1611689570-32ea9088e94c8b0fb99761dcf9753f13 (826872), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Напомним, чтоf ∈ L1,loc (G), если у Rкаждой точки x0 из G существует окрестность Uтакая, что интеграл U |f (x)| dx конечен. Каждая «обычная» функцияf ∈ L1,loc (G) порождает обобщённую функцию по правилуF (ϕ) =Zf (x)ϕ(x) dx.(1)GДля этого прежде всего убедимся, что интеграл в формуле (1) сходится. Функция ϕ непрерывна и принимает ненулевые значения лишь накомпактном множестве supp ϕ.

По теореме Вейерштрасса о наибольшемзначении, модуль этой функции достигает своего наибольшего значенияв некоторой точке множества supp ϕ, а значит существует постояннаяC < +∞ такая, что |ϕ(x)| < C для всех x ∈ G.С другой стороны, так как f ∈ L1,loc (G), то у каждой точкиx0 изRG существует открытая окрестность U такая, что интеграл U |f (x)| dxконечен.

В частности, эти окрестности U образуют открытое покрытиекомпактного множества supp ϕ. Одно из важнейших свойств компактных множеств состоит как раз в том, что из всякого открытого покрытия компактного множества можно выделить конечное подпокрытие.Пусть U1 , U2 , . . . , UN — такое конечное подпокрытие для supp ϕ. Тогдамы можем написатьZZ f (x)ϕ(x) dx ≤Gsupp ϕ|f (x)ϕ(x)| dx ≤ CN ZXj=1 U|f (x)| dx < +∞.jЧто доказывает сходимость интеграла в формуле (1).Линейность функционала F , определённого формулой (1), очевиднаввиду линейности интергала. Непрерывность F может быть доказанабез особого труда с использованием подходящей теоремы о предельномпереходе под знаком интеграла.Однако для упрощения изложения мы будем систематически избегать рассуждений, связанных с проверкой непрерывности возникающих у нас обобщённых функций, оставляя их заинтересованному читателю.

Некоторым оправданием такой позиции может служить тотфакт, что все известные примеры разрывных линейных функционалов,7определённых на всём пространстве, строятся с помощью так называемой аксиомы выбора и задаются довольно хитроумными неявными конструкциями. Вот почему в дальнейшем мы без комментариев будем считать, что если линейный функционал определён во всём пространствеD(G), то он непрерывен, каждый раз оставляя подробное доказательство вдумчивому читателю.Обобщённая функция F называется регулярной, если для неё найдётся «обычная» функция f ∈ L1,loc , которая порождает F по формуле (1).Обобщённая функция, не являющаяся регулярной, называется сингулярной.В следующих трёх примерах строятся наиболее важные сингулярноеобобщённые функции.Пример 2 (δ-функция Дирака). Зададим функционал δ : D(Rn ) → Cс помощью формулы δ(ϕ) = ϕ(0).Линейность и непрерывность функционала, заданного такой формулой, очевидны.

Тем самым мы определили некоторую обобщённуюфункцию, впервые построенную одним из основоположников квантовой механики английским физиком-теоретикомП. А. М. Дираком.R +∞Пример 3. Допустим, что интеграл −∞ f (x) dx имеет особые точки −∞, x1 , x2 , . . . , xN , +∞ (т. е. плюс-минус бесконечность и все точки, в окрестности которых подынтегральная функция неограничена).R +∞Напомним, что интеграл в смысле главного значения v. p. −∞ f (x) dxопределяется как следующий предел собственных интегралов:+∞Zv.

p.f (x) dx =−∞=limR → +∞ε1 , . . . , εN → +0 xZ1 −ε1N−1Xf (x) dx +j=1−Rxj+1Z−εj+1xj +εjf (x) dx +ZRxN +εNf (x) dx .Другими словами, надо у каждой особой точки вырезать симметричную окрестность, по оставшемуся множеству подсчитать собственныйинтергал, а затем устремить размеры удалённых окрестностей к нулю.Определим линейный непрерывный функционал P x1 : D(R) → C формулой+∞+∞ZZ1ϕ(x)ϕ(x) − ϕ(0)dx = v. p.dx.P , ϕ = v. p.xxx−∞8−∞Тот факт, что последнее равенство в этой формуле действительно имеетместо для всех основных функций ϕ, мы оставляем читателю в качествеупражнения.Пример 4.

