1611689370-01d0560721743ce262e51a4d940c3311 (826792), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Этотфакт уже не следует из признака Вейерштрасса, и мы предлагаем читателю установитьего самостоятельно.•31Теорема 10.2.5 (Признаки Абеля и Дирихле). Пусть для каждого y ∈ Y функции f =f (x, y) и g = g(x, y) интегрируемы по Риману по переменной x на отрезке [a, b] для всехb ∈ (a, η). Кроме того, пусть функция g является монотонной по x на [a, η) для всехy ∈ Y . Если выполнена любая из следующих пар условий:∫ηA1 : интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y ;A2 : существует такое M ∈ R+ , что |g(x, y)| 6 M для всех x ∈ [a, η) и y ∈ Y ;∫ bD1 : существует такое K ∈ R+ , что a f (x, y) dx 6 K для всех b ∈ [a, η) и y ∈ Y ;D2 : g(x, y) → 0 при x → η равномерно по y ∈ Y ,∫ηто несобственный интеграл a f (x, y) g(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y .Пара условий A соответствует признаку Абеля, пара D — признаку Дирихле.Доказательство.

Для рядов мы доказали признак Абеля, сейчас докажем признак Дирихле. Доказательства этих признаков совершенно аналогичны, поэтому предлагаем читателю самостоятельно разобраться с доказательством признака Абеля.Если a < b1 < b2 < η, то согласно второй теореме о среднем∫∫b2f (x, y) g(x, y) dx = g(b1 , y)b1∫ξb2f (x, y) dx + g(b2 , y)b1f (x, y) dxξдля некоторого ξ ∈ (b1 , b2 ).Зафиксируем произвольное ε > 0. В силу условия D2 найдется такое Bε ∈ (a, η), что|g(x, y)| < ε/(4K) для всех x ∈ (Bε , η) и всех y ∈ Y . Поэтому, если b1 < b2 и b1 , b2 ∈ (Bε , η),то∫b2∫ ξ∫f (x, y) g(x, y) dx 6 |g(b1 , y)| f (x, y) dx + |g(b2 , y)| b1b1b2f (x, y) dxξ∫∫ε b2ε ξf(x,y)dxf(x,y)dx+<.4K b14K ξИспользуя условие D1 , мы получим∫ ξ ∫ ξ ∫ f (x, y) dx 6 f (x, y) dx + b1aи аналогично∫b2b1f (x, y) dx 6 2Kaf (x, y) dx 6 2K.ξТаким образом,∫b2b1εεf (x, y) g(x, y) dx <2K +2K = ε4K4Kдля всех b1 , b2 ∈ (Bε , η) и всех y ∈ Y .

Доказываемое утверждение следует теперь из критерия Коши.Лекция №9. 29.09.2016.32Пример 10.2.6. Исследуем на равномерную сходимость несобственный интеграл∫ ∞sin x −xyedx,x0где y ∈ Y = [0, +∞). Заметим, что подынтегральная функция не имеет особенности приx → 0+.∫ Воспользуемся признаком Абеля. Возьмем f (x, y) = (sin x)/x и g(x, y) = e−xy . Ин∞теграл 0 f (x, y) dx сходится, причем сходится равномерно по y, так как подынтегральнаяфункция от y не зависит.

Функция g(x, y) монотонна (невозрастающая) по x на (0, ∞) длякаждого y ∈ Y и ограничена по модулю числом 1. Таким образом, исследуемый интегралсходится равномерно по y ∈ [0, ∞).•Упражнение 10.2.7. В признаках Абеля и Дирихле от функции g = g(x, y) требуетсямонотонность при каждом y ∈ Y . Предлагаем читателю исследовать вопрос о том, можетли эта функция менять тип монотонности в зависимости от точки y. То есть, при одних yбыть, например, убывающей, а при других — возрастающей.•10.2.2Несобственные интегралы и некоторые операции по параметруДалее мы будем считать параметр y скалярным, то есть Y ⊂ R.

В теоремах о предельномпереходе и о дифференцировании мы могли бы рассмотреть случай векторного параметра,при этом не пришлось бы вносить в доказательство существенных изменений. Предлагаемчитателю проделать это самостоятельно. А вот в теоремах об интегрировании по параметру условие скалярности этого параметра является существенным, так как многомерныйинтеграл мы пока не определили. Начнем мы с операции предельного перехода под знакомнесобственного интеграла.Теорема 10.2.8.

