1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Для произвольного n > kε мы получим:kεn1∑1 ∑|σn − A| 6|sk − A| +|sk − A|n k=1n k=k +1εkεnkε1 ∑ εε1∑1∑<|sk − A| +<|sk − A| + .n k=1n k=k +1 2n k=12εТак как kε — фиксированное, выбранное по∑ε число, существует зависящее от ε и отεпоследовательности {sk } число Cε , такое что kk=1|sk − A| 6 Cε . Поэтому найдется такоеnε > kε , чтоkεε1∑Cε<|sk − A| 6n k=1n2для всех n > nε . Таким образом,|σn − A| <ε ε+ =ε2 2для всех n > nε . В силу∑∞ произвольности ε это неравенство означает, что σn → A приn → ∞, то есть (C, 1) k=1 ak = A.Вообще говоря, трудно сразу определить, суммируем ли заданный ряд по Чезаро. Мыдокажем лишь необходимый признак такой суммируемости.20Теорема 9.4.4.

Если ряд∑∞Доказательство. Пусть рядA, что limn→∞ σn = A. Ноσn =k=1ak суммируем по Чезаро, то limk→∞ ak /k = 0.∑∞k=1ak суммируем по Чезаро. Тогда существует такое число11snn−1sn(s1 + . . . + sn−1 + sn ) = (s1 + . . . + sn−1 ) +=σn−1 + .nnnnnПоэтомуsnn−1= lim σn − limσn−1 = A − A = 0.n→∞ nn→∞n→∞nПоскольку sn = sn−1 + an , мы получаем:limansnn − 1 sn−1= lim− lim= 0 − 0 = 0,n→∞ nn→∞ nn→∞n n−1limчто и требовалось доказать.Доказанное утверждение позволяет отсеять ряды, которые по Чезаро не суммируемы.Оно, однако, не дает возможности получить положительный ответ о суммируемости.Лекция №6.

19.09.2016.Метод Абеля — Пуассона.Пустьдана числовая последовательность {ak }∞k=0 . Поставим ей в соответствие степенной∑∞ряд k=0 ak xk . Если этот ряд сходится при∑x ∈ [0, 1) к некоторой функции f и существуетпредел limx→1−0 f (x), то говорят, что ряд ∞k=0 ak суммируем по Абелю — Пуассону и(AP )∞∑ak = lim f (x).x→1−0k=0ПримерПопробуем просуммироватьпо методу Абеля — Пуассона расходящийся∑∞ 9.4.5.∑∞kk kряд k=0 (−1) .

Степенной ряд k=0 (−1) x сходится при x ∈ [0, 1) и его сумма можетбыть вычислена по формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем q = −x:f (x) =∞∑(−1)k xk =k=011=.1 − (−x)1+xОчевидно, что существует предел limx→1−0 f (x) = 1/2, поэтому(AP )∞∑1(−1)k = .2k=0Видим, что метод Абеля — Пуассона привел нас к тому же ответу, что и метод Чезаро. •Линейность метода Абеля — Пуассона очевидна, поскольку этот метод представляетсобой последовательность линейных операций: составление степенного ряда, нахождениеего суммы и, наконец, предельный переход. Прежде, чем мы начнем изучение регулярности этого метода, докажем одно вспомогательное утверждение.21Лемма 9.4.6 (Абель).

Если степенной рядсходится равномерно на отрезке [0, r].∑∞k=0ak xk сходится в точке x = r, то онI Воспользуемся признаком Абеля. Для каждого x ∈ [0, r] запишем исследуемый ряд втаком виде:∞∞( x )k∑∑kak x =ak rk.rk=0k=0∑∞kСогласно условию леммы ряд k=0 ak r сходится, а поскольку он не зависит от x,{эта схо}димость является равномерной по x на отрезке [0, r].

