1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Таким образом, признак Дирихле позволяет заключить, что ряд∞∑sin kxсходится равномерно на множестве Eδ для любого δ > 0. Конечно, если δ > π,kk=1то Eδ = ∅. Поэтому содержательным наше утверждение становится только при δ ∈ (0, π].Исследуем теперь этот ряд на поточечную сходимость.

Если x = 2mπ, m ∈ Z, тоsin kx = 0. Поэтому все члены ряда при таких x равны нулю, и, следовательно, ряд сходится. Если x ̸= 2mπ, m ∈ Z, то существует такое δ > 0, что x ∈ Eδ . Поскольку ряд∞∑sin kxсходится равномерно на Eδ , он сходится и в точке x. Таким образом, рядсхоkk=1дится в каждой точке x ∈ R, а значит, областью его поточечной сходимости является всявещественная ось R.•9.3Равномерная сходимость вещественных степенныхрядовМы уже знакомы с комплексными степенными рядами. В частности, ранее было введенопонятие радиуса сходимости, обозначаемого обычно через R, а также была доказана парасвязанных с ним утверждений.∑∞ Сейчас kмы рассмотрим случай вещественных степенныхрядов, то есть рядов вида k=0 ak (x−x0 ) , где ak , x и x0 являются вещественными числами.Естественно, все результаты, полученные для комплексных степенных рядов, справедливыи в вещественном случае.

Для того, чтобы установить этот факт, достаточно заметить, чтовещественное число есть комплексное число с нулевой мнимой частью. Заметим ещё, чтов вещественном случае круг сходимости {z ∈ C | |z − z0 | < R} необходимо заменить наинтервал сходимости {x ∈ R | |x − x0 | < R}. Прямой переформулировкой полученногоранее результата является следующее утверждение.∑kТеорема 9.3.1. Степенной ряд ∞k=0 ak (x − x0 ) сходится равномерно и абсолютно наотрезке [x0 − r, x0 + r] для каждого r ∈ [0, R).Заметим, что ранее в этой теореме фигурировала только абсолютная сходимость.

Однако, в свете доказанных в предыдущем параграфе утверждений, а именно, мажорантного признака Вейерштрасса, из приведенного ранее доказательства сформулированнойтеоремы следует ещё и равномерная сходимость. Из этой равномерной сходимости и теоремы 9.2.4 легко выводится следующий факт.Следствие 9.3.2.

Сумма степенного ряда есть непрерывная функция на интервале сходимости (x0 − R, x0 + R).Для доказательства достаточно заметить, что частичные суммы степенного ряда являются полиномами, то есть непрерывными (и даже бесконечно дифференцируемыми)функциями.Теперь мы докажем утверждение, которое уже упоминалось ранее.16∑kТеорема 9.3.3. Сумма степенного ряда ∞k=0 ak (x − x0 ) является дифференцируемойна интервале сходимости (x0 − R, x0 + R) функцией, причем∑ d() ∑d ∑k ak (x − x0 )k−1ak (x − x0 )k =ak (x − x0 )k =dx k=0dxk=0k=1∞∞∞и радиус сходимости продифференцированного ряда тоже равен R.∑kДоказательство.

Воспользуемся теоремой 9.2.7. Степенной ряд ∞k=0 ak (x − x0 ) , очевидно, сходится в точке x = x0 . Исследуем теперь сходимость продифференцированного ряда∑∞k−1, а точнее, поскольку это тоже степенной ряд, найдем его радиус схоk=1 k ak (x − x0 )димости, который мы обозначим через R1 . Поскольку∞∑k ak (x − x0 )k−1 =k=1∞∑(k + 1) ak+1 (x − x0 )k ,k=0используя формулу Коши — Адамара, мы получим:√√√√11k= lim k (k + 1) |ak+1 | = lim k + 1 lim k |ak+1 | = lim k |ak+1 | = .k→∞k→∞k→∞R1 k→∞R√√Мы здесь использовали равенство lim k |ak+1 | = lim k |ak |, которое можно записать так:k→∞k→∞√√lim k−1 |ak | = lim k |ak |.

