1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В двадцатых годах прошлого века была доказана следующаятеорема.Теорема 11.1.1 (Парадокс Банаха — Тарского). Пусть B — шар в R3 . Существуют такие непересекающиеся множества B1 , . . . , B5 и непересекающиеся множества A1 , . . . , A5 ,что Bi ∼ Ai , i = 1, . . .
, 5, ∪5i=1 Bi = B, A1 ∪ A2 ∼ B и A3 ∪ A4 ∪ A5 ∼ B.Здесь выражение A ∼ B означает, что множества A и B конгруэнтны. Фактически,эта теорема означает, что мы можем разрезать шар в R3 на пять непересекающихся частей, из которых потом можно составить два точно таких же шара. Частей может быть42и больше пяти, но не меньше. Для четырех частей теорема не верна.
Существуют и другие утверждения подобного рода. Аналогичный парадокс в одномерном случае был ранееустановлен Хаусдорфом. У него, правда, было счетное число частей. В той же работеХаусдорфа было доказано утверждение о разбиении сферы, которое является ключевымпри доказательстве теоремы Банаха — Тарского. Мы не будем здесь воспроизводить доказательство этой теоремы, поскольку оно требует серьезной математической подготовки,выходящей за рамки данного курса.
К тому же, она нигде нами не будет использоваться.Для нас эта теорема говорит лишь о том, что для функции V требование 1 может нарушаться. Объяснение данного парадокса кроется в том, что не у всех множеств можноизмерить объем. Другими словами dom V ̸= P(R3 ). Далее множества, у которых объемизмерить можно, мы будем называть измеримыми. Фигурирующие в теореме множестваB1 , . .
. , B5 измеримыми не являются, поэтому не имеет смысла говорить о их объеме.Понятие меры обобщает понятие объема. Точнее, объем есть частный пример меры.Существуют и другие меры. К настоящему времени наука, изучающая меры, стала самостоятельным разделом анализа, который называется «теория меры». Многие математические объекты оказались на самом деле мерами, и к ним стали применять результаты этойтеории. В настоящем параграфе мы дадим общее определение понятия меры, а в последующих — будем изучать только меру Лебега, обобщающую понятие объема, и связанногос ней интеграла Лебега.Пусть X — некоторое множество и P(X) — совокупность всех его подмножеств. Система множеств R ⊂ P(X) называется кольцом множеств, если для любых множеств Aи B из R множества A ∪ B и A \ B также принадлежат R.Каждое кольцо R обладает следующими свойствами:1.
∅ ∈ R, поскольку ∅ = A \ A;2. если A, B ∈ R, то A ∩ B ∈ R и A △ B ∈ R, так как A ∩ B = A \ (A \ B) иA △ B = (A \ B) ∪ (B \ A);3. если A1 , . . . , Ak ∈ R, то из определения кольца множеств и предыдущего свойствапо индукции легко выводится, что ∪ki=1 Ai ∈ R и ∩ki=1 Ai ∈ R.Пример 11.1.2. а) Очевидно, что для произвольного множества X система P(X) является кольцом множеств.б) Система R = {∅}, состоящая только из пустого множества, образует кольцо.в) Система множеств, образованная всеми интервалами вещественной оси R, кольцом неявляется, поскольку объединение двух непересекающихся интервалов не есть интервал.г) Система всех прямоугольников на декартовой плоскости со сторонами, параллельнымиосям координат, также не является кольцом.д) Система множеств, состоящих из конечного (или нулевого) числа точек на прямой,образует кольцо.•Скажем, что U ⊂ P(X) является системой множеств с единицей, если существуеттакое множество E ∈ U, что E ∩ A = A для любого множества A ∈ U.
При этом Eназывают единицей системы U. Из определения единицы сразу следует, что A ⊂ E длякаждого A ∈ U. В самом деле, если a ∈ A и a ̸∈ E, то a ̸∈ A ∩ E, и поэтому E ∩ A ̸= A.Таким образом, U является системой множеств с единицей тогда и только тогда, когда∪A∈U A ∈ U . При этом ∪A∈U A является единицей. Кольцо множеств с единицей называетсяалгеброй множеств.43Обычно, если рассматриваются множества из какого-либо кольца R ⊂ P(X), то можносчитать, что X = ∪A∈R A, так как элементы множества X, не входящие в какое-либомножество из R, нигде не встречаются.
Таким образом, можно считать, что кольцо R ⊂P(X) является алгеброй, если X ∈ R.Пример 11.1.3. а) Система всех не более чем счетных подмножеств отрезка [0, 1] образуеткольцо, но не является алгеброй, поскольку объединение всех множеств системы дает весьотрезок [0, 1], который имеет мощность континуума.б) Все не более чем счетные подмножества множества [0, 1] ∩ Q образуют алгебру.•Кольцо R называется σ-кольцом, если для любой счетной совокупности {Ak } множествAk ∈ R их объединение ∪∞k=1 Ak также является элементом R.
