1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Тогдаa∫d∫∫ηη∫df (x, y) dxdy =cf (x, y) dydx.aacДоказательство. В силу теоремы 10.1.5 для каждого b ∈ (a, η) справедливо равенство:∫d∫∫ b∫bdf (x, y) dxdy =cf (x, y) dydx.aac∫ηПоскольку интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d], мы можем воспользоваться теоремой 9.1.19 о предельном переходе под знаком интеграла Римана и получить,что∫η∫∫ b∫df (x, y) dydx = limacb→ηa∫dcd∫bf (x, y) dydx = limf (x, y) dxdyb→η ca∫ d∫ b∫=limf (x, y) dxdy =b→ηcacd∫ηf (x, y) dxdy.a∫ηЗаметим, что функция y 7→ a f (x, y) dx интегрируема по Риману на [c, d], поскольку онанепрерывна на этом отрезке.
Последний факт следует из ∫того, что эта функция являетсяbравномерным пределом при b → η непрерывных функций a f (x, y) dx (см. теорему 10.1.1).Теорема 10.2.14. Пусть функция f = f (x, y) непрерывна на [a, ηx ) × [c, ηy ) и∫ηа) интеграл a x f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d] для всех d ∈ (c, ηy );∫ηб) интеграл c y f (x, y) dy сходится равномерно по x ∈ [a, b] для всех b ∈ (a, ηx );в) существует хотя бы один из интегралов∫ ηx ∫ ηy∫ ηy ∫ ηx|f (x, y)| dydx,|f (x, y)| dxdy.aТогдаc∫ηxc∫∫ηyaηy∫ηxf (x, y) dydx =acf (x, y) dxdy.caДоказательство. Без ограничения общности предположим, что существует первый из упомянутых в условии (в) интегралов.
Согласно предыдущей теореме для каждого d ∈ (c, ηy )справедливо равенство:∫ ηx ∫ d∫ d ∫ ηxf (x, y) dydx =f (x, y) dxdy.acc37a∫dСчитая d параметром, введем функцию Fd (x) = c f (x, y) dy. Для неё имеет место следующая оценка:∫ d∫ ηy|Fd (x)| 6|f (x, y)| dy 6|f (x, y)| dy.ccОбозначим правую часть через φ(x). Заметим,что функция φ неотрицательна и не зави∫ ηxсит от d.
Согласно условию (в) интеграл a φ(x) dx сходится, поэтому, используяпризнак∫ ηxВейерштрасса, мы можем сделать вывод, что несобственный интеграл a Fd (x) dx сходится∫ ηy равномерно по d ∈ (c, ηy ). Кроме того, как следует из условия (б), Fd (x) сходитсяк c f (x, y) dy при d → ηy равномерно по x ∈ [a, b] для всех b ∈ (a, ηx ). Таким образом,применяя теорему 10.2.8 о предельном переходе пол знаком несобственного интеграла, мыполучим:∫ ηy ∫ ηx∫ d ∫ ηx∫ ηx ∫ df (x, y) dxdy = limf (x, y) dxdy = limf (x, y) dydxd→ηy cd→ηy acaac∫ ηx∫ ηx∫ ηx ∫ ηy= limFd (x) dx =lim Fd (x) dx =f (x, y) dy dx,d→ηyaad→ηyacчто и требовалось доказать.В качестве примера использования только что доказанной теоремы посчитаем одиннесобственный интеграл, который нам пригодится в дальнейшем.Пример 10.2.15 (Интеграл Эйлера — Пуассона).
Покажем, что√∫ ∞π−x2edx =.20Использованный нами для вычисления данного интеграла метод не является самым коротким из существующих, он, однако, опирается на полученные в этом пункте результаты.Для произвольного y > 0 сделаем замену переменной x = ty:∫ ∞∫ ∞2−x2edx = ye−(ty) dt.00Умножив это равенство на e−y и потом проинтегрировав по y от некоторого произвольногоδ > 0 до +∞, мы найдем, что∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞22−x2−y 2−y 2−(ty)2edxe dy =yeedtdy =y e−y (1+t ) dtdy.20δδ0δ0Поменяв порядок интегрирования в повторном интеграле, стоя́щем в правой части, и сделав замену переменной y 2 = p, мы получим:∫ ∫∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞1 ∞ ∞ −p(1+t2 )−x2−y 2−y 2 (1+t2 )edpdtedxe dy =yedydt =2 0δ20δ0δ∫∫2221 ∞ e−δ (1+t )1 ∞ e−p(1+t ) p=∞dt ==−dt.2 01 + t2 p=δ22 01 + t2Теперь, используя теорему 10.2.8 о предельном переходе под знаком несобственного интеграла, устремим δ к нулю:∫ ∞ −δ2 (1+t2 )∫(∫ ∞)2 1t=∞ πe1 ∞ 11−x2edx = limdt=dt=arctgt= .t=022δ→021+t21+t2400038Из этого равенства сразу следует доказываемое соотношение.
