1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Это итребовалось доказать.Лекция №2. 05.09.2016.9.1.3Непрерывность и предельный переходВ качестве первого приложения понятия равномерной сходимости мы покажем, что равномерный предел последовательности непрерывных функций является непрерывной функцией.Теорема 9.1.12. Пусть последовательность функций fk : X → R сходится равномернона X к некоторой функции f : X → R.
Если все функции fk , k ∈ N, непрерывны в точкеx0 ∈ X, то функция f тоже непрерывна в точке x0 .7Доказательство. Пусть ε — произвольное положительное число. В силу равномерной сходимости {fk } к f , существует такое kε ∈ N, что ϱX (f, fk ) < ε/4 при k > kε . Зафиксируемкакое-либо n > kε . Возьмём, например, n = kε + 1. Так как по условию теоремы функцияfn непрерывна в точке x0 , существует такое δε > 0, что |fn (x0 ) − fn (x)| < ε/2, как только|x − x0 | < δε . Заметим, что δε , вообще говоря, зависит от n. Но у нас n определяется черезε, поэтому δε зависит только от ε.
В итоге мы получаем, что|f (x0 ) − f (x)| 6 |f (x0 ) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − fn (x)| + |fn (x) − f (x)| 66 2 ϱX (f, fn ) + |fn (x0 ) − fn (x)| < εпри |x − x0 | < δε . Следовательно функция f непрерывна в точке x0 .Следствие 9.1.13. Если последовательность функций, непрерывных на некотором множестве, сходится на нём равномерно, то предельная функция тоже непрерывна на этоммножестве.Доказанная теорема имеет ещё одно важное следствие, связанное с перестановкой двухпредельных переходов. Пусть {fk } есть последовательность функций, сходящаяся равномерно на некотором множестве X к функции f .
Если все функции fk непрерывны в точкеx0 ∈ X, то в силу утверждения теоремы f тоже непрерывна в x0 . Поэтомуlim fk (x) = fk (x0 ) иx→x0lim f (x) = f (x0 ).x→x0В тоже время,lim fk (x) = f (x) иlim fk (x0 ) = f (x0 ).k→∞k→∞Из этих соотношений мы получаем:(())lim lim fk (x) = lim lim fk (x) ,x→x0k→∞k→∞x→x0(∗)то есть, пределы можно менять местами.Предположим теперь, что у нас есть двойная числовая последовательность {ak,m } ={ak,m ∈ R | k ∈ N, m ∈ N}.
Мы можем сначала перейти к пределу при k → ∞, а затем —при m → ∞, если, конечно, эти пределы существуют. При каком условии мы получим тотже ответ, если выполним предельные переходы в обратном порядке. Возможны ситуации,когда ответы не совпадают.Пример 9.1.14. Пусть ak,m = k/(k + m).
Тогда lim ak,m = 1 при каждом m ∈ N, поэтомуk→∞lim lim ak,m = 1. С другой стороны, lim ak,m = 0 при всех k ∈ N, откуда lim lim ak,m =m→∞ k→∞m→∞k→∞ m→∞0.•Введём понятие равномерной сходимости для двойных последовательностей.Определение 9.1.15. Говорят, что двойная последовательность {ak,m } сходится к bm ∈ Rпри k → ∞ равномерно по m, если для любого ε > 0 существует такое kε ∈ N, что|ak,m − bm | < ε для всех k > kε и всех m ∈ N.•Легко заметить полную аналогию с определением 9.1.5.
В данном случае X = E = N,fk (m) = ak,m и f (m) = bm .8Теорема 9.1.16 (О перестановке пределов). Пусть для каждого m ∈ N последовательность {ak,m } сходится при k → ∞ равномерно по m, и для каждого k ∈ N существуетпредел lim ak,m . Тогда повторные пределы lim lim ak,m и lim lim ak,m существуют иm→∞k→∞ m→∞m→∞ k→∞совпадают.Доказательство. Воспользуемся теоремой о непрерывности предельной функции, а точнее,соотношением (∗) на с.
