1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Обозначим через x0 точку на отрезке [a, b], в которой сходится последовательность {fk }. Покажем сначала, что последовательность {fk } сходится равномерно на[a, b]. Воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях. Для произвольногоx ∈ [a, b] и любых натуральных k и m справедлива оценка:() ()|fk (x) − fm (x)| 6 fk (x) − fm (x) − fk (x0 ) − fm (x0 ) + |fk (x0 ) − fm (x0 )| 6′(ξ) |x − x0 | + |fk (x0 ) − fm (x0 )| 66 sup fk′ (ξ) − fmξ∈[x0 ,x]6′ϱ[a,b] (fk′ , fm) |x′− x0 | + |fk (x0 ) − fm (x0 )| 6 (b − a) ϱ[a,b] (fk′ , fm) + |fk (x0 ) − fm (x0 )|.11Из этой оценки с помощью стандартных рассуждений, использующих критерий Коши,следует, что последовательность {fk } сходится к некоторой функции f равномерно на[a, b].Зафиксируем произвольную точку x ∈ [a, b] и рассмотрим последовательность функций Fk (δ) = (fk (x + δ) − fk (x))/δ, определённых на множестве G = [a − x, b − x] \ {0}.

Дляпроизвольного δ ∈ G справедлива следующая оценка:() ()−1 ′|Fk (δ) − Fm (δ)| = |δ| fk (x + δ) − fm (x + δ) − fk (x) − fm (x) 6 ϱ[a,b] (fk′ , fm).Так как последовательность {fk′ } сходится равномерно на [a, b], из критерия Коши мыполучаем, что последовательность {Fk } сходится равномерно на G. Кроме того,lim Fk (δ) =k→∞f (x + δ) − f (x)δиlim Fk (δ) = fk′ (x).δ→0По теореме о перестановке пределов пределы lim lim Fk (δ) и lim lim Fk (δ) существуют иδ→0 k→∞k→∞ δ→0совпадают. Но первый из этих пределов есть не что иное, как f ′ (x), а второй — lim fk′ (x).k→∞Теорема доказана.9.2Функциональные рядыФункциональный ряд определяется определяется совершенно аналогично числовому ряду.Пусть {uk }k∈N — функциональная последовательность, причем все функции uk имеют одну и ту же область определения X ⊂ Rn .

Функциональным рядом называется пара функциональных последовательностей {uk } и {sk }, связанных соотношениями: s1 (x) = u1 (x),sk (x) = sk−1 (x) + uk (x) для всех натуральных чисел k >∑2 и всех x ∈ X. Для ∑функци∞онального ряда используется стандартное обозначение: ∞u(x)илипростоk=1 kk=1 uk .Нетрудно видеть, чтоs1 = u1 ,s2 = u1 + u2 ,..., sm =m∑uk ,...k=1Функции uk называются членами ряда, функции sk : X → R — частичными суммамиряда, а {sk } — последовательностью (функциональной) частичных сумм.∑∞Определение 9.2.1.

Говорят, что функциональный рядk=1 uk сходится поточечно(равномерно) на множестве E ⊂ X, если на E сходится поточечно (равномерно) последовательность его частичных сумм {sk }. Предел этой последовательности(поточечный или∑∞•равномерный) называется суммой ряда и обозначается k=1 uk .Согласно этому определению исследование равномерной сходимости функционального ряда сводится к исследованию равномерной сходимости его последовательности частичных сумм.

Поэтому мы можем использовать результаты, полученные в предыдущемпараграфе, а, фактически, мы просто переформулируем их соответствующим образом.∑Теорема 9.2.2 (Критерий Коши). Функциональный ряд ∞k=1 uk сходится равномерно намножестве E ⊂ X тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдётся такое числоkε ∈ N, что|un (x) + . . . um (x)| < ε12для любых натуральных m и n, удовлетворяющих условию m > n > kε , и для любойточки x ∈ E.Доказательство. По определению, ряд сходится равномерно на E, если для любого ε > 0найдётся такое число kε ∈ N, что при любых натуральных n1 и n2 , больших kε , и при всехx ∈ E имеет место неравенство |sn1 (x) − sn2 (x)| < ε.