Заметим, что условие (а)22теоремы 10.2.8 выполнено, поскольку e−δ (1+t ) → 1 при δ → 0 равномерно по t ∈ [0, b] для22каждого b ∈ (0, ∞), а условие (б) — так как e−δ (1+t ) 6 1 для всех δ > 0 и t ∈ [0, ∞).Нам осталось доказать возможность произведённой смены порядка интегрирования вповторном интеграле:∫ ∞∫ ∞∫ ∞∫ ∞22−y 2 (1+t2 )yedtdy =y e−y (1+t ) dydt.δ00δДля этого воспользуемся теоремой 10.2.14. Проверим условия (а), (б) и (в) этой теоремы.(а) У нас a = 0, ηx = +∞, c ∫= δ > 0, ηy = +∞, роль переменной x играет t. Покажем,22∞что несобственный интеграл 0 y e−y (1+t ) dt сходится равномерно по y ∈ [δ, d] для всех∫ ∞ −y2 (1+t2 )2 ∫∞2 2d ∈ (δ, ∞).
Поскольку 0 y edt = y e−y 0 e−y t dt, нам достаточно исследовать∫ ∞ −y2 t22 22 2интеграл 0 edt. Но e−y t 6 e−δ t при y > δ, поэтому равномерная сходимость этогоинтеграла следует из признака Вейерштрасса.(б) Поскольку e−y t 6всех неотрицательных y и t, равномерная сходимость несоб∫ ∞1 для−y 2 (1+t2 )ственного интеграла δ y edy опять следует из признака Вейерштрасса и из схо∫ ∞ −y2димости интеграла δ y e dy.2 2(в) Ранее мы выяснили, что∫∞∫∞ye0δ−y 2 (1+t2 )1dydt =2∫∞0e−δ (1+t )dt.1 + t222Интеграл в правой части этого равенства сходится, поэтому существует и повторный интеграл в правой части. Проверяемое условие следует из того, что подынтегральная функцияявляется неотрицательной.Таким образом, все условия теоремы 10.2.14 выполнены, и произведенная смена порядка интегрирования законна.•Лекция №11.
06.10.2016.10.2.3Функции Эйлера Γ и BВ этом пункте мы познакомимся с функциями Эйлера гамма и бета. Фактически, здесьбудут даны лишь определения этих функций, причем не самые общие, и отмечены некоторые их свойства.Для произвольных α > 0 и β > 0 определим следующие величины:∫ ∞∫ 1α−1 −xΓ (α) =x e dx,B(α, β) =xα−1 (1 − x)β−1 dx.00Тем самым, мы определили гамма-функцию Γ : (0, +∞) → R и бета-функцию B : (0, +∞)×(0, +∞) → R. Отметим некоторые свойства этих функций:∫∞1.
Γ (1) = 1. В самом деле, Γ (1) = 0 e−x dx = 1.392. Γ (1/2) =√π. Действительно, используя замену переменной x1/2 = t, мы получим:∫ ∞∫ ∞√2−1/2 −xΓ (1/2) =xe dx = 2e−t dt = π.00В последнем равенстве мы использовали пример 10.2.15, где был посчитан интегралЭйлера — Пуассона.3.
