1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 12
Текст из файла (страница 12)
. . , Bk содержатсяв некотором «большом» параллелепипеде. Опять применяя лемму 11.2.21 и учитывая, что∪kj=1 Bj ⊂ A, мы получим:k∑)(µ∗ (Bj ) = µ∗ ∪kj=1 Bj 6 µ∗ (A).j=154В силу произвольности k справедливо неравенство:∞∞∑∑µ∗ (Ai ) 6µ∗ (Bj ) 6 µ∗ (A).i=1j=1Поскольку обратное неравенство следует из счетной полуаддитивности внешней меры,имеет место равенство, которое нам и требовалось доказать.Следствие 11.2.23.
Если {Ai } — счетная совокупность измеримых множеств, то множество A = ∪∞i=1 Ai является измеримым.◃ В отличие от теоремы мы здесь не требуем, чтобы множества были непересекающимися. Тем не менее, доказательство будет основано на утверждении теоремы. Для этого мыопределим следующую последовательность множеств:B1 = A1 ,B2 = A2 \ B1 ,...Bk = Ak \ ∪k−1i=1 Bi ,...Очевидно, что множества Bk измеримы, являются непересекающимися и A = ∪∞k=1 Bk . Какследует из теоремы, множество A является измеримым.▹Подведем некоторый итог.
В силу пункта (а) примера 11.2.17, теоремы 11.2.19 и следствия 11.2.23 система измеримых множеств M образует σ-алгебру. Внешняя мера µ∗ является неотрицательной σ-аддитивной (счётно-аддитивной) функцией множества на M иµ∗ (∅) = 0, поэтому её сужение с P(Rn ) на M является мерой. Эта мера называется меройЛебега. Мы будем обозначать её через µ. Итак, сформулируем определение меры Лебега.Определение 11.2.24. Мерой Лебега называется неотрицательная функция множестваµ, такая, что dom µ = M и µ(A) = µ∗ (A) для любого множества A ∈ M.•Таким образом, мы определили пространство с мерой (Rn , µ, M).
Мера Лебега обладает на измеримых множествах всеми свойствами, установленными для внешней меры.Исследуем некоторые другие простейшие свойства меры Лебега µ.Пусть A — множество в Rn . Если a — вектор в Rn , то сдвигом множества A на векторa называется множество A + a = {(x + a) ∈ Rn | x ∈ A}. Если α ∈ R, то αA = {αx ∈Rn | x ∈ A}.Теорема 11.2.25.
а) Мера Лебега инвариантна относительно сдвигов. То есть, еслиA ∈ M, то (A + a) ∈ M и µ(A + a) = µ(A) для любого вектора a ∈ Rn .б) Для любых α ∈ R+ и A ∈ M множество αA измеримо и µ(αA) = αn µ(A).Доказательство. Мы докажем только утверждение (а). Доказательство утверждения (б)совершенно аналогично.Сначала заметим, что если I — параллелепипед в Rn , то I + a — тоже параллелепипеди m(I + a) = m(I). Операция сдвига на вектор a устанавливает взаимно-однозначноесоответствие между покрытиями множеств A и A + a семействами параллелепипедов. Тоесть, если {Ii } — счетное семейство параллелепипедов, то условие A ⊂ ∪∞i=1 Ii равносильно∞тому, что A + a ⊂ ∪i=1 (Ii + a).
Поэтому∗µ (A + a) = inf{∞∑m(Ii + a) | A ⊂ ∪∞i=1 Ii , Ii ∈ Sp }i=1= inf{∞∑i=155∗m(Ii ) | A ⊂ ∪∞i=1 Ii , Ii ∈ Sp } = µ (A).То есть, внешняя мера инвариантна относительно сдвига. Если множество A измеримо,то для любого ε > 0 существуют такие замкнутое и открытое множества F и G, чтоF ⊂ (A ⊂ G и µ∗ (G\F ) )< ε.
При сдвиге на вектор a мы получим: (F +a) ⊂ (A+a) ⊂ (G+a)и µ∗ (G + a) \ (F + a) < ε. Поскольку открытость и замкнутость множеств при сдвигене нарушается, множество A + a измеримо. Поэтому для произвольного a ∈ Rn условиеA ∈ M равносильно условию (A + a) ∈ M. Отсюда, учитывая инвариантность внешнеймеры относительно сдвига, мы получаем, что µ(A + a) = µ(A) для всех A ∈ M.Лекция №16. 24.10.2016.Теорема 11.2.26 (Непрерывность меры Лебега). Пусть {Ak } — последовательность измеримых множеств в Rn .а) Если A1 ⊂ A2 ⊂ . .