Положив n1 = m и n2 = n − 1, мыполучим требуемое неравенство. Обратное утверждение доказывается так же просто. Теорема 9.2.3 (Необходимый признаксходимости функционального ряда). Для то∑∞го, чтобы функциональный ряд k=1 uk сходился равномерно (поточечно) на некотороммножестве E, необходимо, чтобы последовательность {uk } сходилась равномерно (поточечно) на E к функции u, тождественно равной нулю на E.Доказательство.

Если последовательность частичных сумм сходится, то limk→∞ sk−1 =limk→∞ sk . Здесь оба предела являются либо поточечными, либо равномерными. Но uk =sk − sk−1 . Поэтому limk→∞ uk = 0.Заметим, что это утверждение можно легко доказать, используя определение поточечного (равномерного) предела.Сформулируем без доказательства другие очевидные следствия результатов параграфа 9.1.Теорема 9.2.4. Если ряд, составленный из непрерывных в некоторой точке функций,сходится равномерно в окрестности этой точки, то сумма ряда тоже непрерывна вэтой точке.Теорема 9.2.5 ∑(Дини). Пусть X — компактное множество в Rn .

Если члены функционального ряда ∞k=1 uk неотрицательны и непрерывны на X, а сам ряд сходится поточечно на X к непрерывной функции, то он сходится на X равномерно.Лекция №4. 12.09.2016.∑Теорема 9.2.6 (Об интегрировании рядов). Если ряд ∞k=1 uk , составленный из интегрируемых функций uk : [a, b] → R, сходится равномерно на [a, b], то его сумма тожеинтегрируема и∫ b(∑∞ ∫ b∞)∑uk (x) dx.uk (x) dx =ak=1k=1aСледующее утверждение в случае функциональных последовательностей мы доказалина отрезке [a, b], однако доказательство справедливо и для интервала (a, b).

В дальнейшемнам потребуется это утверждение именно для случая интервала.∑из дифТеорема 9.2.7 (О дифференцировании рядов). Если ряд ∞k=1 uk , составленный ∑′ференцируемых функций uk : (a, b) → R,∑сходится хотя бы в одной точке, а ряд ∞k=1 uk∞сходится равномерно на (a, b), то ряд k=1 uk тоже сходится равномерно на (a, b), егосумма дифференцируема и∞∞(∑)′∑uk (x) =u′k (x).k=1k=113Далее мы докажем несколько признаков равномерной сходимости, характерных именнодля рядов.∑∞Определение 9.2.8.

Говорят, чтофункциональныйрядk=1 uk сходится абсолютно на∑∞множестве E, если числовой ряд k=1 |uk (x)| сходится для любой точки x ∈ E.•Теорема 9.2.9 (Мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть {uk } есть последовательность функций uk : X → R и {ck } есть последовательность∑∞вещественных чисел, такие,что |uk (x)| 6∑ck для всех k ∈ N и всех x ∈ X. Если ряд k=1 ck сходится, то функциональный ряд ∞k=1 uk сходится абсолютно и равномерно на X.∑Доказательство.

Так как ряд ∞k=1 ck сходится, для любого ε > 0 найдётся такое натуральное число kε , что при всех натуральных m > n > kε и p > 0 и при произвольномx∈X|un (x) + . . . + um (x)| 6 |un (x)| + . . . + |um (x)| 6 cn + . . . + cm < ε.∑∑∞Поэтому, согласно критерию Коши, оба ряда ∞uиkk=1k=1 |uk | сходятся равномерно наX.Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем наиболее часто используемым признаком равномерной сходимости рядов. Однако встречаются ситуации,когда этот признак неприменим.

Далее мы приведём ещё два, более тонких признака. Это— обобщение на функциональные ряды уже знакомых нам по числовым рядам признаковАбеля и Дирихле. Сначала напомним одно доказанное ранее утверждение.Лемма 9.2.10. Пусть {ak } и {bk } — числовые последовательности, причем последовательность {ak } является монотонной. Тогда для любых m > n справедливо неравенство:m∑()ak bk 6 B |an | + 2|am | ,k=nгде B = max{|Bn |, |Bn+1 |, . . .