8. Пусть X = [0, 1] и fk есть функция, определяемая следующимобразом. Если x ∈ [1/(m + 1), 1/m], то fk (x) = ak,m+1 (x − m) + ak,m (m + 1 − x). Заметим, чтоfk (1/m) = ak,m при всех m ∈ N. То есть, при каждом k график функции fk есть ломаная,проходящая через точки (1/m, ak,m ). Очевидно, что fk является непрерывной функцией,определённой на (0, 1]. Так как для каждого k ∈ N существует предел lim ak,m , мы можемm→∞доопределить функцию fk в точке x = 0 как fk (0) = lim ak,m . Построенная таким образомm→∞функция fk будет непрерывной на [0, 1].Так как для каждого m ∈ N последовательность {ak,m } сходится при k → ∞ равномерно по m, последовательность {fk } сходится равномерно на (0, 1].
Согласно критериюКоши для любого ε > 0 существует kε ∈ N, такое, что ϱ(0,1] (fk , fn ) < ε для всех натуральных чисел k и n, больших kε . Но функции fk и fn непрерывны на [0, 1], поэтомуϱ(0,1] (fk , fn ) = ϱ[0,1] (fk , fn ). Таким образом, опять применяя критерий Коши, мы заключаем, что последовательность {fk } сходится равномерно на [0, 1]. По теореме 9.1.12 предельная функция f является непрерывной в точке x = 0 (да и на всём отрезке [0, 1]).Таким образом, имеет место соотношение (∗) на с.
8. Положим в нём x0 = 0 и возьмёмпоследовательность точек xm = 1/m, стремящуюся к нулю. Тогда мы получим следующееравенство:()()lim fk (1/m) .limlim fk (1/m) = lim1/m→0k→∞k→∞1/m→0Так как lim = lim и fk (1/m) = ak,m , это равенство влечёт утверждение теоремы.1/m→0m→∞Очевидно, что в условии теоремы 9.1.16 можно было бы потребовать равномерностьпредела не по m, а по k, то есть по первому индексу последовательности {ak,m }.Понятие равномерной сходимости имеет и другие важные приложения, поэтому хотелось бы иметь какие-нибудь критерии, позволяющие определить, обладает ли последовательность этим свойством. Один из таких критериев даёт следующая теорема.Теорема 9.1.17 (Дини).
Пусть X — компактное множество в Rn . Если последовательность непрерывных функций fk : X → R монотонна и сходится поточечно к непрерывнойфункции f : X → R, то эта сходимость является равномерной на X.Доказательство. Для определённости предположим, что fk (x) 6 fk+1 (x) 6 f (x) при всехk ∈ N и всех x ∈ X, то есть, последовательность {fk } является неубывающей. Зафиксируем произвольное ε > 0. В силу поточечной сходимости для любого x ∈ X существуетkε,x ∈ N, такое, что 0 6 f (x) − fkε,x (x) < ε. Заметим, что в силу неубывания последовательности неравенство 0 6 f (x) − fk (x) < ε справедливо и для всех k > kε,x .
Поскольку функции f и fk непрерывны, существует такая окрестность U (x) ⊂ Rn точки x, что0 6 f (ξ) − fkε,x (ξ) < ε при ξ ∈ U (x) ∩ X.Система окрестностей {U (x), x ∈ X}, очевидно, покрывает множество X. Так как X— компакт, из этого покрытия можно извлечь конечное подпокрытие, то есть, существуетконечный набор точек {x1 , . . .
, xm } ⊂ X, таких, что X ⊂ U (x1 ) ∪ . . . ∪ U (xm ). Если мы9положим kε = max{kε,x1 , . . . , kε,xm }, то при всех ξ ∈ X и всех k > kε мы будем иметьоценку 0 6 f (ξ) − fk (ξ) < ε. Поскольку kε не зависит от x, сходимость последовательности{fk } является равномерной.Заметим, что в теореме Дини все условия важны и, как показывает следующий пример,ни от одного из них, вообще говоря, нельзя отказаться. Это, конечно, не означает, что этиусловия являются необходимыми для равномерной сходимости.Пример 9.1.18.
Пусть X = [0, 1) и fk (x) = xk . Последовательность {fk } является монотонно убывающей и сходится поточечно к функции f ≡ 0, которая, очевидно, непрерывнана X. В то же время, ϱX (fk , f ) = 1 для всех k ∈ N, то есть, равномерной сходимости нет.Здесь не выполняется условие, что множество X должно быть компактным.Возьмём X = [0, 1]. Теперь X — компакт, но равномерной сходимости всё равно нет, таккак предельная функция f не является непрерывной: f (x) = 0 при x ∈ [0, 1) и f (1) = 1.Наконец, положим X = [0, δ], где δ ∈ (0, 1). В этом случае все условия теоремы Динивыполнены, и мы имеем равномерную сходимость.Последовательность функций из примера 9.1.8 показывает, что условие монотонностипоследовательности в теореме Дини тоже важно.•Лекция №3.
