), ϕ(x) .kP′′(x) + k [f ]xk δ(x − xk )Таким образом, обобщённые функции fоби fклодинаково действуют на любую пробную функцию, а значит совпадают.Следующий пример устанавливает ещё один мостик между математическим формализмом, позволяющим строго доказывать разнообразные соотношения для обобщённых функций, и физическими объектами.Пример (плотность заряда точечного электрического диполя).
Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по величине, но разноимённых точечных зарядов ±ε, расположенных на расстоянии l друг от друга. При этом вектор, направленный от23−ε к +ε и равный по величине p = εl, называется дипольным моментом электрического диполя. Элементарным, или точечным, электрическим диполем называется предельная система c l → 0 и ε → +∞ приконечном p.Мы уже знаем, что плотность заряда, сосредоточенного в одной точке, задаётся сдвинутой δ-функцией. Поэтому если заряд +ε сосредоточен в нуле, а заряд −ε сосредоточен в точке l, то плотность электрического заряда такой системы, очевидно, задаётся формулой εδ(x)−−εδ(x−l).
Чтобы найти плотность заряда точечного электрического диполя нужно перейти в последней формуле к пределу при l → 0, считая,что p = εl остаётся постоянным:lim (εδ(x) − εδ(x − l)), ϕ(x) = lim (εδ(x) − εδ(x − l), ϕ(x)) =l→0εl = p=l→0εl = pplim [εϕ(0) − εϕ(l)] = lim [ϕ(0) − ϕ(l)] = p[−ϕ′ (0)] = (pδ ′ (x), ϕ(x)).l→0 ll→0εl = pТаким образом, мы можем сказать, что pδ ′ (x) является плотностью заряда точечного электрического диполя с дипольным моментом p, сосредоточенного в начале координат.Задачи29.
Докажите равенство δ ′ (−x) = −δ ′ (x).30. Для любой обобщённой функции F ∈ D′ (R) докажите равенствоF (x + h) − F (x).h→0hНайдите следующие пределы в D′ (R):31.δ(x + h) − δ(x − h).2h32.δ(x + 2h) + δ(x − 2h) − 2δ(x).4h233. Докажите, что в D′ (R) для любых натуральных k и m справедливы равенства(m!δ (m−k) , если 0 ≤ k ≤ m,(−1)k (m−k)!k (m)x δ (x) =0,если k > m.F ′ (x) = limВ частности проверьте равенство xδ ′ (x) = −δ(x).2434.
Докажите, что обобщённые функции δ, δ ′ , δ ′′ , . . . , δ (k) линейнонезависимы над полем комплексных чисел.35. Докажите, что если функция a бесконечно дифференцируемав R, то для любой обобщённой функции F ∈ D′ (R) справедлива формула Лейбница для дифференцирования произведения aF :nn−mXdn (aF )a dm Fmd=C·,ndxndxn−m dxmm=0где Cnm — число сочетаний из n по m. В частности, докажите справедливость формулы (aF )′ = a′ F + aF ′ .Вычислите f (k) , k ≥ 1, для следующих функций:36. f (x) = H(x).37.
f (x) = |x|.38. f (x) = sign sin x.39. f (x) = sign cos x.Докажите равенства40.| sin x|′′ + | sin x| = 241.| cos x|′′ + | cos x| = 2+∞Xj=−∞+∞Xj=−∞δ(x − πj).δ x−π− πj .2Найдите все производные следующих функций:42. f (x) = xH(x).43. f (x) = H(x) sin x.44. f (x) = H(x) cos x.45. f (x) = x2 H(1 − x2 ).Докажите равенства46.1dln |x| = P .dxx47.1d 1P = −P 2 ,dx xx25где+∞Z1ϕ(x) − ϕ(0)P 2 , ϕ = v. p.dx.xx2−∞48. Докажите, что для любого натурального m в D′ (R) справедливоравенство+∞+∞XX(2πik)m e2πikx =δ (m) (x − k).k=−∞k=−∞Докажите, что стоящие справа обобщённые функции являются решениями в D′ (R) следующих уравнений при произвольном выборе параметров c1 , c2 , c3 :49.xF ′ = 1,F (x) = c1 + H(x) + ln|x|.50.1xF ′ (x) = P ,x1F (x) = c1 + c2 H(x) − P .x51.1F (x) = c1 + c2 H(x) + c3 δ(x) − P .xP∞(k)(x − k) сходится в D′ (R) при52. Докажите, что рядk=1 ck δлюбых постоянных ck .x2 F ′ (x) = 1,§ 6.
Вычисление фундаментального решениятрёхмерного оператора ЛапласаКак известно, оператор Лапласа в n-мерном евклидовом пространстве Rn сопоставляет каждой дважды непрерывно дифференцируемойфункции u : Rn → R числоdef∆u =∂2u∂ 2u ∂ 2 u+ 2 + ··· + 2 .2∂x1∂x2∂xnИзучая тему «Замена переменных в дифференциальных выражениях» в рамках курса математического анализа вы убедились, что в сферических координатах в R3 оператор Лапласа принимает вид1∂u1∂∂2u1 ∂2 ∂ur+ 2sin θ+ 2 2∆u = 2.(7)r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ226Напомним также следующую формулу Грина, известную вам из курса математического анализа:ZZZ Z Z ∂u ∂v ∆u ∆v dxdydz = ∂n ∂n dS, u uv v VSгде V — ограниченная область в R3 , S — её граница, которая предполагается гладкой поверхностью, n — единичный вектор внешней нормалив точках границы области V , ∂u/∂n = ∇u · n — производная функцииu в направлении вектора n.Положим11=f (x, y, z) = p222rx +y +zи вычислим ∆f в смысле теории обобщённых функций.Прежде всего, заметим, что для r 6= 0 формула (7) даёт 11 ∂r2 − 2= 0.∆f = 2r ∂rrФиксируем некоторую пробную функцию ϕ : R3 → R и обозначимчерез R такое положительное число, что ϕ обращается в тождественныйнуль вне шара x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