Любое σ-кольцо с единицейназывается σ-алгеброй. Система множеств в пункте (а) примера 11.1.3 является σ-кольцом,а в пункте (б) — σ-алгеброй.Утверждение 11.1.4. Если R — σ-кольцо или σ-алгебра, то для любой последовательности {Ak } множеств Ak ∈ R их пересечение ∩∞k=1 Ak также является элементом R.оно является элеДоказательство. Определим множество G = ∪(∞k=1 Ak . По определению)∞ментом R. Нетрудно видеть, что ∩∞A=G\∪G\A.Изэтогосоотношениясразуkk=1 kk=1следует доказываемое утверждение.Функцией множества назовём любое отображение из P(X) в (−∞, +∞]. При этомможет оказаться, что эта функция определена не на всех подмножествах X, а толькона некотором семействе множеств из P(X), которое мы назовем областью определенияфункции множества. Мы допускаем, что функция принимает значение +∞ на множествахиз своей области определения.Определение 11.1.5. Неотрицательная функция множества φ называется конечно-аддитивной мерой, если1.
её область определения domφ является кольцом (или алгеброй);2. φ(A ∪ B) = φ(A) + φ(B) для любых непересекающихся множеств A и B из domφ;•3. φ(∅) = 0.Сделаем пару замечаний к этому определению. Во-первых, второе свойство называетсяаддитивностью меры. Далее, из аддитивности меры следует, чтоφ(∅) = φ(∅ ∪ ∅) = φ(∅) + φ(∅) = 2φ(∅).Полученное равенство может выполняться либо при φ(∅) = 0, либо при φ(∅) = ∞. Вовтором случае φ(A) = ∞ для любого A ∈ domφ, поскольку φ(A) = φ(A∪∅) = φ(A)+φ(∅).Таким образом, третье свойство служит лишь для того, чтобы исключить тривиальныйслучай функции множества, когда φ(A) = ∞ для любого A ∈ domφ.Определение 11.1.6. Неотрицательная функция множества φ называется мерой, если1.
её область определения domφ является σ-кольцом или σ-алгеброй;)(∑∞2. φ ∪∞k=1 Ak =k=1 φ(Ak ) для любой последовательности непересекающихся множеств Ak ∈ domφ;44•3. φ(∅) = 0.Второе свойство называют счётной аддитивностью (или σ-аддитивностью) меры.Пространством с мерой называется тройка (X, φ, A), где X — некоторое множество,φ — мера с domφ = A. Множества из A обычно называют φ-измеримыми. Следующие параграфы данной главы будут посвящены изучению одной конкретной меры, определеннойЛебегом, и интеграла, связанного с этой мерой.
Конструкция построения меры, предложенная Лебегом, используется и для других мер. Обычно сначала вводится некотораянеотрицательная функция множества, определенная на довольно ограниченном классемножеств. Потом эта функция продолжается на более широкий класс. Продолженнаяфункция и будет мерой, а множества, на которых она определена, называют измеримымипо этой мере. В случае меры Лебега исходной функцией множества служит объем, определенный для любого параллелепипеда. Заметим, что множество всех параллелепипедовне является даже кольцом, не говоря уж о σ-кольце. Оно является полукольцом. Для простоты мы слегка отойдем от общепринятого пути построения меры Лебега, однако нашпуть приводит к той же самой мере.Ниже мы приведем два простых примера мер, для введения которых не требуетсяникаких специальных конструкций.Пример 11.1.7 (Считающая мера).
Пусть X — произвольное множество и domφ = P(X).Для произвольного множества A ∈ P(X) определим φ(A) как количество элементов множества A. Если A — бесконечное множество, то положим φ(A) = +∞.•Пример 11.1.8 (Мера Дирака). Пусть X — произвольное множество и domφ = P(X).Зафиксируем какой-либо элемент x0 ∈ X. Для произвольного множества A ∈ P(X) определим{1, x0 ∈ A,φ(A) =0, x0 ̸∈ A.Для этой меры часто используют специальное обозначение: δx0 .11.211.2.1•Мера Лебега в RnВнешняя мераПараллелепипедом (или n-мерным параллелепипедом) будем называть множество вида{(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | ai ▹ xi ▹ bi , i = 1, 2, .
. . , n}, где ai , bi ∈ R, а значок «▹» означает либо«<», либо «6». Таким образом, если I — параллелепипед, то I = I 1 × I 2 × . . . × I n , где I i— непустые одномерные промежутки. Назовём числоm(I) = Πni=1 (bi − ai ) = (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · · · (bn − an )объёмом (или n-мерным объёмом) параллелепипеда I. Заметим, что всегда 0 6 m(I) < ∞.Обратим также внимание на тот факт, что ребра параллелепипеда должны быть параллельны осям координат. Если мы повернем параллелепипед на какой-нибудь угол (не кратный π/2), то он перестанет быть параллелепипедом.Обозначим через Sp множество всех параллелепипедов в Rn .
Назовем параллелепипедоткрытым (замкнутым), если в его определении значки «▹» означают «<» («6»). Множество всех открытых параллелепипедов будем обозначать через Sp0 . Заметим, что объемпараллелепипеда не зависит от того, является он открытым или замкнутым.45Замечание 11.2.1. 1. Если мы разрежем параллелепипед I плоскостью (на самом деле —гиперплоскостью размерности n−1), параллельной одной из координатных плоскостей, надва параллелепипеда I1 и I2 , то объем I будет равен сумме объемов I1 и I2 . Математически◦◦◦это можно сформулировать так: если I, I1 , I2 ∈ Sp , I = I1 ∪ I2 и I 1 ∩ I 2 = ∅, где I i —внутренность множества Ii , то m(I) = m(I1 ) + m(I2 ). Заметим, что diam Ii < diam I дляi = 1, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