Далее, последовательность (x/r)kявляется ∑монотонной (невозрастающей) и ограниченной при x ∈ [0, r]. Поэтому на отрезкеk[0, r] ряд ∞Jk=0 ak x сходится равномерно.Теорема 9.4.7. Метод Абеля — Пуассона является регулярным.∑∞Доказательство. Пусть∑∞ числовой ряд k=0 ak сходится и его сумма равна A. Необходимопоказать, что (AP ) k=0 ak ∑= A.kСоставим степенной ряд ∞k=0 ak x . Согласно нашему предположению этот ряд сходится при x = 1, поэтому, как следует из только что доказанной леммы Абеля, он сходитсяравномерно на отрезке [0, 1]. Поскольку частичные суммы этого ряда являются непрерывными на отрезке [0, 1] функциями, из теоремы 9.2.4 следует, что сумма ряда, которую мыобозначим через f (x), непрерывна на [0, 1].

Но f (1) = A, поэтому(AP )∞∑k=0ak = lim f (x) = f (1) = A,x→1−0что и требовалось доказать.Мы изучили два метода суммирования расходящихся рядов. Естественным образомвозникает вопрос о том, какой из этих методов сильнее, то есть, позволяет просуммироватьбольшее количество рядов. На этот вопрос отвечает следующее утверждение.Теорема 9.4.8 (Фробениус). Если ряд суммируем по методу Чезаро, то он суммируеми по методу Абеля — Пуассона, причем полученные суммы совпадают.Поскольку подробное изучение расходящихся рядов выходит за рамки нашего курса,мы не будем доказывать эту теорему. Приведем лишь пример ряда, который суммируемпо Абелю — Пуассону и не суммируем по Чезаро.∑k+1k = 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + . .

. . Как следуетПример 9.4.9. Рассмотрим ряд ∞k=1 (−1)из теоремы 9.4.4, этот ряд по ЧезароПопробуем просуммировать его по∑ не суммируем.k+1k−1(−1)kx,очевидно, сходится при x ∈ [0, 1),Абелю — Пуассону. Степенной ряд ∞k=1поскольку его радиус сходимости равен 1. Как следует из теоремы 9.3.3,∞∑k=1d ∑1d ∑d 1=.(−1)k+1 xk = −(−x)k = −dx k=0dx k=0dx 1 + x(1 + x)2∞(−1)k+1 kxk−1 =∞−2Поскольку существует limx→1−0 (1 + x)∑= 1/4, мы получаем, что исследуемый ряд сум∞•мируем по Абелю — Пуассону и (AP ) k=1 (−1)k+1 k = 1/4.22Существует ещё один круг вопросов, связанных с суммированием расходящихся рядов.Если ряд суммируем в некотором обобщенном смысле, будет ли он сходиться в классическом понимании? Первая теорема в этом направлении была доказана австрийским математиком А. Таубером.

После этого результаты, связанные с ответом на поставленный вышевопрос, стали называть тауберовыми теоремами. Изучение данной тематики выходит зарамки нашего курса.23Глава 10Интегралы, зависящие от параметраПонятие параметра встречается нам первый раз, поэтому поясним его смысл. Вообще говоря, параметр является ничем иным, как переменной. Например, если нам задана функциядвух переменных f = f (x, y), но мы хотим изучить свойства этой функции по переменнойx при фиксированной переменной y. Тогда мы называем y параметром и изучаем функциюодной переменной x. Ничто нам не запрещает потом исследовать зависимость этой функции уже от параметра y. Таким образом, понятие параметра является в некотором смыслеусловным.

Тем не менее, в этой главе переменные x и y у нас будут существенно различаться. Мы будем интегрировать функцию по x и исследовать зависимость интеграла отпеременной y, которая и будет является параметром.10.110.1.1Собственные интегралы, зависящие от параметраОбщие результатыПусть Π = [a, b] × [c, d], при этом переменную на отрезке [a, b] мы будем обозначать черезx, а на [c, d] — через y. Таким образом, Π = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}. Если заданафункция f : Π → R, которая интегрируема по Риману на [a, b] для каждого значенияпеременной y ∈ [c, d], то мы можем определить функцию F : [c, d] → R, такую, что∫ bF (y) =f (x, y) dx для всех y ∈ [c, d].aНаша цель состоит в исследовании некоторых свойств функции F в зависимости от свойствфункции f .