Его доказательство оставим читателю в качестве упражнения.k→∞k→∞Таким образом, R1 = R. Из теоремы 9.3.1 следует, что продифференцированный рядсходится равномерно на отрезке [x0 − r, x0 + r] для каждого r ∈ [0, R). Доказываемоеутверждение вытекает теперь из теоремы 9.2.7 и произвольности r ∈ [0, R).Лекция №5. 15.09.2016.Замечание 9.3.4. Приведем доказательство равенства lim√√()k/(k−1) k→∞lim k |ak | = A ∈ [0, ∞]. Так как k−1 |ak | = |ak |1/k,√√|ak | = lim k |ak |. Пустьk−1k→∞k→∞ln√k−1|ak | =√kln k |ak |.k−1Функция ln является возрастающей и непрерывной, поэтомуln limk→∞√k−1|ak | = lim lnk→∞откуда и получаем, что limk→∞√k−1√k−1√√kln k |ak | = ln lim k |ak | = ln A,k→∞ k − 1k→∞|ak | = lim|ak | = A.•Поскольку после дифференцирования степенного ряда мы снова получили степеннойряд с тем же самым радиусом сходимости, доказанная теорема позволяет нам получитьследующий очевидный результат.Следствие 9.3.5.

Сумма степенного ряда есть бесконечно дифференцируемая функцияна интервале (−R, R).17Ранее нами уже была доказана единственность представления функции в виде степенного ряда. Сейчас мы можем сделать это, исходя из других соображений.∑∑∞kkСледствие 9.3.6. Если степенные ряды ∞k=0 ak (x − x0 ) иk=0 bk (x − x0 ) сходятся нанекотором интервале (x0 − A, x0 + A) и их суммы совпадают, то ak = bk для всех k.◃ Мы воспользуемся тем фактом, что сходящиеся степенные ряды можно дифференцировать.

Положив x = x0 , мы получим, что a0 = b0 . Продифференцировав ряды один рази опять положив x = x0 , мы найдем, что a1 = b1 . Продолжая эту процедуру, мы получим,что ak = bk для любого k ∈ N.▹Мы уже ввели ранее понятие аналитической функции, действующей из C в C. В этомпараграфе мы рассматриваем вещественные функции одной вещественной переменной.Если f : R → R и f (x) является суммой вещественного степенного ряда для всех x изнекоторой окрестности точки x0 , то функция f называется вещественно-аналитическойв точке x0 . Функция называется вещественно-аналитической на множестве E ⊂ R, еслиона вещественно-аналитична в каждой точке этого множества.

Часто, если из контекстапонятно, что речь идет о вещественной функции, то слово «вещественная» опускают иговорят просто «аналитическая функция».Теоремы, доказанные в этом параграфе, справедливы и в комплексном случае. Приэтом, функция f : C → C называется дифференцируемой в точке z0 , если существуетпределf (z) − f (z0 )lim.z→z0z − z0Этот предел называется производной функции f в точке z0 и обозначается через f ′ (z0 ).Предлагаем читателю самостоятельно сформулировать и доказать соответствующие утверждения для комплексного случая.

Вопросам, связанным с дифференцируемыми функциями комплексной переменной, посвящен специальный раздел анализа — теория функций комплексной переменной.9.4Методы суммирования расходящихся рядовВ этом параграфе мы снова обратимся к числовым рядам. Причина, по которой данныйпараграф появился в главе, посвященной функциональным последовательностям и рядам,заключается в том, что здесь мы будем использовать некоторые результаты и методы изпредыдущих параграфов.∑Рассмотрим числовой ряд ∞k=1 ak .