Γ (α + 1) = αΓ (α) для всех α > 0. Здесь мы воспользуемся интегрированием почастям:∫ ∞∫ ∞( )′α −xxα e−x dxx e dx = −Γ (α + 1) =00∫ ∞α −x +∞xα−1 e−x dx = αΓ (α).= −x e x=0 + α0В частности, при α = n ∈ N мы получаем, что Γ (n + 1) = n!.4. B(α, β) = B(β, α) для всех α, β ∈ (0, ∞). Это свойство легко устанавливается спомощью замены переменной интегрирования 1 − x = t.5. Для всех α, β ∈ (0, ∞) справедливо соотношение:B(α, β) =Γ (α)Γ (β).Γ (α + β)Доказательство этого равенства является довольно громоздким, хотя и не сложным.Мы оставим его читателю в качестве упражнения.Приведем пару примеров использования функций Эйлера.Пример 10.2.16.
Для произвольных α, β ∈ (0, ∞), сделав замену переменной интегрирования sin2 x = t, мы получим:∫π/2α−1sin0β−1x cos1x dx =2∫1tα/2−1(1 − t)β/2−101 (α β )dt = B ,.22 2•Пример 10.2.17. В качестве ещё одного примера посчитаем объем n-мерного шара радиуса R. Будем обозначать этот объем через Vn (R). При n = 1 шар является отрезком[−R, R] вещественной оси, и его 1-мерный объем является просто длиной отрезка:V1 (R) = 2R.Из школьного курса известно, чтоV2 (R) = πR2 ,V3 (R) =4πR3 .3Впрочем, эти формулы будут выведены ниже.
Основной вывод, который мы можем сделать, присмотревшись к этим формулам, состоит в том, что для каждого n ∈ NVn (R) = cn Rn ,40где cn — некоторое число. Вообще говоря, этот вывод можно сделать и из соображенийразмерности.Вспомним теперь, как в школе выводилась формула для объема трехмерного шара.Шар разбивался на плоские слои, каждый из которых являлся кругом, то есть, шаром наединицу меньшей размерности. Воспользуемся этой процедурой и в случае произвольногоn (см.
рис. 10.2):∫ R(√)Vn (R) =Vn−1R2 − x2n dxn .−RИз этой формулы следует, что∫ R∫( 2)n2 (n−1)/2cn R = cn−1R − xndxn = 2cn−1−RR(R2 − x2n)(n−1)/2dxn .0Сделав замену переменной интегрирования xn = R sin t и воспользовавшись результатомиз примера 10.2.16, мы получим:∫ncn R = 2cn−1 Rnπ/2cosn t dt = cn−1 Rn B0(1 n + 1),.22Таким образом, мы получили следующую рекуррентную формулу:( ) ()Γ 1/2 Γ (n + 1)/2()cn = cn−1,Γ (n + 2)/2из которой легко получается, чтоcn = c1 Γ(n−1)1/2( )Γ 3/2().Γ (n + 2)/2Используя свойства функции Γ и учитывая, что c1 = 2,мы найдем:π n/2).cn = (Γ n/2 + 1Рис.
10.2: Разбиение n-мерногошарана слои. Радиус слоя r =√2R − x2n .π n/2 Rn. Нетрудно проверить, что эта формула при n = 2 и n = 3Γ (n/2 + 1)совпадает с известными со школы формулами.•Поэтому Vn (R) =41Глава 11Мера и интеграл ЛебегаЛекция №12. 10.10.2016.11.1Общее понятие мерыВ повседневной жизни нам часто приходится измерять длину, находить площадь, объемили массу каких-либо объектов. Фактически, мы приписываем каждому множеству некоторое число по определенному правилу.
Какими свойствами обладает это правило? Длянаглядности предположим, что мы измеряем объем множеств. Обозначим через V (A) объем множества A. Тогда функция V : P(R3 ) → R+ ∪{0} должна удовлетворять следующиместественным требованиям:1. если A ∩ B = ∅, то V (A ∪ B) = V (A) + V (B) (объем воды в двух ведрах равен суммеобъемов воды в каждом из ведер);2. если множества A и B конгруэнтны (т.е., могут быть совмещены простым движениембез деформации), то V (A) = V (B) (если вы перенесете ведро воды с одного места вдругое, то объем воды в нем не изменится).Вообще говоря, необходимо добавить ещё одно, нормировочное, условие, поскольку всемсформулированным требованиям удовлетворяет функция, равная нулю на всех множествах.
Поэтому потребуем, чтобы V (A0 ) = 1 для некоторого произвольного, но фиксированного множества A0 .Несмотря на то, что перечисленные свойства объема являются вполне естественными,и мы постоянно их используем, можно с математической точностью показать, что такойфункции V не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