Определим ещё две сингулярные обобщённые функции,соответствующие выбору либо верхнего, либо нижнего знака, по формуле+∞Z1ϕ(x), ϕ = limdx.ε→0+x ± i0x ± iε−∞Следующая теорема даёт нам пример одного из тех симпатичныхсоотношений с участием δ-функции, которые используются в квантовой механике, и показывает, как это соотношение может быть строгодоказано в рамках изучаемого нами подхода к обобщённым функциям.Теорема (формулы Сохоцкого). Справедливы соотношения11= ∓iπδ + P .x ± i0xДоказательство. Фиксируем основную функцию ϕ ∈ D(R). Пустьона зануляется для всех x ∈ R таких, что |x| > R.

Тогда по определениюобобщённой функции 1/(x + i0) имеем+∞ZZR1ϕ(x)ϕ(x), ϕ = limdx = limdx =ε→0+ε→0+x + i0x + iεx + iε−∞−RВ числителе прибавим и вычтем число ϕ(0), а затем избавимся от мнимых значений в знаменателе, для чего умножим и разделим подынтегральное выражение на x − iε. Получим= ϕ(0) limZRε→0+−Rx − iεdx + limε→0+x2 + ε2ZRx − iε[ϕ(x) − ϕ(0)] dx.x2 + ε2(2)−RПодсчитаем порознь интегралы, фигурирующие в формуле (2).Поскольку интеграл от нечётной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, равен нулю, тоZR−Rx2xdx = 0.+ ε29Следующий интеграл легко находится по формуле Ньютона—Лейбница.

Это даётlimZRε→0+−RR−iεdx = −2i lim arctg= −iπ.ε→0+x2 + ε2εНаконец, в последнем интеграле в формуле (2) перейдём к пределупод знаком интеграла:limZRε→0+−Rx − iε[ϕ(x) − ϕ(0)] dx =x2 + ε2ZR−R= v. p.ϕ(x) − ϕ(0)dx =x+∞Z−∞ϕ(x) − ϕ(0)dx =x1P ,ϕ .xПереход к пределу под знаком интеграла при ε → 0 возможен, поскольку из неравенства |x| ≤ |x + iε|, справедливого для всех вещественныхx и ε, вытекает |[ϕ(x) − ϕ(0)]/(x + iε)| ≤ |[ϕ(x) − ϕ(0)]/x|. Доопределив последнюю функцию в нуле как |ϕ′ (0)|, мы получим непрерывную(а значит интегрируемую на конечном промежутке [−R, R]) функцию,мажорирующую подынтегральное выражение.Учитывая проделанные вычисления, можем продолжить равенство(2) следующим образом: 111, ϕ = −iπϕ(0) + P , ϕ = −iπδ + P , ϕ .x + i0xxПоследнее равенство показывает, что обобщённые функции (т.

е. линейные функционалы) 1/(x+i0) и −iπδ+P x1 одинаково действуют на любуюосновную функцию. Значит эти обобщённые функции равны между собой.Формула Сохоцкого, отвечающая выбору знака «минус», доказывается аналогично.Задачи1. Пользуясь техникой интегралов, зависящих от параметра, строгообоснуйте тот факт, что линейные функционалы, построенные в примерах 1, 3 и 4, являются непрерывными.2. Докажите, что δ-функция является непрерывным линейным функционалом на пространстве основных функций.103. Докажите, что для всякой основной функции ϕ справедливо равенство+∞+∞ZZϕ(x)ϕ(x) − ϕ(0)v. p.dx = v. p.dx.xx−∞−∞§ 2. Сходимость обобщённых функций.Дельта-образные последовательностиВ этом и последующих параграфах нам предстоит дать определениятем или иным операциям над обобщёнными функциями, которые вамизвестны для «обычных» функций.

Речь идёт об операциях предельногоперехода, замены переменных, умножения, дифференцирования, нахождения свёртки или преобразования Фурье и т. п. В такой ситуации мыбудем каждый раз придерживаться одной и той же схемы — прослеживать, как известная вам для «обычных» функций операция может бытьпереформулирована в виде действия регулярной обобщённой функциина произвольную основную, а затем (уже для всех обобщённых функций, в том числе сингулярных) принимать получившееся тождество заопределение. Первую часть этой схемы мы будем называть наводящимисоображениями.Наводящие соображения относительно сходимости функций выглядят так.