. ⊂ Ak ⊂ . . ., то есть Ak ⊂ Ak+1 для всех k ∈ N, то множествоA = ∪∞k=1 Ak измеримо и µ(A) = lim µ(Ak ).k→∞б) Если µ(A1 ) < ∞ и A1 ⊃ A2 ⊃ . . . ⊃ Ak ⊃ . . ., то есть Ak+1 ⊂ Ak для всех k ∈ N, томножество A = ∩∞k=1 Ak измеримо и µ(A) = lim µ(Ak ).k→∞Доказательство. (а) Мы опять воспользуемся счетной аддитивностью меры Лебега, а дляэтого построим соответствующую последовательность непересекающихся измеримых множеств. Заметим, что измеримость A доказана в следствии 11.2.23. Кроме того, если µ(A1 ) =∞, то в силу монотонности меры Лебега µ(Ak ) = ∞ и µ(A) = ∞.
Поэтому µ(A) =lim µ(Ak ).k→∞Пусть теперь µ(A1 ) < ∞. Определим множества B1 = A1 , B2 = A2 \ A1 , . . . , Bk =∞Ak \ Ak−1 , . . . . Тогда B∑i ∩ Bj = ∅ при i ̸= j, все множества Bk измеримы и A = ∪k=1 Bk .∞Следовательно µ(A) = k=1 µ(Bk ). В то же время, поскольку Ak = Bk ∪Ak−1 и Bk ∩Ak−1 =∅ для каждого k > 2, мы имеем равенство: µ(Bk ) = µ(Ak ) − µ(Ak−1 ), из которого следует,чтоℓℓ∑∑µ(Bk ) = µ(A1 ) + µ(Aℓ ) − µ(A1 ) = µ(Aℓ ).µ(Bk ) = µ(B1 ) +k=2k=1Поэтомуµ(A) =∞∑µ(Bk ) = limℓ∑ℓ→∞k=1µ(Bk ) = lim µ(Aℓ ),ℓ→∞k=1что и требовалось доказать.(б) Сразу заметим, что множество A измеримо, так как M является σ-алгеброй. Пустьтеперь C1 = A1 \ A1 = ∅, C2 = A1 \ A2 , . .
. , Ck = A1 \ Ak , . . . . Тогда все множества Ckявляются измеримыми и Ck ⊂ Ck+1 для всех k ∈ N. При этом ∪∞k=1 Ck = A1 \ A, поскольку∞∞∪k=1 (A1 \ Ak ) = A1 \ (∩k=1 Ak ). Поэтому, используя уже доказанное утверждение (а) этойтеоремы, мы получаем, чтоµ(A1 \ A) = lim µ(Ck ) = lim µ(A1 \ Ak ).k→∞k→∞Поскольку A ⊂ A1 и Ak ⊂ A1 для всех k ∈ N, справедливы следующие тождества:µ(A1 ) = µ(A) + µ(A1 \ A),µ(A1 ) = µ(Ak ) + µ(A1 \ Ak ).56Предельный переход во втором из них даетµ(A1 ) = lim µ(Ak ) + lim µ(A1 \ Ak ) = lim µ(Ak ) + µ(A1 \ A).k→∞k→∞k→∞Учитывая первое тождество и тот факт, что µ(A1 ) < ∞, мы получаем требуемое равенствоµ(A) = limk→∞ µ(Ak ).В заключение этого пункта приведем пример неизмеримого множества. До настоящего времени о существовании таких множеств мы могли только догадываться, основываясьна теореме Банаха — Тарского. На самом деле, существует не так много содержательныхпримеров неизмеримых множеств и их построение требует основательной математическойподготовки.
Может показаться, что неизмеримых множеств мало, но утверждение о том,что каждое измеримое множество положительной меры содержит неизмеримое подмножество, говорит об обратном. Доказательство этого утверждения выходит за рамки нашегокурса. Таким образом, каждый раз, когда мы вычисляем меру Лебега какого-либо множества, мы должны удостовериться, что это множество измеримо.Пример 11.2.27 (Витали). Пусть n = 1 и µ — мера Лебега (одномерная) на R.