Сначала рассмотрим свойство непрерывности.Теорема 10.1.1. Если функция f непрерывна на Π, то функция F непрерывна на [c, d].Доказательство. Поскольку Π является компактным множеством в R2 , функция f является на нём равномерно непрерывной. Зафиксируем произвольное ε > 0. По определениюравномерной непрерывности найдется такое δε > 0, что |f (x1 , y1 ) − f (x2 , y2 )| < ε/(b − a),как только |x1 − x2 | < δε и |y1 − y2 | < δε . При этом, конечно, (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) — точки из Π,а δε зависит только от ε. Поэтому для произвольных y1 , y2 ∈ [c, d], таких что |y1 − y2 | < δε ,выполняется неравенство:∫ b∫ bεdx = ε.|F (y1 ) − F (y2 )| 6|f (x, y1 ) − f (x, y2 )| dx <b−a aa24Следовательно функция F непрерывна на [c, d].Сейчас мы докажем несколько утверждений, связанных с дифференцированием попараметру.Теорема 10.1.2.

Пусть функция f и её частная производная ∂f /∂y непрерывны на Π.Тогда F непрерывно дифференцируема на [c, d] иdF(y) =dy∫ba∂f(x, y) dx.∂yДоказательство. Возьмем произвольную точку y0 ∈ [c, d] и докажем дифференцируемостьфункции F в этой точке.

Заодно мы сразу установим и справедливость формулы из утверждения теоремы. Для произвольного h ∈ R, такого что y0 + h ∈ [c, d], мы получим:∫bF (y0 + h) − F (y0 ) − ha∂f(x, y0 ) dx =∂y∫ b(f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) − ha)∂f(x, y0 ) dx∂yПоэтому в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях∫F (y0 + h) − F (y0 ) − haгдеb∂f(x, y0 ) dx∂y∂f6 max f (x, y0 + h) − f (x, y0 ) − h(x, y0 ) (b − a) = h φ(h),x∈[a,b]∂y ∂f∂fφ(h) = max (x, ξx,h ) −(x, y0 )x∈[a,b] ∂y∂yи ξx,h — некоторая точка, лежащая между y0 и y0 + h.

Эта точка зависит не только от h, нои от x. Однако, ξx,h → y0 при h → 0 для каждого x ∈ [a, b] и, в силу непрерывности ∂f /∂y,φ(h) → 0 при h → 0. Заметим, что фактически мы использовали здесь равномерную непрерывность ∂f /∂y на Π. Она нужна для того, чтобы не только |∂f /∂y(x, ξx,h )−∂f /∂y(x, y0 )|,но и максимум этой величины по x ∈ [a, b] стремился к нулю при h → 0.Таким образом,∫F (y0 + h) − F (y0 ) − hab∂f(x, y0 ) dx = o(h) при h → 0,∂yоткуда следует дифференцируемость F в точке y0 и формула, фигурирующая в утверждении теоремы. В силу произвольности y0 этот вывод справедлив на всем отрезке [c, d].Непрерывность dF/dy следует из непрерывности ∂f /∂y и предыдущей теоремы.Лекция №7. 22.09.2016.В следующей лемме параметр будет присутствовать не в подынтегральной функции,а в пределе интегрирования.∫u∫bЛемма 10.1.3.