, |Bm |},Bn = bn ,Bn+1 = bn + bn+1 ,...,Bm = bn + bn+1 + . . . + bm .Кроме того, нам потребуется одно новое понятие.Определение 9.2.11. Говорят, что семейство U функций u : X → R равномерно ограничено на множестве E ⊂ X, если существует такое число M ∈ R, что sup |u(x)| 6 M дляx∈Eлюбой функции u ∈ U .•Теорема 9.2.12 (Признаки Абеля и Дирихле).

Пусть {uk } и {vk } — последовательностиопределенных на множестве X скалярных функций, причем последовательность {uk }является монотонной (по k). Если выполнена любая из следующих пар условий:A1 :A2 :последовательность{uk } равномерно ограничена на X;∑∞ряд k=1 vk сходится равномерно на X;D1 : последовательность {uk∑} равномерно сходится к нулю на X;D2 : частичные суммы ряда ∞k=1 vk равномерно ограничены на X,∑∞то функциональный ряд k=1 uk vk сходится равномерно на X.Пара условий A соответствует признаку Абеля, пара D — признаку Дирихле.14Доказательство.

Доказательство почти дословно повторяет доказательство соответствующих утверждений для числовых рядов. По этой причине мы докажем признак Абеля, адоказательство признака Дирихле оставим читателю в качестве упражнения.Поскольку последовательность {uk } является равномерно ограниченной на X, существует такое число M , что |uk (x)| 6 M для всех k ∈ N и всех x ∈ X. Поэтому|un (x)| + 2|um (x)| 6 3Mдля всех n, m ∈ N и всех x ∈ X.В силу условия A2 , для любого ε > 0 найдется такое kε ∈ N, чтоm∑εvk (x) <3Mk=nдля всех m > n > kε и всех x ∈ X.Из этого неравенства мы получаем, чтоV (x) = max{|Vn (x)|, |Vn+1 (x)|, . .

. , |Vm (x)|} <ε,3Mгде Vn (x) = vn (x), Vn+1 (x) = vn (x) + vn+1 (x), . . . , Vm (x) = vn (x) + vn+1 (x) + . . . + vm (x).Теперь, как следует из леммы 9.2.10,m∑()εuk (x)vk (x) 6 V (x) |un | + 2|um | <3M = ε для всех m > n > kε и всех x ∈ X,3Mk=nоткуда, в силу критерия Коши, и следует утверждение теоремы.Пример 9.2.13. Пусть X = R. Найдем множество E ⊂ X, на котором ряд∞∑sin kxkсходится равномерно. Положим uk (x) = 1/k, vk (x) = sin kx и воспользуемся признакомДирихле. Очевидно, что {uk } — монотонная (убывающая) последовательность и uk ⇒ 0.k=1XТаким∑∞ образом, нам необходимо найти множество E, на котором частичные суммы рядаk=1 sin kx равномерно ограничены. Мы посчитаем эти частичные суммы в явном виде.Используя формулу Эйлера и формулу суммы геометрической прогрессии (со знаменателями eix и e−ix ), для произвольного n ∈ N мы получим:nn)1 ∑ ikx1 ∑ ( ix k(e − e−ikx ) =(e ) − (e−ix )k2i k=12i k=1k=11 ( ei(n+1)x − eix e−i(n+1)x − e−ix )1 ( ei(n+1/2)x − eix/2 e−i(n+1/2)x − e−ix/2 )=−=−2ieix − 1e−ix − 12i eix/2 − e−ix/2e−ix/2 − eix/2n∑sin kx ==1 ei(n+1/2)x − eix/2 + e−i(n+1/2)x − e−ix/21 cos(n + 1/2)x − cos x/2=−.ix/2−ix/22ie−e2sin x/2Поскольку модуль функции cos не превышает единицы, для каждого n ∈ N мы имеемоценку:n∑1sin kx 6.sin x/2k=115Функция sin x/2 обращается в нуль при x = 2mπ,∑∞m ∈ Z, поэтому, как следует из полученной выше оценки, частичные суммы рядаk=1 sin kx равномерно ограничены наmmмножестве Eδ = R \ Uδ , где Uδ = ∪∞U,U=(2mπ− δ, 2mπ + δ) и δ — произвольноеm=1 δδположительное число.

Характеристики

Список файлов лекций