Рассмотрим отрезок [0, 1]. Скажем, что точки x и y из этого отрезка эквивалентны (обозначимx ∼ y), если они отличаются на рациональное число, то есть (x − y) ∈ Q. Заметим, чтопоследнее включение можно переписать как (x − y) ∈ [−1, 1]Q , где [−1, 1]Q = [−1, 1] ∩ Q,поскольку x, y ∈ [0, 1]. Весь отрезок разобьем на классы эквивалентных точек и из каждого класса выберем по одной точке. Полученное множество выбранных точек обозначимчерез A. Далее мы покажем, что A является неизмеримым множеством.Установим два свойства множества A.1. [0, 1] ⊂ A + [−1, 1]Q ⊂ [−1, 2].Здесь встречается сумма двух множеств. Под этим подразумевается следующее: A + B ={x+y | x ∈ A, y ∈ B}.
Правое включение справедливо, поскольку A ⊂ [0, 1] и A+[−1, 1]Q ⊂[0, 1] + [−1, 1] ⊂ [−1, 2]. Докажем левое включение. Если x ∈ [0, 1], то точка x попала водин из описанных выше классов. То есть, существует такая точка y ∈ A, что x ∼ y. Этоозначает, что x = y + q, где q ∈ [−1, 1]Q . Следовательно x ∈ A + [−1, 1]Q , что и доказываетсправедливость левого включения.2.
Если p, q ∈ [−1, 1]Q и p ̸= q, то (A + p) ∩ (A + q) = ∅.Предположим, что (A + p) ∩ (A + q) ̸= ∅. Тогда существует x ∈ (A + p) ∩ (A + q). Поэтомуx = yp + p и x = yq + q для некоторых yp и yq из A. Следовательно yp + p = yq + qили, записав это равенство иначе, yp − yq = q − p ∈ Q. Это означает, что yp ∼ yq . Но вмножестве A не может быть эквивалентных точек, так как в него входит лишь по однойточке из каждого класса эквивалентности. Поэтому yp = yq и, как следствие, p = q, чтопротиворечит условию.Используя эти два свойства, мы докажем неизмеримость A рассуждениями от противного. Предположим, что A измеримо.
Поскольку A + [−1, 1]Q = ∪p∈[−1,1]Q (A + p), второесвойство и инвариантность меры Лебега относительно сдвига позволяют заключить, что∑∑µ(A + [−1, 1]Q ) =µ(A + p) =µ(A).p∈[−1,1]Qp∈[−1,1]QНо справа под знаком суммы стоит величина, от p не зависящая. То есть, у нас имеетсябесконечное число одинаковых слагаемых. Поэтому справа может стоять либо нуль, если57µ(A) = 0, либо +∞, если µ(A) > 0. Оба этих случая противоречат свойству 1. В самомделе, как следует из этого свойства,1 = µ([0, 1]) 6 µ(A + [−1, 1]Q ) 6 µ([−1, 2]) = 3.Полученное противоречие доказывает, что наше предположение об измеримости множества A было неверным.•11.2.3Борелевские множестваБорелевской σ-алгеброй называется минимальная σ-алгебра, содержащая все открытыемножества.
Слово «минимальная» означает, что если какая-то другая σ-алгебра содержитвсе открытые множества, то она содержит и борелевскую σ-алгебру. Элементы борелевской σ-алгебры, которую мы обозначим через B, называют борелевскими множествами.Сразу заметим, что все борелевские множества являются измеримыми. Это следуетиз того, что все открытые множества измеримы, а M является σ-алгеброй. Измеримостьограниченных открытых множеств мы отметили после доказательства теоремы 11.2.20.Если A — произвольное открытое множество, то его измеримость следует из свойств σалгебры и того, что A = ∪k=1 (A ∩ Bk ), где {Bk } — последовательность открытых шароврадиуса k с центром в нуле.Операция разности множеств не выводит за пределы σ-алгебры, в том числе и борелевской. Поэтому переходя к дополнениям в Rn , то есть используя разность Rn и некоторогомножества, мы получим, что все замкнутые множества являются борелевскими.
Нетрудно также установить, что все счетные объединения и пересечения борелевских множествявляются борелевскими множествами.Множество A ⊂ Rn является множеством типа Fσ , если существует последовательность {Ak } замкнутых множеств, такая, что A = ∪∞k=1 Ak . Заметим, что для множестваA типа Fσ соответствующая последовательность {Ak } может быть выбрана «расширяющейся», то есть такой, что Ak ⊂ Ak+1 для всех k ∈ N. В самом деле, это свойство будетвыполнено, если вместо {Ak } мы рассмотрим последовательность множеств Bk = ∪ki=1 Ai .В этом случае все множества Bk будут замкнутыми (как объединение конечного числазамкнутых множеств), Bk ⊂ Bk+1 для всех k ∈ N и A = ∪∞k=1 Bk .Множество A является множеством типа Gδ , если существует последовательность{Ak } открытых множеств, такая, что A = ∩∞k=1 Ak .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