Если последовательность f1 , . . . , fk , . . . функций классаL1,loc (G) сходится к некоторой функции f класса L1,loc (G), то несложно показать, что для любой основной функции ϕ ∈ D(G) справедливосоотношениеZZ(fk , ϕ) = fk (x)ϕ(x) dx →f (x)ϕ(x) dx = (f, ϕ).k→∞GGС учётом сказанного естественно принять следующее определение.Говорят, что последовательность F1 , . . .

, Fk , . . . обобщённых функцийиз D′ (G) сходится к обобщённой функции F ∈ D′ (G), если для любойосновной функции ϕ ∈ D(G) числовая последовательность F1 (ϕ), . . . ,Fk (ϕ), . . . сходится к числу F (ϕ) при k → ∞. При этом используютсяобычные обозначения:F = lim Fkk→∞илиFk → F.k→∞Аналогично определяется сходимость семейства обобщённых функций, зависящего от вещественного параметра.11Пример. Непосредственно из определения функции 1/(x ± i0), данного в предыдущем параграфе, вытекает, что11= lim.x ± i0 ε→0+ x ± iεГоворят, что последовательность h1 , .

. . , hk , . . . вещественно-значныхфункций, определённых во всём пространстве Rn , является δ-образной,если(i) для каждого k ∈ N функция hk : Rn → R интегрируема в Rn ;(ii) для любых x ∈ Rn и k ∈ N справедливо неравенство hk (x) ≥ 0;(iii) для каждого k ∈ N существует положительное число εk такое,что hk (x) = 0 для всех x ∈ Rn таких, что |x| > εk , причём εk → 0 приk → ∞;R(iv) Rn hk (x) dx = 1 для всех k ∈ N.Пример δ-образной последовательности легко может быть полученс помощью бесконечно дифференцируемой функции ωx0 ,ε : Rn → R,которая строго положительна в открытом шаре |x − x0 | < ε и тождественно равна нулю вне этого шара.

Достаточно положитьω0,1/k (x).Rn ω0,1/k (x) dxhk (x) = RТеорема. Пусть h1 , . . . , hk , . . . — δ-образная последовательностьфункций. Тогда limk→∞ hk (x) = δ(x), где предел, конечно, понимается в смысле теории обобщённых функций.Доказательство получается прямым вычислением. В самом деле,пусть ϕ — произвольная основная функция. Используя определениепредела последовательности обобщённых функций и тот факт, что hk —регулярная обобщённая функция, действующая на основную функцию«с помощью» интеграла, можем записатьlim hk , ϕ = lim (hk , ϕ) =k→∞k→∞Z= limhk (x)ϕ(x)dx = limk→∞RnZk→∞|x|<εkhk (x)ϕ(x)dx.(3)Теперь нам понадобится следующая разновидность теоремы о среднем, которую вы знаете из курса математического анализа: если G —открытое связное множество в Rn , функция f : G → R непрерывна, а функция g : G → R неотрицательна, то найдётся такая точка12x0 ∈ G, чтоZf (x)g(x) dx = f (x0 )GZg(x) dx.GИспользуя эту теорему о среднем и свойства iii и iv δ-образной последовательности, преобразуем последнее выражение в формуле (3) квидуZZlim ϕ(xk ) hk (x) dx = lim ϕ(xk ) hk (x) dx = lim ϕ(xk ) = ϕ(0) = (δ, ϕ),k→∞k→∞k→∞|x|<εkRnгде xk — некоторая точка шара |x| < εk (а значит xk → 0 при k → ∞).Таким образом мы убедились, что обобщённые функции limk→∞ hk иδ одинаково действуют на любую пробную функцию ϕ.

Следовательно,эти обобщённые функции совпадают. Теорема доказана.Замечание. Доказанная теорема позволяет интерпретироватьδ-функцию как плотность такого распределения массы в пространстве,при котором вся масса, равная по величине единице, сосредоточенав одной точке 0. Такое распределение массы является, конечно, абстракцией, получаемой, например, на таком пути. Изучив тело единичной массы под микроскопом, мы заключаем, что с учётом разрешающией способности микроскопа вся масса тела сосредоточена в шаре |x| < ε1 . Заменяя объектив на более мощный, мы последовательно убеждаемся, что вся масса тела сосредоточена в пределах шароввсё уменьшающихся радиусов ε2 , .

Характеристики

Список файлов книги