Мы по определению полагаем, что этот ряд сходится, если сходится его последовательность частичных сумм {sk }. Предел этой последовательности называется суммой ряда. Такое определение является вполне естественным ибыло введено, поскольку мы рассматривали ряд, как предел конечных сумм. Возникает,однако, вопрос о том, нельзя ли и расходящемуся ряду поставить в соответствие некотороечисло, которое обладало бы свойствами, аналогичными сумме ряда. Например, мы моглибы вместо последовательности {sk } составить какую-нибудь другую последовательность{σk } и её предел назвать обобщенной суммой ряда.∑k+1. В его последовательности частичных суммПример 9.4.1. Рассмотрим ряд ∞k=1 (−1)чередуются единицы и нули, поэтому этот ряд расходится.

Эйлер, однако, заметил, что18этот ряд есть сумма геометрической прогрессии со знаменателем q = −1 и первым членом a1 = 1. Поэтому чисто формально эта сумма может быть вычислена по следующейформуле:a111S=== .1−q1 − (−1)2Конечно, эта формула выведена в предположении, что |q| < 1, но мы могли бы назвать Sпри q = −1, например, обобщенной суммой геометрической прогрессии.•Чтобы определить понятие обобщенной суммы ряда, необходимо сформулировать некоторые естественные требования, которым эта сумма должна удовлетворять. Таких требований два.∑∞∑∞1. Линейность. Если A и B есть обобщенные суммы рядовaиkk=1k=1 bk соот∑ветственно, то αA + βB есть обобщенная сумма ряда ∞(αa+βb)длялюбыхkkk=1α, β ∈ R.∑∑∞2.

Регулярность. Если ряд ∞k=1 ak суммируем в обычном смысле иk=1 ak = A, тоэтот ряд суммируем в обобщенном смысле и его обобщенная сумма равна A.Мы изучим два метода нахождения обобщенной суммы ряда.Метод Чезаро.∑Пусть ∞k=1 ak — числовой ряд и {sk } — его последовательность частичных сумм. Определим последовательность {σk } по следующему правилу:σk =s1 + · · · + sk.kЕсли последовательность {σk } сходится к некоторому числу A, то говорят, что ряд суммируем по Чезаро (или (C, 1)-суммируем по Чезаро), а A называют (C, 1)-суммой этогоряда. Таким образом,(C, 1)∞∑s1 + · · · + skσk =,kak = lim σk ,k=1k→∞sk =k∑ai .i=1Если последовательность {σk } расходится, можно попробовать ещё раз применить эту жепроцедуру, но уже к последовательности {σk }. В результате получим (C, 2)-метод Чезаро:(C, 2)∞∑ak = lim γk ,k=1k→∞γk =σ1 + · · · + σk.kПродолжая мы можем определить (C, m)-метод Чезаро произвольного порядка m.∑k+1, рассмотПример 9.4.2.

Попробуем просуммировать по методу Чезаро ряд ∞k=1 (−1)ренный в примере 9.4.1. Частичные суммы этого ряда легко вычисляются:s1 = 1,s2 = 0,s3 = 1,19s4 = 0,s5 = 1,...Таким образом,1 ,k — четное,σk = 2 k + 1 , k — нечетное.2kОчевидно, что limk→∞ σk = 1/2, поэтому(C, 1)∞∑1(−1)k+1 = .2k=1•Мы получили тот же ответ, что и Эйлер.Линейность метода Чезаро очевидна и следует из линейности построения последовательности {σk } по последовательности {sk }. Фактически, это построение сводится кнахождению средних арифметических. По этой причине метод Чезаро иногда называютметодом средних арифметических.Теорема 9.4.3.

Метод Чезаро является регулярным.∑∞Доказательство. Предположим, что ряд ∑k=1 ak сходится (в обычном смысле), и его суммаравна A. Необходимо показать, что (C, 1) ∞k=1 ak = A.Зафиксируем произвольное ε > 0. Поскольку sk → A при k → ∞, существует такоеkε ∈ N, что |sk − A| < ε/2 для всех k > kε . Оценим теперь |σn − A|, где1∑sk .n k=1nσn =Заметим, что σn − A =∑nk=1 (sk− A)/n.

Характеристики

Список файлов лекций