08.09.2016.9.1.4Интегрирование и предельный переходВ этом пункте мы продолжим изучение понятия равномерной сходимости и выясним,какое значение оно имеет для выполнения предельного перехода под знаком интегралаРимана. Позднее мы получим более общие результаты, связывающие предельный переходи интегрирование.Теорема 9.1.19.
Если последовательность {fk } интегрируемых по Риману функций fk :[a, b] → R сходится к функции f : [a, b] → R равномерно на [a, b], то f ∈ Rim[a, b] и∫∫bf (x) dx = limk→∞abfk (x) dx.aДоказательство. Предположим, что мы уже доказали интегрируемость по Риману предельной функции f . Тогда∫ b∫ b() f (x) − fk (x) dx 6 ϱ[a,b] (f, fk ) (b − a),f (x) − fk (x) dx 6aaи равенство в утверждении теоремы следует из того, что ϱ[a,b] (f, fk ) → 0 при k → ∞.Осталось показать, что f ∈ Rim[a, b]. Воспользуемся критерием интегрируемости функции по Риману, который использует колебание функции.
Напомним, что колебание функции f на множестве A мы обозначали через ω(f, A). Пусть P = {x0 , x1 , . . . , xn } — разбиениеотрезка [a, b], a = x0 < x1 < . . . < xn = b. Мы будем использовать привычные обозначения:Ai = [xi−1 , xi ], λi = |Ai | = xi − xi−1 , λ(P ) = max{λ∑ 1 , . . . , λn }. Нам необходимо показать, чтодля любого ε > 0 существует такое δ > 0, что ni=1 ω(f, Ai ) λi < ε, если λ(P ) < δ.10Зафиксируем произвольное ε > 0.
Так как fk ⇒ f на [a, b], существует такое kε ∈ N,чтоεεfkε (x) −< f (x) < fkε (x) +для всех x ∈ [a, b].4(b − a)4(b − a)∑Поскольку fkε ∈ Rim[a, b], существует такое δ > 0, что ni=1 ω(fkε , Ai ) λi < ε/2 при λ(P ) <δ. Оценим ω(f, Ai ):ω(f, Ai ) = sup f (x) − inf f (x) <x∈Aix∈Ai< sup fkε (x) +x∈Aiεεε− inf fkε (x) += ω(fkε , Ai ) +.4(b − a) x∈Ai4(b − a)2(b − a)Суммируя это неравенство по i от 1 до n, мы получим:n∑ω(f, Ai ) λi <i=1n∑ω(fkε , Ai ) λi +i=1n∑εε ελi < + = ε.2(b − a) i=12 2Поскольку это неравенство выполняется для любого разбиения P с λ(P ) < δ, используяупомянутый выше критерий, мы получаем, что f ∈ Rim[a, b].9.1.5Дифференцирование и предельный переходСитуация с предельным переходом под оператором дифференцирования коренным образом отличается от предельного перехода под знаком интеграла.
То, что последовательность дифференцируемых функций сходится равномерно, не значит, что предельная функция облает этим свойством. Более того, последовательность производных может вообщерасходиться.Пример 9.1.20. Пусть X = [0, 1] и fk (x) = −k −1 cos kx. Очевидно, что последовательность {fk } равномерно сходится к функции f ≡ 0 на X.
Однако последовательность производных fk′ (x) = sin kx не сходится на X даже поточечно (см. пример 9.1.4).•Мы докажем следующий результат, где, в отличие от предыдущего пункта, от последовательности требуется равномерная сходимость уже после применения к ней оператора(в данном случае — дифференцирования).Теорема 9.1.21. Пусть последовательность дифференцируемых функций fk : [a, b] →R сходится хотя бы в одной точке, а последовательность производных {fk′ } сходитсяравномерно на [a, b]. Тогда последовательность {fk } тоже сходится равномерно на [a, b],предельная функция f дифференцируема и f ′ (x) = lim fk′ (x) для всех x ∈ [a, b].k→∞Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