Пусть f : [a, η) × Y → R, для каждого y ∈ Y функция f являетсяинтегрируемой по Риману по переменной x на отрезке [a, b] для всех b ∈ (a, η) иа) f (x, y) → φ(x) при y → y0 равномерно по x ∈ [a, b] для всех b ∈ (a, η);∫ηб) интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ Y .∫ηТогда сходится интеграл a φ(x) dx и∫ η∫ ηφ(x) dx = limf (x, y) dx.y→y0aaДоказательство. Сначала заметим, что в силу условия (а) и теоремы 9.1.19 функция φинтегрируема по Риману на [a, b] для каждого b ∈ (a, η) и∫∫bφ(x) dx =a∫blim f (x, y) dx = lima y→y0y→y0bf (x, y) dx.a∫bВ силу условия (б) предел limb→η a f (x, y) dx является равномерным по y, поэтому справедливо следующее равенство:∫ b∫ blim limf (x, y) dx = lim limf (x, y) dx.y→y0 b→ηb→η y→y0a33aТо есть, как мы установили ранее, можно поменять два предела местами, если один изних является равномерным. Вообще говоря, мы доказали это утверждение для последовательностей, но оно справедливо и для «непрерывных» пределов.

Предлагаем читателюубедиться в этом самостоятельно. Таким образом, существует предел∫ b∫ b∫ b∫ ηlimφ(x) dx = lim limf (x, y) dx = lim limf (x, y) dx = limf (x, y) dx,b→ηab→η y→y0y→y0 b→ηaay→y0aчто и требовалось доказать.Пример 10.2.9. Перейдем к пределу при y → 0 в несобственном интеграле∫ ∞sin x −xyedx.x0Как показано в примере 10.2.6, этот интеграл сходится равномерно по y на [0, ∞), поэтомуусловие (б) теоремы 10.2.8 выполнено. Так как | sin x/x| 6 1 при всех x ∈ [0, ∞) (мыдоопределили эту функцию единицей при x = 0),sin x −xysin xe⇒x[0,b] xпри y → 0для всех b ∈ (0, ∞).

Таким образом, выполняется и условие∫ ∞ (а) теоремы 10.2.8, из которойтеперь следует, что сходится несобственный интеграл 0 sin x/x dx и∫ ∞∫ ∞sin x −xysin xlimedx =dx.y→0 0xx0Несобственный интеграл в правой части этого равенства называется интегралом Дирихле.Заметим, что его сходимость мы уже установили ранее, используя признак Дирихле. •Следующий пример показывает, что следует быть внимательными при использованиитеоремы 10.2.8.Пример 10.2.10.

Пусть x ∈ [0, ∞), y ∈ Y = R+ и{1/y, x ∈ [0, y],f (x, y) =0,x ∈ (y, ∞).Нетрудно видеть, что f (x, y) → φ(x) = 0 при y → ∞ равномерно по x на [0, ∞). То есть,условие (а) теоремы 10.2.8 выполняется. На первый взгляд выполняется и условие (б). Всамом деле,∫ ∞∫ yy1dx = = 1.f (x, y) dx =y00 yОднако, применяя теорему, мы придем к противоречию:∫ ∞∫ ∞f (x, y) dx =φ(x) dx = 0.1 = limy→000∫∞Разгадка кроется в том, что интеграл 0 f (x, y) dx не является сходящимся равномернопо параметру y на множестве (0, ∞), то есть, условие (б) всё-таки не выполняется.34Чтобы это понять, воспользуемся рассуждениями от противного. Предположим, чторассматриваемый интеграл сходится равномерно ∫по y на множестве(0, ∞).

Тогда для∞произвольного ε > 0 найдется такое bε > 0, что bε f (x, y) dx < ε для всех y ∈ (0, ∞).Если y > bε , то∫ ∞∫ y1y − bεf (x, y) dx =dx =.ybεbε yКакое бы bε мы ни взяли, при больши́х y выражение, стоящее в правой части этого равенства, становится сколь угодно близким к 1. Поэтому достаточно взять, например, ε = 1/2,чтобы получить противоречие с предполагаемой равномерной сходимостью интеграла.