Пусть f ∈ C[a, b] и F (u) = a f (x) dx, G(v) = v f (x) dx. Тогда F, G ∈C 1 [a, b] и F ′ (u) = f (u), G′ (v) = −f (v).25I Достаточно доказать утверждение для функции F , так как G(v) = C − F (v), где∫bC = a f (x) dx = const. Используя теорему о среднем, мы можем утверждать, чтоF (u + h) − F (u)1=hh∫u+hf (x) dx = f (ξ)uдля некоторой точки ξ, лежащей между u и u + h. Поскольку ξ → u при h → 0 и функцияf непрерывна на [a, b], существует пределF (u + h) − F (u)= f (u).h→0hlimСледовательно функция F дифференцируема, и её производная равна f .

Так как функцияf непрерывна, F — непрерывно дифференцируема.JМы воспользуемся этой леммой для того, чтобы доказать одно очень полезное утверждение.Теорема 10.1.4. Пусть функция f и её частная производная ∂f /∂y непрерывны на Π.Пусть функции α = α(y) и β = β(y) непрерывно дифференцируемы на [c, d] и, кроме того,(α(y), y) ∈ Π и (β(y), y) ∈ Π для всех y ∈ [c, d]. Тогдаddy∫β(y)′∫′β(y)f (x, y) dx = β (y) f (β(y), y) − α (y) f (α(y), y) +α(y)α(y)для всех y ∈ [c, d].Доказательство.

Определим функцию Φ(ξ, η, ζ) =∫β(y)∫ηξ∂f(x, y) dx∂yf (x, ζ) dx. Тогда()f (x, y) dx = Φ α(y), β(y), yα(y)иddy∫β(y)f (x, y) dx =α(y)( ∂Φ dα(y) ∂Φ dβ(y) ∂Φ )++.∂ξ dy∂η dy∂ζ ξ=α(y), η=β(y), ζ=yВ силу леммы 10.1.3 и теоремы 10.1.2∂Φ= −f (ξ, ζ),∂ξ∂Φ= f (η, ζ),∂η∂Φ=∂ζ∫ηξ∂f(x, ζ) dx.∂yПодставляя эти выражения в предыдущую формулу, мы получим требуемый результат.Теперь исследуем операцию интегрирования интеграла по параметру. Мы докажемсамый простой результат в этом направлении, который, однако, достаточен для многихприложений.Теорема 10.1.5. Пусть f : Π → R — непрерывная функция. Тогда∫ d∫ b∫ b∫ df (x, y) dxdy =f (x, y) dydx.caa26cДоказательство.

Введем две функции:∫ d∫ λφ(λ) =f (x, y) dxdy,c∫λ∫ψ(λ) =adf (x, y) dydx.ac∫dНам необходимо показать, что φ(b) = ψ(b). Заметим, что φ ′ (λ) = ψ ′ (λ) = c f (λ, y) dyдля всех значений λ, поэтому φ(λ) = ψ(λ) + C, где C — некоторая постоянная. Так какφ(a) = ψ(a) = 0, мы получаем, что C = 0. Таким образом, φ(λ) = ψ(λ) для всех значенийλ, в том числе для λ = b.Фактически эта теорема утверждает, что при определенных условиях можно менятьпорядок интегрирования. В дальнейшем мы докажем намного более общее утверждение.В следующих примерах мы вычислим один и тот же интеграл, используя различныеметоды, основанные на полученных результатах.Пример 10.1.6 (Метод интегрирования).

Пусть β > α > 0. Требуется посчитать интеграл∫ 1 βx − xαdx.ln x0Посколькумы найдем, что∂ ( xy )= xy ,∂y ln x∫xβ − xα.ln xαИнтегрируя это равенство и используя теорему 10.1.5, мы получим:∫ 1 β∫ 1∫ β∫ β∫ 1x − xαydx =x dydx =xy dxdylnx00αα0∫ β∫ β y+1 x=1β+11xdy = ln. •dy ==α+1α y+1α y + 1 x=0βxy dy =Пример 10.1.7 (Метод дифференцирования).

Характеристики

Список файлов лекций