•Теорема 10.2.11. Пусть функции f (x, y) и ∂f /∂y(x, y) непрерывны при (x, y) ∈ [a, η) ×[c, d] и выполняются следующие условия:∫ηа) существует такое y0 ∈ [c, d], что несобственный интеграл a f (x, y0 ) dx сходится;∫ηб) интеграл a ∂f /∂y(x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d].∫ηТогда интеграл a f (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d], является непрерывно дифференцируемой на [c, d] функцией и∫ η∫ ηd∂ff (x, y) dx =(x, y) dx.dy aa ∂y∫bДоказательство.

Введем обозначение: Fb (y) = a f (x, y) dx. В силу теоремы 10.1.2 длякаждого b ∈ (a, η) функция Fb непрерывно дифференцируема на [c, d] иFb′ (y)∫b=a∂f(x, y) dx.∂yИз теоремы 9.1.21 и условий (а) и (б) следует, что Fb сходится при b → η равномерно на[c, d] к некоторой непрерывно дифференцируемой функции F , причем∫′b∂f(x, y) dx =∂yF (y) = limb→ηa∫aη∂f(x, y) dx.∂yУтверждение теоремы теперь следует из того, что F (y) = lim∫bb→η af (x, y) dx =∫ηaf (x, y) dx.В качестве примера использования этой теоремы вычислим интеграл Дирихле.Пример 10.2.12.

Покажем, что∫∞0Введем обозначение:πsin xdx = .x2∫F (y) =0∞sin x −xye dx.xВ примере 10.2.6 мы установили, что этот интеграл сходится равномерно по y на множестве [0, ∞), поэтому функцияF определена и непрерывна на этом множестве. Более того,∫∞поскольку интеграл 0 sin x e−xy dx сходится равномерно на [δ0 , ∞) для любого δ0 > 0,35только что доказанная теорема позволяет утверждать, что функция F непрерывно дифференцируема на [δ0 , δ1 ], где δ1 ∈ (δ0 , ∞) — произвольное число, и∫ ∞′F (y) = −sin x e−xy dx0для всех y ∈ [δ0 , δ1 ]. В силу произвольности δ0 и δ1 этот вывод справедлив для всех y ∈(0, ∞). Вычислим интеграл, стоящий в правой части:∫∞−xysin x e∫dx = Im0∞ix −xye e∫∞ex(i−y) dx0x=∞ )( 111ex(i−y) = −Im=.= Imi−yi−y1 + y2x=0dx = Im0Таким образом, F ′ (y) = −1/(1 + y 2 ) и поэтому F (y) = − arctg y + C при y ∈ (0, ∞),где C — некоторая постоянная.

Теперь, как следует из установленного в примере 10.2.9предельного соотношения,∫ ∞sin xdx = lim F (y) = C.y→0x0Нам осталось вычислить постоянную C. Хотелось бы провести примерно такие рассуждения:∫ ∞sin xlim F (y) =lim e−xy dx = 0,y→∞y→∞x0поэтому C = limy→∞ arctg y = π/2 и требуемое утверждение было бы доказано. Однакотеорема 10.2.8, которая могла бы нам помочь, в данном случае неприменима, посколькупредел limy→∞ e−xy = 0 не является равномерным по x на (0, ∞). Но он является равномерным на [γ, ∞) для любого γ > 0. Поэтому∫ ∞sin x −xylime dx = 0 для любого γ > 0.y→∞ γxВ то же время, для произвольного γ > 0∫ γ ∫ γ sin x ∫ γ sin x −xy−xye dx 6dx = γ.

e dx 6xx000Таким образом,∫|F (y)| 6 0γ∫ ∫ ∞ sin xsin x −xy ∞ sin x −xy e dx + e dx 6 γ + e−xy dx,xxxγγоткуда следует, чтоlim |F (y)| 6 γ.y→∞В силу произвольности γ мы получаем, что lim |F (y)| = 0. Поэтому limy→∞ |F (y)| =y→∞lim |F (y)| = 0, а это как раз то, что нам требовалось.y→∞36•Лекция №10. 03.10.2016.Теперь изучим вопрос об интегрировании несобственного интеграла по параметру. Мыдокажем две теоремы, в первой из которых интеграл по параметру будет собственным, аво второй — несобственным.Теорема10.2.13. Пусть функция f = f (x, y) непрерывна на [a, η) × [c, d] и интеграл∫ηf (x, y) dx сходится равномерно по y ∈ [c, d].

Характеристики

Список файлов лекций